Axiomatische Theorien Der Wahrheit

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Axiomatische Theorien der Wahrheit

Erstveröffentlichung am 26. Dezember 2005; inhaltliche Überarbeitung Do 18.01.2018

Eine axiomatische Wahrheitstheorie ist eine deduktive Wahrheitstheorie als primitives undefiniertes Prädikat. Aufgrund des Lügners und anderer Paradoxien müssen die Axiome und Regeln sorgfältig ausgewählt werden, um Inkonsistenzen zu vermeiden. Viele Axiomensysteme für das Wahrheitsprädikat wurden in der Literatur diskutiert und ihre jeweiligen Eigenschaften analysiert. Mehrere Philosophen, darunter viele Deflationisten, haben axiomatische Wahrheitstheorien in ihren Wahrheitsberichten bestätigt. Die logischen Eigenschaften der formalen Theorien sind relevant für verschiedene philosophische Fragen, wie zum Beispiel Fragen zum ontologischen Status von Eigenschaften, zu Gödels Theoremen, zum wahrheitstheoretischen Deflationismus, zur Eliminierbarkeit semantischer Begriffe und zur Bedeutungstheorie.

• 1. Motivationen

  • 1.1 Wahrheit, Eigenschaften und Mengen
  • 1.2 Wahrheit und Reflexion
  • 1.3 Wahrheitstheoretischer Deflationismus

• 2. Die Basistheorie

  • 2.1 Die Wahl der Basistheorie
  • 2.2 Notationskonventionen

• 3. Typisierte Wahrheitstheorien

  • 3.1 Definierbare Wahrheitsprädikate
  • 3.2 Die (T) - Sätze
  • 3.3 Kompositionswahrheit
  • 3.4 Hierarchische Theorien

• 4. Typfreie Wahrheit

  • 4.1 Typfreie (T) - Sätze
  • 4.2 Zusammensetzung
  • 4.3 Die Friedman-Sheard-Theorie und die Revisionssemantik
  • 4.4 Die Kripke-Feferman-Theorie
  • 4.5 Erfassen des minimalen Fixpunkts
  • 4.6 Axiomatisierungen von Kripkes Theorie mit Supervaluierungen

• 5. Nicht-klassische Ansätze zur Selbstreferenz

  • 5.1 Das Wahrheitsprädikat in der intuitionistischen Logik
  • 5.2 Axiomatisierung von Kripkes Theorie
  • 5.3 Hinzufügen einer Bedingung
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Motivationen

Es gab viele Versuche, die Wahrheit in Bezug auf Korrespondenz, Kohärenz oder andere Begriffe zu definieren. Es ist jedoch alles andere als klar, dass die Wahrheit ein definierbarer Begriff ist. In formalen Umgebungen, die bestimmte natürliche Bedingungen erfüllen, zeigt Tarskis Satz über die Undefinierbarkeit des Wahrheitsprädikats, dass eine Definition eines Wahrheitsprädikats Ressourcen erfordert, die über die der formalen Sprache hinausgehen, für die die Wahrheit definiert werden soll. In diesen Fällen müssen definitive Ansätze zur Wahrheit scheitern. Im Gegensatz dazu setzt der axiomatische Ansatz nicht voraus, dass die Wahrheit definiert werden kann. Stattdessen wird eine formale Sprache um ein neues primitives Prädikat für Wahrheit oder Befriedigung erweitert, und dann werden Axiome für dieses Prädikat festgelegt. Dieser Ansatz allein schließt nicht aus, dass das Wahrheitsprädikat definierbar ist.obwohl in vielen Fällen gezeigt werden kann, dass das Wahrheitsprädikat nicht definierbar ist.

In semantischen Wahrheitstheorien (z. B. Tarski 1935, Kripke 1975) wird dagegen ein Wahrheitsprädikat für eine Sprache definiert, die sogenannte Objektsprache. Diese Definition wird in einer Metasprache oder Metatheorie durchgeführt, die typischerweise die Mengenlehre oder zumindest eine andere starke Theorie oder eine ausdrucksstarke interpretierte Sprache umfasst. Tarskis Theorem über die Undefinierbarkeit des Wahrheitsprädikats zeigt, dass unter bestimmten allgemeinen Annahmen die Ressourcen der Metasprache oder Metatheorie über die Ressourcen der Objektsprache hinausgehen müssen. Daher erfordern semantische Ansätze normalerweise die Verwendung einer Metasprache, die leistungsfähiger ist als die Objektsprache, für die sie eine Semantik bereitstellt.

Wie bei anderen formalen deduktiven Systemen können axiomatische Wahrheitstheorien in sehr schwachen logischen Rahmenbedingungen dargestellt werden. Diese Frameworks erfordern nur sehr wenige Ressourcen und vermeiden insbesondere die Notwendigkeit einer starken Metasprache und Metatheorie.

Die formale Arbeit an axiomatischen Wahrheitstheorien hat dazu beigetragen, semantische Wahrheitstheorien zu beleuchten. Zum Beispiel hat es Informationen darüber geliefert, was für eine Metasprache erforderlich ist, die ausreicht, um ein Wahrheitsprädikat zu definieren. Semantische Wahrheitstheorien liefern wiederum die theoretischen Werkzeuge, die zur Untersuchung von Modellen axiomatischer Wahrheitstheorien und Motivationen für bestimmte axiomatische Theorien erforderlich sind. Somit sind axiomatische und semantische Herangehensweisen an die Wahrheit miteinander verflochten.

Dieser Eintrag beschreibt die beliebtesten axiomatischen Wahrheitstheorien und erwähnt einige der formalen Ergebnisse, die in Bezug auf sie erzielt wurden. Wir geben nur Hinweise auf ihre philosophischen Anwendungen.

1.1 Wahrheit, Eigenschaften und Mengen

Theorien über Wahrheit und Prädikation sind eng mit Theorien über Eigenschaften und Eigentumszuweisung verbunden. Zu sagen, dass eine offene Formel (phi (x)) für ein Individuum gilt (a), scheint (in gewissem Sinne) der Behauptung äquivalent zu sein, dass (a) die Eigenschaft hat, so zu sein, dass (phi) (diese Eigenschaft wird durch die offene Formel gekennzeichnet). Zum Beispiel könnte man sagen, dass '(x) ein armer Philosoph ist' für Tom gilt, anstatt zu sagen, dass Tom die Eigenschaft hat, ein armer Philosoph zu sein. Die Quantifizierung über definierbare Eigenschaften kann dann in einer Sprache mit einem Wahrheitsprädikat durch Quantifizierung über Formeln nachgeahmt werden. Anstatt zum Beispiel zu sagen, dass (a) und (b) genau die gleichen Eigenschaften haben, sagt man, dass für (a) und (b) genau die gleichen Formeln gelten. Die Reduktion von Eigenschaften auf die Wahrheit funktioniert in gewissem Maße auch für Gruppen von Individuen.

Es gibt auch Reduzierungen in die andere Richtung: Tarski (1935) hat gezeigt, dass bestimmte Existenzannahmen zweiter Ordnung (z. B. Verständnisaxiome) verwendet werden können, um die Wahrheit zu definieren (siehe den Eintrag zu Tarskis Definition der Wahrheit). Die mathematische Analyse axiomatischer Wahrheitstheorien und Systeme zweiter Ordnung hat viele Äquivalenzen zwischen diesen Existenzannahmen zweiter Ordnung und wahrheitstheoretischen Annahmen gezeigt.

Diese Ergebnisse zeigen genau, was für die Definition eines Wahrheitsprädikats erforderlich ist, das bestimmte Axiome erfüllt, wodurch Tarskis Einsichten in die Definierbarkeit der Wahrheit geschärft werden. Insbesondere machen die in Abschnitt 3.3 beschriebenen beweistheoretischen Äquivalenzen deutlich, inwieweit eine Metasprache (oder vielmehr Metatheorie) reicher sein muss als die Objektsprache, um ein Wahrheitsprädikat definieren zu können.

Die Äquivalenz zwischen Theorien zweiter Ordnung und Wahrheitstheorien wirkt sich auch auf traditionelle metaphysische Themen aus. Die Reduktion von Theorien zweiter Ordnung (dh Theorien von Eigenschaften oder Mengen) auf axiomatische Wahrheitstheorien kann als Formen des reduktiven Nominalismus verstanden werden, da sie Existenzannahmen für Mengen oder Eigenschaften (z. B. Verständnisaxiome) durch ontologisch harmlose Annahmen ersetzen. im vorliegenden Fall durch Annahmen über das Verhalten des Wahrheitsprädikats.

1.2 Wahrheit und Reflexion

Nach Gödels Unvollständigkeitssätzen kann die Aussage, dass Peano Arithmetic (PA) in seiner Gestalt als zahlentheoretische Aussage (angesichts der Technik der Gödel-Nummerierung) konsistent ist, nicht in PA selbst abgeleitet werden. PA kann jedoch durch Hinzufügen dieser Konsistenzerklärung oder durch stärkere Axiome gestärkt werden. Insbesondere können Axiome hinzugefügt werden, die teilweise die Solidität von PA ausdrücken. Diese werden als Reflexionsprinzipien bezeichnet. Ein Beispiel für ein Reflexionsprinzip für PA wäre die Menge der Sätze (Bew_ {PA} (ulcorner / phi / urcorner) rightarrow / phi), wobei (phi) eine Formel der Sprache der Arithmetik ist. (ulcorner / phi / urcorner) Ein Name für (phi) und (Bew_ {PA} (x)) ist das Standardprüfbarkeitsprädikat für PA ('(Bew)' wurde von Gödel eingeführt und ist die Abkürzung für das deutsche Wort "beweisbar", dh "beweisbar").

Der Prozess des Hinzufügens von Reflexionsprinzipien kann wiederholt werden: Man kann beispielsweise ein Reflexionsprinzip R für PA zu PA hinzufügen; Dies führt zu einer neuen Theorie PA + R. Dann fügt man der Theorie PA + R das Reflexionsprinzip für das System PA + R hinzu. Dieser Prozess kann bis ins Transfinite fortgesetzt werden (siehe Feferman 1962 und Franzén 2004).

Die Reflexionsprinzipien drücken - zumindest teilweise - die Solidität des Systems aus. Der natürlichste und vollständigste Ausdruck der Solidität eines Systems beinhaltet das Wahrheitsprädikat und ist als Global Reflection Principle bekannt (siehe Kreisel und Lévy 1968). Das Global Reflection Principle für ein formales System S besagt, dass alle in S beweisbaren Sätze wahr sind:

) forall x (Bew_S (x) rightarrow Tx))

(Bew_S (x)) drückt hier die Beweisbarkeit von Sätzen im System S aus (wir lassen hier die Diskussion der Probleme der Definition von (Bew_S (x)) weg). Das Wahrheitsprädikat muss bestimmte Prinzipien erfüllen; Andernfalls wäre das Prinzip der globalen Reflexion leer. Daher muss nicht nur das globale Reflexionsprinzip hinzugefügt werden, sondern auch Axiome für die Wahrheit. Wenn jedoch eine natürliche Wahrheitstheorie wie T (PA) hinzugefügt wird, ist es nicht länger erforderlich, das globale Reflexionsprinzip explizit zu postulieren, da Theorien wie T (PA) bereits das globale Reflexionsprinzip für PA beweisen. Man kann daher Wahrheitstheorien als Reflexionsprinzipien betrachten, da sie Aussagen über die Solidität beweisen und die Ressourcen hinzufügen, um diese Aussagen auszudrücken.

Anstatt also Reflexionsprinzipien zu iterieren, die vollständig in der Sprache der Arithmetik formuliert sind, kann man durch Iteration neue Wahrheitsprädikate und entsprechend neue Axiome für die neuen Wahrheitsprädikate hinzufügen. Dabei könnte man hoffen, alle Annahmen explizit zu machen, die für die Akzeptanz einer Theorie wie PA implizit sind. Die resultierende Theorie wird als reflektierender Abschluss der ursprünglichen Theorie bezeichnet. Feferman (1991) hat die Verwendung eines einzelnen Wahrheitsprädikats und einer einzelnen Theorie (KF) anstelle einer Hierarchie von Prädikaten und Theorien vorgeschlagen, um den reflektierenden Abschluss von PA und anderen Theorien zu erläutern. (KF wird weiter unten in Abschnitt 4.4 erläutert.)

Das Verhältnis von Wahrheitstheorien und (iterierten) Reflexionsprinzipien wurde auch in der Diskussion des wahrheitstheoretischen Deflationismus hervorgehoben (siehe Tennant 2002 und die anschließende Diskussion).

1.3 Wahrheitstheoretischer Deflationismus

Viele Befürworter deflationistischer Wahrheitstheorien haben beschlossen, die Wahrheit als primitiven Begriff zu behandeln und zu axiomatisieren, wobei sie häufig eine Version der (T) - Sätze als Axiome verwenden. (T) - Sätze sind Äquivalenzen der Form (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), wobei (T) das Wahrheitsprädikat ist, (phi) ein Satz ist und (ulcorner / phi / urcorner) ist ein Name für den Satz (phi). (Verfeinerte Axiome wurden auch von Deflationisten diskutiert.) Zumindest auf den ersten Blick scheint der axiomatische Ansatz viel weniger "deflationär" zu sein als jene traditionelleren Theorien, die auf einer Definition der Wahrheit in Bezug auf Korrespondenz oder dergleichen beruhen. Wenn die Wahrheit explizit definiert werden kann, kann sie beseitigt werden, während ein axiomatisierter Begriff der Wahrheit mit Verpflichtungen einhergehen kann und oft auch einhergeht, die über die der Basistheorie hinausgehen.

Wenn die Wahrheit keine erklärende Kraft hat, wie einige Deflationisten behaupten, sollten die Axiome für die Wahrheit es uns nicht erlauben, neue Theoreme zu beweisen, die das Wahrheitsprädikat nicht beinhalten. Dementsprechend haben Horsten (1995), Shapiro (1998) und Ketland (1999) vorgeschlagen, dass eine deflationäre Axiomatisierung der Wahrheit zumindest konservativ sein sollte. Die neuen Axiome für die Wahrheit sind konservativ, wenn sie keine zusätzlichen Sätze implizieren (frei von Vorkommen des Wahrheitsprädikats), die ohne die Wahrheitsaxiome nicht bereits beweisbar sind. Somit fügt eine nichtkonservative Wahrheitstheorie einer Theorie neuen nicht-semantischen Inhalt hinzu und hat entgegen vielen deflationistischen Ansichten eine echte Erklärungskraft. Bestimmte natürliche Wahrheitstheorien sind jedoch nicht konservativ (siehe Abschnitt 3.3 unten, Field 1999 und Shapiro 2002 für weitere Diskussionen).

Vielen Deflationisten zufolge dient die Wahrheit lediglich dazu, unendliche Konjunktionen auszudrücken. Es ist klar, dass nicht alle unendlichen Konjunktionen ausgedrückt werden können, da es unzählige (nicht äquivalente) unendliche Konjunktionen über eine zählbare Sprache gibt. Da die Sprache mit einem hinzugefügten Wahrheitsprädikat nur zählbar viele Formeln hat, kann nicht jede unendliche Konjunktion durch eine andere endliche Formel ausgedrückt werden. Die formale Arbeit an axiomatischen Wahrheitstheorien hat dazu beigetragen, genau zu spezifizieren, welche unendlichen Konjunktionen mit einem Wahrheitsprädikat ausgedrückt werden können. Feferman (1991) liefert eine beweistheoretische Analyse eines ziemlich starken Systems. (Dies wird wiederum in der Diskussion über KF in Abschnitt 4.4 unten erläutert.)

2. Die Basistheorie

2.1 Die Wahl der Basistheorie

In den meisten axiomatischen Theorien wird Wahrheit als Prädikat von Objekten verstanden. Es gibt eine ausführliche philosophische Diskussion über die Kategorie von Objekten, für die die Wahrheit gilt: Es wurden Sätze vorgeschlagen, die als Objekte konzipiert sind, die unabhängig von einer Sprache sind, Arten und Zeichen von Sätzen und Äußerungen, Gedanken und vielen anderen Objekten. Da die Struktur von Sätzen, die als Typen betrachtet werden, relativ klar ist, wurden Satztypen häufig als Objekte verwendet, die wahr sein können. In vielen Fällen besteht keine Notwendigkeit, sehr spezifische metaphysische Verpflichtungen einzugehen, da nur bestimmte bescheidene Annahmen über die Struktur dieser Objekte erforderlich sind, unabhängig davon, ob sie letztendlich als syntaktische Objekte, Sätze oder noch etwas anderes angesehen werden. Die Theorie, die die Eigenschaften der Objekte beschreibt, denen die Wahrheit zugeschrieben werden kann, wird als Basistheorie bezeichnet. Die Formulierung der Basistheorie beinhaltet weder das Wahrheitsprädikat noch irgendwelche spezifischen wahrheitstheoretischen Annahmen. Die Basistheorie könnte die Struktur von Sätzen, Sätzen und dergleichen beschreiben, so dass Begriffe wie die Negation eines solchen Objekts dann bei der Formulierung der wahrheitstheoretischen Axiome verwendet werden können.

In vielen axiomatischen Wahrheitstheorien wird die Wahrheit als Prädikat für die Gödel-Satzzahl genommen. Die Peano-Arithmetik hat sich als vielseitige Theorie von Objekten erwiesen, auf die die Wahrheit angewendet wird, hauptsächlich weil das Hinzufügen von wahrheitstheoretischen Axiomen zur Peano-Arithmetik interessante Systeme ergibt und weil die Peano-Arithmetik vielen einfachen Syntaxtheorien und sogar Satztheorien entspricht. Es wurden jedoch auch andere Basistheorien berücksichtigt, einschließlich formaler Syntaxtheorien und Mengen-Theorien.

Natürlich können wir auch Theorien untersuchen, die sich ergeben, indem wir die wahrheitstheoretischen Axiome zu viel stärkeren Theorien wie der Mengenlehre hinzufügen. Normalerweise gibt es keine Chance, die Konsistenz der Mengenlehre plus weitere wahrheitstheoretische Axiome zu beweisen, da die Konsistenz der Mengenlehre selbst nicht ohne Annahmen hergestellt werden kann, die über die Mengenlehre hinausgehen. In vielen Fällen sind nicht einmal relative Konsistenznachweise möglich. Wenn jedoch das Hinzufügen bestimmter wahrheitstheoretischer Axiome zu PA eine konsistente Theorie ergibt, erscheint es zumindest plausibel, dass das Hinzufügen analoger Axiome zur Mengenlehre nicht zu einer Inkonsistenz führt. Daher besteht die Hoffnung, dass die Erforschung von Wahrheitstheorien über PA einen Hinweis darauf gibt, was passieren wird, wenn wir stärkere Theorien mit Axiomen für das Wahrheitsprädikat erweitern. Jedoch,Fujimoto (2012) hat gezeigt, dass sich einige axiomatische Wahrheitstheorien über die Mengenlehre in einigen Aspekten von ihren Gegenstücken über die Peano-Arithmetik unterscheiden.

2.2 Notationskonventionen

Der Bestimmtheit halber nehmen wir an, dass die Sprache der Arithmetik genau (neg, / wedge) und (vee) als Konnektiva und (forall) und (existiert) als Quantifizierer hat. Es hat als einzelne Konstanten nur das Symbol 0 für Null; sein einziges Funktionssymbol ist das unäre Nachfolgesymbol (S); Addition und Multiplikation werden durch Prädikatsymbole ausgedrückt. Daher sind die einzigen geschlossenen Terme der arithmetischen Sprache die Ziffern (0, S) (0), (S (S) (0)), (S (S (S) (0)).,….

Die Sprache der Arithmetik enthält nicht das unäre Prädikatsymbol (T), also sei (mathcal {L} _T) die Sprache der Arithmetik, ergänzt durch das neue unäre Prädikatsymbol (T) für die Wahrheit. Wenn (phi) ein Satz von (mathcal {L} _T ist, ist / ulcorner / phi / urcorner) ein Name für (phi) in der Sprache (mathcal {L} _T); formal ist es die Ziffer der Gödel-Zahl von (phi). Im Allgemeinen sind griechische Buchstaben wie (phi) und (psi) Variablen der Metasprache, dh der Sprache, in der über Wahrheitstheorien gesprochen wird, und der Sprache, in der dieser Eintrag geschrieben ist (dh Englisch) angereichert durch einige Symbole). (phi) und (psi) erstrecken sich über Formeln der formalen Sprache (mathcal {L} _T).

Im Folgenden verwenden wir kleine kursive Großbuchstaben wie ({ scriptsize A}, { scriptsize B}, / ldots) als Variablen in (mathcal {L} _T), die sich über Sätze (oder deren) erstrecken Gödel-Zahlen, um genau zu sein). Somit steht (forall { scriptsize A} (ldots { scriptsize A} ldots)) für (forall x (Sent_T (x) rightarrow / ldots x / ldots)), wobei (Sent_T) (x)) drückt in der Sprache der Arithmetik aus, dass (x) ein Satz der Sprache der Arithmetik ist, der durch das Prädikatsymbol (T) erweitert wird. Die syntaktischen Operationen zum Bilden einer Verbindung aus zwei Sätzen und ähnlichen Operationen können in der Sprache der Arithmetik ausgedrückt werden. Da die Sprache der Arithmetik außer dem Symbol für den Nachfolger kein Funktionssymbol enthält, müssen diese Operationen durch nähende Prädikatausdrücke ausgedrückt werden. Man kann also in der Sprache (mathcal {L} _T) sagen, dass eine Negation eines Satzes von (mathcal {L} _T) genau dann wahr ist, wenn der Satz selbst nicht wahr ist. Wir würden dies als schreiben

) forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A}).)

Die eckigen Klammern geben an, dass die Operation zum Bilden der Negation von ({ scriptsize A}) in der Sprache der Arithmetik ausgedrückt wird. Da die Sprache der Arithmetik kein Funktionssymbol enthält, das die Funktion darstellt, die Sätze an ihre Negationen sendet, müssen geeignete Paraphrasen mit Prädikaten angegeben werden.

So zum Beispiel der Ausdruck

) forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B})))

ist ein einzelner Satz der Sprache (mathcal {L} _T), der besagt, dass eine Konjunktion von Sätzen von (mathcal {L} _T) genau dann wahr ist, wenn beide Sätze wahr sind. Im Gegensatz, [T / ulcorner / phi / wedge / psi / urcorner / leftrightarrow (T / ulcorner / phi / urcorner / wedge T / ulcorner / phi / urcorner))

ist nur ein Schema. Das heißt, es steht für die Menge aller Sätze, die aus dem obigen Ausdruck erhalten werden, indem die griechischen Buchstaben (phi) und (psi) durch Sätze von (mathcal {L} _T) ersetzt werden. Der einzelne Satz (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize) B}))) impliziert alle Sätze, die Instanzen des Schemas sind, aber die Instanzen des Schemas implizieren nicht den einzelnen universell quantifizierten Satz. Im Allgemeinen sind die quantifizierten Versionen stärker als die entsprechenden Schemata.

3. Typisierte Wahrheitstheorien

In typisierten Wahrheitstheorien ist nur die Wahrheit von Sätzen nachweisbar, die nicht dasselbe Wahrheitsprädikat enthalten, wodurch die Paradoxien vermieden werden, indem Tarskis Unterscheidung zwischen Objekt und Metasprache beobachtet wird.

3.1 Definierbare Wahrheitsprädikate

Bestimmte Wahrheitsprädikate können in der Sprache der Arithmetik definiert werden. Prädikate, die als Wahrheitsprädikate für Subsprachen der Sprache der Arithmetik geeignet sind, können innerhalb der Sprache der Arithmetik definiert werden, solange die quantitative Komplexität der Formeln in der Subsprache begrenzt ist. Insbesondere gibt es eine Formel (Tr_0 (x)), die ausdrückt, dass (x) ein wahrer Atomsatz der Sprache der Arithmetik ist, dh ein Satz der Form (n = k), wobei (k) und (n) identische Ziffern sind. Für weitere Informationen zu partiellen Wahrheitsprädikaten siehe beispielsweise Hájek und Pudlak (1993), Kaye (1991) und Takeuti (1987).

Die definierbaren Wahrheitsprädikate sind wirklich überflüssig, weil sie in PA ausgedrückt werden können. Daher besteht keine Notwendigkeit, sie axiomatisch einzuführen. Alle Wahrheitsprädikate im Folgenden sind in der Sprache der Arithmetik nicht definierbar und daher zumindest in dem Sinne nicht redundant, dass sie nicht definierbar sind.

3.2 Die (T) - Sätze

Die typisierten (T) - Sätze sind alle Äquivalenzen der Form (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), wobei (phi) ein Satz ist, der nicht das Wahrheitsprädikat enthält. Tarski (1935) nannte jede Theorie, die diese Äquivalenzen beweist, "materiell angemessen". Tarski (1935) kritisierte eine Axiomatisierung der Wahrheit, die sich nur auf die (T) - Sätze stützte, nicht weil er eher auf eine Definition als auf eine Axiomatisierung der Wahrheit abzielte, sondern weil eine solche Theorie zu schwach schien. Obwohl die Theorie materiell angemessen ist, hielt Tarski die (T) - Sätze für deduktiv zu schwach. Er stellte insbesondere fest, dass die (T) - Sätze nicht das Prinzip der Vollständigkeit beweisen, dhder Satz (forall { scriptsize A} (T { scriptsize A} vee T) neg { scriptsize A})]), auf den der Quantifizierer (forall { scriptsize A}) beschränkt ist Sätze ohne T.

Wahrheitstheorien, die auf den (T) - Sätzen und ihren formalen Eigenschaften beruhen, waren in jüngster Zeit auch im Kontext sogenannter deflationärer Wahrheitstheorien von Interesse. Die (T) - Sätze (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) (wobei (phi) kein (T) enthält) sind gegenüber der Logik erster Ordnung mit Identität nicht konservativ Das heißt, sie beweisen einen Satz, der kein (T) enthält und nicht logisch gültig ist. Für die (T) - Sätze beweisen Sie, dass die Sätze (0 = 0) und (neg 0 = 0) unterschiedlich sind und daher mindestens zwei Objekte existieren. Mit anderen Worten, die (T) - Sätze sind gegenüber der Theorie der leeren Basis nicht konservativ. Wenn die (T) - Sätze zu PA hinzugefügt werden, ist die resultierende Theorie gegenüber PA konservativ. Dies bedeutet, dass die Theorie keine (T) - freien Sätze beweist, die in PA noch nicht beweisbar sind. Dieses Ergebnis gilt auch dann, wenn zusätzlich zu den (T) - Sätzen auch alle Induktionsaxiome hinzugefügt werden, die das Wahrheitsprädikat enthalten. Dies kann durch Berufung auf den Kompaktheitssatz gezeigt werden.

In der oben beschriebenen Form drücken T-Sätze die Äquivalenz zwischen (T / ulcorner / phi / urcorner) und (phi) nur dann aus, wenn (phi) ein Satz ist. Um die Äquivalenz für Eigenschaften zu erfassen, hat ((x) die Eigenschaft P, wenn 'P' für (x)) gilt, muss man die T-Sätze verallgemeinern. Das Ergebnis wird normalerweise als einheitliche T-Senenzen bezeichnet und durch die Äquivalenzen (forall x (T / ulcorner / phi (underline {x}) urcorner / leftrightarrow / phi (x))) für jede formalisiert öffne die Formel (phi (v)) mit höchstens (v) frei in (phi). Das Unterstreichen der Variablen zeigt an, dass sie von außen gebunden ist. Genauer gesagt steht (ulcorner / phi (underline {x}) urcorner) für das Ergebnis des Ersetzens der Variablen (v) in (ulcorner / phi (v) urcorner) durch die Ziffer von (x).

3.3 Kompositionswahrheit

Wie bereits von Tarski (1935) beobachtet, ergeben sich aus den T-Sätzen bestimmte wünschenswerte Verallgemeinerungen nicht. Zusammen mit vernünftigen Basistheorien implizieren sie beispielsweise nicht, dass eine Konjunktion wahr ist, wenn beide Konjunktionen wahr sind.

Um Systeme zu erhalten, die auch universell quantifizierte wahrheitstheoretische Prinzipien beweisen, kann man die induktiven Klauseln von Tarskis Definition der Wahrheit in Axiome umwandeln. In den folgenden Axiomen drückt (AtomSent_ {PA} (ulcorner { scriptsize A} urcorner)) aus, dass ({ scriptsize A}) ein Atomsatz der Sprache der Arithmetik (Sent_ {PA) ist } (ulcorner { scriptsize A} urcorner)) drückt aus, dass ({ scriptsize A}) ein Satz der Sprache der Arithmetik ist.

1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A})))
2. (forall { scriptsize A} (Gesendet_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A}))
3. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (Sent_ {PA} ({ scriptsize A}) wedge Sent_ {PA} ({ scriptsize B}) rightarrow (T [{ scriptsize A. } wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B}))))
4. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (Sent_ {PA} ({ scriptsize A}) wedge Sent_ {PA} ({ scriptsize B}) rightarrow (T [{ scriptsize A. } vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B}))))
5. (forall { scriptsize A} (v) (Gesendet_ {PA} (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptsize A} (underline {x}))]))
6. (forall { scriptsize A} (v) (Gesendet_ {PA} (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) existiert v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / existiert xT [{ scriptsize A} (underline {x}))]))

Axiom 1 besagt, dass ein Atomsatz der Sprache der Peano-Arithmetik genau dann wahr ist, wenn er gemäß dem in Abschnitt 3.1 definierten arithmetischen Wahrheitsprädikat für diese Sprache wahr ist (((Tr_0)). Die Axiome 2–6 behaupten, dass die Wahrheit mit allen Konnektiven und Quantifizierern pendelt. Axiom 5 besagt, dass ein universell quantifizierter Satz der Sprache der Arithmetik genau dann wahr ist, wenn alle seine numerischen Instanzen wahr sind. (Gesendet_ {PA} (forall v { scriptsize A})) besagt, dass ({ scriptsize A} (v)) eine Formel ist, die höchstens (v) frei ist (weil (forall) v { scriptsize A} (v)) ist ein Satz).

Wenn diese Axiome für eine Sprache wie die Mengenlehre formuliert werden sollen, der Namen für alle Objekte fehlen, erfordern die Axiome 5 und 6 die Verwendung einer Zufriedenheitsrelation anstelle eines unären Wahrheitsprädikats.

Axiome im Stil von 1–6 spielten eine zentrale Rolle in Donald Davidsons Bedeutungstheorie und in mehreren deflationistischen Wahrheitsansätzen.

Die Theorie, die von allen Axiomen von PA und Axiomen 1–6 gegeben wird, aber nur für (T) - freie Formeln induziert wird, ist gegenüber PA konservativ, das heißt, sie beweist keine neuen (T) - freien Theoreme, die in PA noch nicht nachweisbar. Es können jedoch nicht alle PA-Modelle auf PA + -Maxiome 1–6 erweitert werden. Dies ergibt sich aus einem Ergebnis von Lachlan (1981). Kotlarski, Krajewski und Lachlan (1981) haben die Konservativität der PA + Axiome 1–6 mit modelltheoretischen Mitteln sehr ähnlich bewiesen. Obwohl mehrere Autoren behaupteten, dass dieses Ergebnis auch endlich nachweisbar ist, war ein solcher Beweis bis Enayat & Visser (2015) und Leigh (2015) nicht verfügbar. Darüber hinaus ist die Theorie der PA + Axiome 1–6 in PA relativ interpretierbar. Dieses Ergebnis hängt jedoch von der Wahl der Basistheorie ab: Es scheitert an endlich axiomatisierten Theorien (Heck 2015, Nicolai 2016). Diese beweistheoretischen Ergebnisse wurden ausgiebig in der Diskussion des wahrheitstheoretischen Deflationismus verwendet (siehe Cieśliński 2017).

Natürlich sind die PA + Axiome 1–6 insofern restriktiv, als sie die Induktionsaxiome in der Sprache mit dem Wahrheitsprädikat nicht enthalten. Es gibt verschiedene Bezeichnungen für das System, die durch Hinzufügen aller Induktionsaxiome, die das Wahrheitsprädikat beinhalten, zu den PA + Axiomen 1–6 des Systems erhalten werden: T (PA), CT, PA (S) oder PA + 'gibt es eine volle induktive Befriedigung Klasse'. Diese Theorie ist gegenüber ihrer Basistheorie PA nicht mehr konservativ. Zum Beispiel kann man den Soliditätssatz oder das globale Reflexionsprinzip für PA formalisieren, dh die Behauptung, dass alle in PA nachweisbaren Sätze wahr sind. Das globale Reflexionsprinzip für PA impliziert wiederum die Konsistenz von PA, die in reiner PA durch Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz nicht nachweisbar ist. Somit ist T (PA) gegenüber PA nicht konservativ. T (PA) ist viel stärker als die bloße Konsistenzangabe für PA:T (PA) entspricht dem System ACA zweiter Ordnung des arithmetischen Verständnisses (siehe Takeuti 1987 und Feferman 1991). Genauer gesagt sind T (PA) und ACA so intertranslatierbar, dass alle arithmetischen Sätze erhalten bleiben. ACA wird durch die Axiome von PA mit vollständiger Induktion in der Sprache zweiter Ordnung und dem folgenden Verständnisprinzip gegeben:

) existiert X / für alle y (y / in X / leftrightarrow / phi (x)))

Dabei ist (phi (x)) eine Formel (in der (x) frei sein kann oder nicht), die keine Quantifizierer zweiter Ordnung, aber möglicherweise freie Variablen zweiter Ordnung enthält. In T (PA) kann die Quantifizierung über Mengen als Quantifizierung über Formeln mit einer freien Variablen und der Zugehörigkeit als Wahrheit der Formel definiert werden, die auf eine Zahl angewendet wird.

Da das Prinzip der globalen Reflexion formale Konsistenz beinhaltet, impliziert das Ergebnis der Konservativität für PA + Axiome 1–6, dass das Prinzip der globalen Reflexion für die Peano-Arithmetik in der typisierten Kompositionstheorie nicht ableitbar ist, ohne die Induktionsaxiome zu erweitern. Tatsächlich beweist diese Theorie weder die Aussage, dass alle logischen Gültigkeiten wahr sind (globale Reflexion für reine Logik erster Ordnung), noch dass alle Peano-Axiome der Arithmetik wahr sind. Vielleicht überraschend ist, dass von diesen beiden unbeweisbaren Aussagen die erstere die stärkere ist. Letzteres kann als Axiom hinzugefügt werden und die Theorie bleibt gegenüber PA konservativ (Enayat und Visser 2015, Leigh 2015). Im Gegensatz dazu entspricht das globale Reflexionsprinzip für die Logik erster Ordnung über die PA + Axiome 1–6 der globalen Reflexion für die Peano-Arithmetik (Cieśliński 2010).und diese beiden Theorien haben die gleichen arithmetischen Konsequenzen wie das Hinzufügen des Induktionsaxioms für begrenzte ((Delta_0)) Formeln, die das Wahrheitsprädikat enthalten (Wcisło und Łełyk 2017).

Der Übergang von PA zu T (PA) kann als ein Akt der Reflexion über die Wahrheit von (mathcal {L}) - Sätzen in PA vorgestellt werden. In ähnlicher Weise ist der Schritt von den typisierten (T) - Sätzen zu den kompositorischen Axiomen auch an ein Reflexionsprinzip gebunden, insbesondere das Prinzip der einheitlichen Reflexion über die typisierten einheitlichen (T) - Sätze. Dies ist die Sammlung von Sätzen (forall x \, Bew_S (ulcorner / phi (underline {x}) urcorner) rightarrow / phi) (x), wobei (phi) über Formeln in / reicht (mathcal {L} _T) mit einer freien Variablen und S ist die Theorie der einheitlich typisierten T-Sätze. Die gleichmäßige Reflexion erfasst genau den Unterschied zwischen den beiden Theorien: Das Reflexionsprinzip ist sowohl in T (PA) ableitbar als auch ausreichend, um die sechs Kompositionsaxiome abzuleiten (Halbach 2001). Darüber hinaus erstreckt sich die Äquivalenz auf Iterationen gleichmäßiger Reflexion,, dass für jede Ordnungszahl (alpha, 1 + / alpha) Iterationen gleichmäßiger Reflexion über die typisierten (T) - Sätze mit T (PA) zusammenfallen, das durch transfinite Induktion bis zur Ordnungszahl (varepsilon _ {) erweitert wird alpha}), nämlich die (alpha) - Ordnungszahl mit der Eigenschaft (omega ^ { alpha} = / alpha) (Leigh 2016).

Viel stärkere Fragmente der Arithmetik zweiter Ordnung können durch typfreie Wahrheitssysteme interpretiert werden, dh durch Wahrheitstheorien, die nicht nur die Wahrheit arithmetischer Sätze, sondern auch die Wahrheit von Sätzen der Sprache (mathcal {L} beweisen _T) mit dem Wahrheitsprädikat; siehe Abschnitt 4 unten.

3.4 Hierarchische Theorien

Die oben erwähnten Wahrheitstheorien können durch Einführung indizierter Wahrheitsprädikate wiederholt werden. Man fügt der Sprache der PA-Wahrheitsprädikate hinzu, die durch Ordnungszahlen (oder Ordnungsnotationen) indiziert sind, oder man fügt ein binäres Wahrheitsprädikat hinzu, das für Ordnungsnotationen und Sätze gilt. In dieser Hinsicht passt der hierarchische Ansatz nicht zu dem in Abschnitt 2 beschriebenen Rahmen, da die Sprache kein einziges unäres Wahrheitsprädikat für Sätze enthält, sondern viele unäre Wahrheitsprädikate oder ein einziges binäres Wahrheitsprädikat (oder sogar ein einziges unäres Wahrheitsprädikat) Anwendung auf Paare von Ordnungsnotationen und Sätzen).

In einer solchen Sprache kann eine Axiomatisierung von Tarskis Hierarchie der Wahrheitsprädikate formuliert werden. Auf der beweistheoretischen Seite entspricht die Iteration von Wahrheitstheorien im Stil von T (PA) der Iteration des Elementarverständnisses, dh der Iteration von ACA. Das System der iterierten Wahrheitstheorien entspricht dem System der verzweigten Analyse (siehe Feferman 1991).

Visser (1989) hat nicht fundierte Hierarchien von Sprachen und deren Axiomatisierungen untersucht. Wenn man die (T) - Sätze (T_n / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) zur Sprache der Arithmetik hinzufügt, wobei (phi) nur Wahrheitsprädikate (T_k) mit (enthält k / gt n) zu PA wird eine Theorie erhalten, die kein Standardmodell ((omega) -) hat.

4. Typfreie Wahrheit

Die Wahrheitsprädikate in natürlichen Sprachen unterliegen keiner äußeren Typbeschränkung. Daher wurde angenommen, dass typisierte Wahrheitstheorien (sowohl axiomatische als auch semantische Theorien) nicht ausreichen, um das Wahrheitsprädikat der natürlichen Sprache zu analysieren, obwohl Glanzberg (in Kürze) und andere kürzlich hierarchische Theorien vertreten haben. Dies ist ein Motiv für die Untersuchung typfreier Wahrheitstheorien, dh von Wahrheitssystemen, die es einem ermöglichen, die Wahrheit von Sätzen zu beweisen, die das Wahrheitsprädikat beinhalten. Einige typfreie Wahrheitstheorien haben eine viel höhere Ausdruckskraft als die im vorherigen Abschnitt untersuchten typisierten Theorien (zumindest solange indizierte Wahrheitsprädikate vermieden werden). Daher sind typfreie Wahrheitstheorien viel mächtigere Werkzeuge zur Reduktion anderer Theorien (zum Beispiel von Theorien zweiter Ordnung).

4.1 Typfreie (T) - Sätze

Die Menge aller (T) - Sätze (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), wobei (phi) ein beliebiger Satz der Sprache ist (mathcal {L} _T) Das heißt, wo (phi) (T) enthalten kann, ist aufgrund des Lügner-Paradoxons nicht mit PA (oder einer Theorie, die das diagonale Lemma beweist) vereinbar. Daher könnte man versuchen, aus der Menge aller (T) - Sätze nur diejenigen zu streichen, die zu einer Inkonsistenz führen. Mit anderen Worten, man kann maximal konsistente Mengen von (T) - Sätzen betrachten. McGee (1992) zeigte, dass es unzählige maximale Sätze von (T) - Sätzen gibt, die mit PA übereinstimmen. Die Strategie führt also nicht zu einer einzigen Theorie. Schlimmer noch, wenn man einen arithmetischen Satz (dh einen Satz, der kein (T) enthält) enthält, der in PA weder bewiesen noch widerlegt werden kann, kann man einen konsistenten (T) - Satz finden, der diesen Satz entscheidet (McGee 1992).. Dies impliziert, dass viele konsistente Mengen von (T) - Sätzen falsche arithmetische Aussagen beweisen. Somit ist die Strategie, nur die (T) - Sätze zu löschen, die eine Inkonsistenz ergeben, zum Scheitern verurteilt.

Eine Menge von (T) - Sätzen, die keine falsche arithmetische Aussage implizieren, kann erhalten werden, indem nur die (phi) in (T) - Sätzen (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow) zugelassen werden / phi), die (T) nur positiv enthalten, dh im Rahmen einer geraden Anzahl von Negationssymbolen. Wie die typisierte Theorie in Abschnitt 3.2 beweist diese Theorie keine bestimmten Verallgemeinerungen, sondern die gleichen T-freien Sätze wie die unten stehende stark typfreie kompositorische Kripke-Feferman-Theorie (Halbach 2009). Schindler (2015) erhielt eine deduktiv sehr starke Wahrheitstheorie, die auf geschichteten Disquotationsprinzipien basiert.

4.2 Zusammensetzung

Neben dem disquotationalen Merkmal der Wahrheit möchte man auch die kompositorischen Merkmale der Wahrheit erfassen und die Axiome der typisierten kompositorischen Wahrheit auf den typfreien Fall verallgemeinern. Zu diesem Zweck müssen Axiome oder Regeln bezüglich der Wahrheit von Atomsätzen mit dem Wahrheitsprädikat hinzugefügt und die Beschränkung auf (T) - freie Sätze in den Kompositionsaxiomen aufgehoben werden. Um die Wahrheit wie andere Prädikate zu behandeln, fügt man das Axiom (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) (wobei (forall) hinzu { scriptsize A}) erstreckt sich über alle Sätze). Wenn die Typbeschränkung des typisierten Kompositionsaxioms für die Negation entfernt wird, lautet das Axiom (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) erhalten.

Die Axiome (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) und (forall { scriptsize A} (T) neg {) scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) sind inkonsistent über schwache Syntaxtheorien, daher muss eine davon aufgegeben werden. Wenn (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) beibehalten wird, müssen schwächere Axiome oder Regeln für die Wahrheitsiteration gefunden werden. Die Wahrheit bleibt jedoch ein klassisches Konzept in dem Sinne, dass (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte impliziert (für jeden Satz ist entweder der Satz selbst oder seine Negation wahr) und das Gesetz des Widerspruchs (für keinen Satz sind der Satz selbst und seine Negation wahr). Wenn im Gegensatz dazu(forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) wird abgelehnt und (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) beibehalten, dann wird es nachweisbar, dass entweder einige Sätze zusammen mit ihren Negationen wahr sind oder dass für einige Sätze weder sie noch ihre Negationen wahr sind, und somit Systeme von Man erhält nicht-klassische Wahrheit, obwohl die Systeme selbst immer noch in klassischer Logik formuliert sind. In den nächsten beiden Abschnitten geben wir einen Überblick über das bekannteste System jeder Art.dann wird es beweisbar, dass entweder einige Sätze zusammen mit ihren Negationen wahr sind oder dass für einige Sätze weder sie noch ihre Negationen wahr sind und somit Systeme nicht-klassischer Wahrheit erhalten werden, obwohl die Systeme selbst immer noch in klassischer Logik formuliert sind. In den nächsten beiden Abschnitten geben wir einen Überblick über das bekannteste System jeder Art.dann wird es beweisbar, dass entweder einige Sätze zusammen mit ihren Negationen wahr sind oder dass für einige Sätze weder sie noch ihre Negationen wahr sind und somit Systeme nicht-klassischer Wahrheit erhalten werden, obwohl die Systeme selbst immer noch in klassischer Logik formuliert sind. In den nächsten beiden Abschnitten geben wir einen Überblick über das bekannteste System jeder Art.

4.3 Die Friedman-Sheard-Theorie und die Revisionssemantik

Das nach Friedman und Sheard (1987) benannte System FS behält das Negationsaxiom (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) bei.. Die weiteren Zusammensetzungsaxiome werden erhalten, indem die Typbeschränkung auf ihre untypisierten Gegenstücke aufgehoben wird:

1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A})))
2. (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A}))
3. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B})))
4. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})))
5. (forall { scriptsize A} (v) (Gesendet (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptsize A} (underline {x}))])
6. (forall { scriptsize A} (v) (Gesendet (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) existiert v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / existiert xT [{ scriptsize A} (underline {x}))]))

Diese Axiome werden zu PA hinzugefügt, das in der Sprache (mathcal {L} _T) formuliert ist. Da das Axiom der Wahrheitsiteration (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) inkonsistent ist, werden nur die folgenden zwei Regeln hinzugefügt:

Wenn (phi) ein Theorem ist, kann man auf (T / ulcorner / phi / urcorner) schließen, und umgekehrt, wenn (T / ulcorner / phi / urcorner) ein Theorem ist, kann man auf (phi).

Aus den Ergebnissen von McGee (1985) folgt, dass FS (omega) - inkonsistent ist, dh FS beweist (existiert x / neg / phi (x)), beweist aber auch (phi)) (0), (phi) (1), (phi) (2), … für eine Formel (phi (x)) von (mathcal {L} _T). Die arithmetischen Sätze von FS sind jedoch alle korrekt.

In FS kann man alle endlichen Ebenen der klassischen tarskischen Hierarchie definieren, aber FS ist nicht stark genug, um eine seiner transfiniten Ebenen wiederherzustellen. In der Tat bestimmte Halbach (1994) seine beweistheoretische Stärke als genau die der Theorie der verzweigten Wahrheit für alle endlichen Ebenen (dh endlich iteriertes T (PA); siehe Abschnitt 3.4) oder äquivalent die Theorie der verzweigten Analyse für alle endlichen Ebenen. Wenn eine Richtung der Regel fallen gelassen wird, die andere jedoch beibehalten wird, behält FS seine beweistheoretische Stärke bei (Sheard 2001).

Es ist eine Tugend von FS, dass es durchaus klassisch ist: Es ist in klassischer Logik formuliert; Wenn ein Satz in FS nachweislich wahr ist, ist der Satz selbst in FS nachweisbar. und umgekehrt, wenn ein Satz beweisbar ist, dann ist er auch nachweislich wahr. Sein Nachteil ist seine (omega) - Inkonsistenz. FS kann als Axiomatisierung der Revisionsregelsemantik für alle endlichen Ebenen angesehen werden (siehe den Eintrag zur Revisionstheorie der Wahrheit).

4.4 Die Kripke-Feferman-Theorie

Die Kripke-Feferman-Theorie behält das Axiom der Wahrheitsiteration (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) bei, aber der Begriff der axiomatisierten Wahrheit ist nicht länger klassisch, weil das Negationsaxiom (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) gelöscht wird.

Die von dieser Theorie erfasste semantische Konstruktion ist eine Verallgemeinerung der von T (PA) erfassten induktiven Definition der Wahrheit nach Tarsk. In der verallgemeinerten Definition beginnt man mit dem wahren Atomsatz der arithmetischen Sprache und erklärt dann die komplexen Sätze für wahr, je nachdem, ob ihre Komponenten wahr sind oder nicht. Wenn beispielsweise wie im typisierten Fall (phi) und (psi) wahr sind, ist auch ihre Konjunktion (phi / wedge / psi) wahr. Im Fall der quantifizierten Sätze wird ihr Wahrheitswert durch die Wahrheitswerte ihrer Instanzen bestimmt (man könnte die Quantifizierersätze unter Verwendung eines Zufriedenheitsprädikats rein kompositorisch machen); Beispielsweise wird ein universell quantifizierter Satz genau dann für wahr erklärt, wenn alle seine Instanzen wahr sind. Man kann diese induktive Definition der Wahrheit nun auf die Sprache (mathcal {L} _T) erweitern, indem man einen Satz der Form (T / ulcorner / phi / urcorner) für wahr erklärt, wenn (phi) bereits vorhanden ist wahr. Außerdem wird man (neg T / ulcorner / phi / urcorner) für wahr erklären, wenn (neg / phi) wahr ist. Indem man diese Idee präzisiert, erhält man eine Variante von Kripkes (1975) Wahrheitstheorie mit dem sogenannten Strong Kleene-Bewertungsschema (siehe den Eintrag über die vielwertige Logik). Wenn es axiomatisiert wird, führt es zu dem folgenden System, das als KF ('Kripke-Feferman') bekannt ist und von dem in der Literatur mehrere Varianten erscheinen:man erhält eine Variante von Kripkes (1975) Wahrheitstheorie mit dem sogenannten Strong Kleene-Bewertungsschema (siehe den Eintrag zur vielwertigen Logik). Wenn es axiomatisiert wird, führt es zu dem folgenden System, das als KF ('Kripke-Feferman') bekannt ist und von dem in der Literatur mehrere Varianten erscheinen:man erhält eine Variante von Kripkes (1975) Wahrheitstheorie mit dem sogenannten Strong Kleene-Bewertungsschema (siehe den Eintrag zur vielwertigen Logik). Wenn es axiomatisiert wird, führt es zu dem folgenden System, das als KF ('Kripke-Feferman') bekannt ist und von dem in der Literatur mehrere Varianten erscheinen:

1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A})))
2. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg Tr_0 ({ scriptsize A})))
3. (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A}))
4. (forall { scriptsize A} (T) neg T { scriptsize A}] leftrightarrow T) neg { scriptsize A})])
5. (forall { scriptsize A} (T) neg / neg { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A}))
6. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B})))
7. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T) neg ({ scriptsize A} wedge { scriptsize B})] leftrightarrow (T) neg { scriptsize A}] vee T) neg { scriptsize B})]))
8. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})))
9. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T) neg ({ scriptsize A} vee { scriptsize B})] leftrightarrow (T) neg { scriptsize A}] Keil T) neg { scriptsize B})]))
10. (forall { scriptsize A} (v) (Gesendet (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptsize A} (underline {x}))])
11. (forall { scriptsize A} (v) (Gesendet (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) neg / forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / existiert xT) neg { scriptsize A} (underline {x}))])
12. (forall { scriptsize A} (v) (Gesendet (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) existiert v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / existiert xT [{ scriptsize A} (underline {x}))]))
13. (forall { scriptsize A} (v) (Gesendet (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) neg / existiert v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT) neg { scriptsize A} (underline {x}))]))

Abgesehen von den wahrheitstheoretischen Axiomen umfasst KF alle Axiome von PA und alle Induktionsaxiome, an denen das Wahrheitsprädikat beteiligt ist. Das System wird Feferman auf der Grundlage von zwei Vorlesungen für die Association of Symbolic Logic, eine im Jahr 1979 und die zweite im Jahr 1983, sowie in nachfolgenden Manuskripten gutgeschrieben. Feferman veröffentlichte seine Version des Systems erst 1991 unter dem Label Ref (PA) ("schwacher reflektierender Verschluss von PA"), nachdem bereits mehrere andere Versionen von KF in gedruckter Form erschienen waren (z. B. Reinhardt 1986, Cantini 1989, auf die sich beide beziehen zu dieser unveröffentlichten Arbeit von Feferman).

KF selbst ist in der klassischen Logik formuliert, beschreibt aber einen nicht-klassischen Wahrheitsbegriff. Zum Beispiel kann man (T / ulcorner L / urcorner / leftrightarrow T / ulcorner / neg L / urcorner) beweisen, wenn (L) der Lügner-Satz ist. Somit beweist KF, dass entweder sowohl der Lügnersatz als auch seine Negation wahr sind oder dass keiner von beiden wahr ist. Entweder ist der Begriff der Wahrheit parakonsistent (ein Satz ist zusammen mit seiner Negation wahr) oder parakomplett (keiner ist wahr). Einige Autoren haben KF mit einem Axiom erweitert, das Wahrheitsüberschreitungen ausschließt, was KF für Kripkes Modellbau klingen lässt, weil Kripke Wahrheitsüberschreitungen ausgeschlossen hatte.

Feferman (1991) zeigte, dass KF der Theorie der verzweigten Analyse über alle Ebenen unterhalb von (varepsilon_0), der Grenze der Sequenz (omega, / omega ^ { omega}, / omega ^, beweistheoretisch äquivalent ist { omega ^ { omega}}, / ldots) oder eine Theorie der verzweigten Wahrheit durch dieselben Ordnungszahlen. Dieses Ergebnis zeigt, dass in KF genau (varepsilon_0) viele Ebenen der klassischen tarskischen Hierarchie in ihrer axiomatisierten Form wiederhergestellt werden können. Somit ist KF weitaus stärker als FS, geschweige denn T (PA). Feferman (1991) entwickelte auch eine Stärkung von KF, die so stark ist wie eine vollständige prädikative Analyse, dh eine verzweigte Analyse oder Wahrheit bis zur Ordnungszahl (Gamma_0).

Genau wie beim typisierten Wahrheitsprädikat kann die Theorie KF (genauer gesagt eine übliche Variante davon) durch einen Reflexionsakt über ein System untypisierter (T) - Sätze erhalten werden. Das fragliche System von (T) - Sätzen ist die Erweiterung der einheitlichen positiven untypisierten (T) - Sätze um ein primitives Falschprädikat, dh die Theorie enthält zwei unäre Prädikate (T) und (F) und Axiome

) begin {align *} & / forall x (T / ulcorner / phi (underline {x}) urcorner / leftrightarrow / phi (x)) & / forall x (F / ulcorner / phi (underline) {x}) urcorner / leftrightarrow / phi '(x)) end {align *})

für jede Formel (phi (v)) positiv in (T) und (F), wobei (phi ') das De Morgan-Dual von (phi) (Austausch) darstellt (T) für (F) und umgekehrt). Aus einer Anwendung einheitlicher Reflexion über diese Disquotationstheorie lassen sich die Wahrheitsaxiome für die entsprechenden zwei Prädikatversionen von KF ableiten (Horsten und Leigh, 2016). Das Umgekehrte gilt ebenso wie die Verallgemeinerung auf endliche und transfinite Iterationen der Reflexion (Leigh, 2017).

4.5 Erfassen des minimalen Fixpunkts

Wie oben erwähnt, gilt (phi) in allen Kripke-Festkommamodellen, wenn KF (T / ulcorner / phi / urcorner) für einen Satz (phi) beweist. Insbesondere gibt es (2 ^ { aleph_0}) Fixpunkte, die ein Modell der internen Theorie von KF bilden. Aus Sicht von KF wird daher der am wenigsten festgelegte Punkt (aus dem Kripkes Theorie definiert ist) nicht herausgegriffen. Burgess (in Vorbereitung) bietet eine Erweiterung von KF mit dem Namen (mu) KF, die versucht, den minimalen Kripkean-Fixpunkt zu erfassen. KF wird durch zusätzliche Axiome erweitert, die ausdrücken, dass die interne Theorie von KF die kleinste Klasse ist, die unter den definierenden Axiomen für die Kripkean-Wahrheit geschlossen ist. Dies kann als ein einzelnes Axiomschema formuliert werden, das für jede offene Formel (phi) Folgendes angibt:

Wenn (phi) die gleichen Axiome von KF erfüllt wie das Prädikat (T), dann gilt (phi) für jeden wahren Satz.

Aus einer beweistheoretischen Perspektive ist (mu) KF signifikant stärker als KF. Das Einzelaxiomschema, das die Minimalität des Wahrheitsprädikats ausdrückt, ermöglicht es, die System-ID (_ 1) einer arithmetischen induktiven Definition, einer impredikativen Theorie, in (mu) KF einzubetten. Während ((mu) KF intuitiv plausibel ist, leidet KF unter derselben expressiven Unvollständigkeit wie KF: Da der minimale Kripkean-Fixpunkt eine vollständige (Pi ^ {1} _1) Menge und die interne Theorie von (mu) bildet) KF bleibt rekursiv aufzählbar, es gibt Standardmodelle der Theorie, bei denen die Interpretation des Wahrheitsprädikats nicht der minimale Fixpunkt ist. Derzeit fehlt eine gründliche Analyse der Modelle von (mu) KF.

4.6 Axiomatisierungen von Kripkes Theorie mit Supervaluierungen

KF soll eine Axiomatisierung der semantischen Theorie von Kripke (1975) sein. Diese Theorie basiert auf einer partiellen Logik mit dem Bewertungsschema von Strong Kleene. In der starken Kleene-Logik ist nicht jeder Satz (phi / vee / neg / phi) ein Theorem; Insbesondere ist diese Disjunktion nicht wahr, wenn (phi) ein Wahrheitswert fehlt. Folglich ist (T / ulcorner L / vee / neg L / urcorner) (wobei (L) der Lügnersatz ist) kein Satz von KF und seine Negation ist sogar beweisbar. Cantini (1990) hat ein System VF vorgeschlagen, das vom Supervaluierungsschema inspiriert ist. In VF sind alle klassischen Tautologien nachweislich wahr und (T / ulcorner L / vee / neg L / urcorner) ist beispielsweise ein Satz von VF. VF kann in (mathcal {L} _T) formuliert werden und verwendet klassische Logik. Es ist keine kompositorische Wahrheitstheorie mehr, denn das Folgende ist kein Satz von VF:

) forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})).)

Dieses Prinzip steht nicht nur im Widerspruch zu den anderen Axiomen von VF, es passt auch nicht zum überbewertenden Modell, da es impliziert (T / ulcorner L / urcorner / vee T / ulcorner / neg L / urcorner), was natürlich nicht korrekt ist denn nach der beabsichtigten Semantik ist weder der Lügnersatz noch seine Negation wahr: beiden fehlt ein Wahrheitswert.

Cantini erweiterte ein Ergebnis von Friedman und Sheard (1987) und zeigte, dass VF viel stärker als KF ist: VF ist beweistheoretisch äquivalent zu der Theorie ID (_ 1) nicht iterierter induktiver Definitionen, die nicht prädikativ ist.

5. Nicht-klassische Ansätze zur Selbstreferenz

Die bisher diskutierten Wahrheitstheorien sind alle in der klassischen Logik axiomatisiert. Einige Autoren haben sich auch mit axiomatischen Wahrheitstheorien befasst, die auf nicht-klassischer Logik basieren (siehe beispielsweise Field 2008, Halbach und Horsten 2006, Leigh und Rathjen 2012). Es gibt eine Reihe von Gründen, warum eine Logik bevorzugt werden kann, die schwächer als die klassische Logik ist. Das offensichtlichste ist, dass durch die Schwächung der Logik einige Sammlungen von Axiomen der Wahrheit, die zuvor inkonsistent waren, konsistent werden. Ein weiterer häufiger Grund ist, dass die fragliche axiomatische Theorie beabsichtigt, eine bestimmte nicht-klassische Wahrheitssemantik zu erfassen, für die sich eine klassische Hintergrundtheorie als nicht stichhaltig erweisen kann.

Es gibt auch eine große Anzahl von Ansätzen, die parakonsistente oder substrukturelle Logiken verwenden. In den meisten Fällen verwenden diese Ansätze keine axiomatische Basistheorie wie die Peano-Arithmetik und weichen daher von der hier betrachteten Einstellung ab, obwohl es kein technisches Hindernis gibt, parakonsistente oder substrukturelle Logiken auf Wahrheitstheorien über solche Basistheorien anzuwenden. Hier werden nur Konten behandelt, die nahe an der oben genannten Einstellung liegen. Weitere Informationen zur Anwendung von substrukturellen und parakonsistenten Logiken auf die wahrheitstheoretischen Paradoxe finden Sie im entsprechenden Abschnitt im Eintrag zum Lügnerparadoxon.

5.1 Das Wahrheitsprädikat in der intuitionistischen Logik

Die Inkonsistenz der (T) - Sätze beruht nicht auf klassischem Denken. Es ist auch inkonsistent über viel schwächere Logiken wie Minimallogik und Teillogik. Die klassische Logik spielt jedoch eine Rolle bei der Einschränkung des freien Gebrauchs von Wahrheitsprinzipien. Beispielsweise entspricht über eine klassische Basistheorie das Kompositionsaxiom für die Implikation ((rightarrow)) dem Prinzip der Vollständigkeit (forall { scriptsize A} (T [{ scriptsize A}] vee) T) neg { scriptsize A})]). Wenn die Logik unter dem Wahrheitsprädikat klassisch ist, entspricht die Vollständigkeit dem kompositorischen Axiom für die Disjunktion. Ohne das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte kann FS als vollständig kompositorische Theorie formuliert werden, ohne das Prinzip der Wahrheitsvollständigkeit zu beweisen (Leigh & Rathjen 2012). Zusätzlich,Die klassische Logik wirkt sich auf Versuche aus, kompositorische und selbstanwendbare Axiome der Wahrheit zu kombinieren. Wenn man zum Beispiel das Axiom der Wahrheitskonsistenz von FS (die Richtung von links nach rechts von Axiom 2 in Abschnitt 4.3) sowie das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte für das Wahrheitsprädikat fallen lässt, ist es möglich, das Axiom der Wahrheitskonsistenz konsistent hinzuzufügen Axiom der Wahrheitsiteration (forall { scriptsize A} (T [{ scriptsize A}] rightarrow T [T { scriptsize A}])). Die resultierende Theorie hat immer noch eine starke Ähnlichkeit mit FS, da die konstruktive Version der Semantik der Revisionsregel für alle endlichen Ebenen ein natürliches Modell der Theorie liefert und die beiden Theorien dasselbe (Pi ^ {0} teilen _2) Konsequenzen (Leigh & Rathjen 2012; Leigh, 2013). Dieses Ergebnis sollte mit KF verglichen werden, das, wenn es ohne das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte formuliert wird,bleibt in Bezug auf die Wahl der Wahrheitsaxiome maximal konsistent, ist jedoch eine konservative Erweiterung der Heyting-Arithmetik.

5.2 Axiomatisierung von Kripkes Theorie

Kripkes (1975) Theorie in ihren verschiedenen Erscheinungsformen basiert auf partieller Logik. Um Modelle für eine Theorie in der klassischen Logik zu erhalten, wird die Erweiterung des Wahrheitsprädikats im Teilmodell erneut als Erweiterung der Wahrheit im klassischen Modell verwendet. Im klassischen Modell werden falsche Sätze und solche ohne Wahrheitswert im Teilmodell für nicht wahr erklärt. KF ist in Bezug auf diese klassischen Modelle solide und enthält daher zwei unterschiedliche Logiken. Die erste ist die 'interne' Logik von Aussagen unter dem Wahrheitsprädikat und wird mit dem Bewertungsschema von Strong Kleene formuliert. Die zweite ist die "externe" Logik, die eine vollständige klassische Logik ist. Ein Effekt der Formulierung von KF in der klassischen Logik besteht darin, dass die Theorie unter der Wahrheitseinführungsregel nicht konsequent geschlossen werden kann

Wenn (phi) ein Satz von KF ist, ist dies auch (T / ulcorner / phi / urcorner).

Ein zweiter Effekt der klassischen Logik ist die Aussage der ausgeschlossenen Mitte für den Lügnersatz. Weder der Lügner-Satz noch seine Negation erhalten in Kripkes Theorie einen Wahrheitswert, so dass die Disjunktion der beiden nicht gültig ist. Das Ergebnis ist, dass KF, wenn es als Axiomatisierung von Kripkes Theorie angesehen wird, in Bezug auf die beabsichtigte Semantik nicht stichhaltig ist. Aus diesem Grund untersuchen Halbach und Horsten (2006) und Horsten (2011) eine Axiomatisierung von Kripkes Theorie mit partieller Logik als innerer und äußerer Logik. Ihr Vorschlag, eine Theorie mit der Bezeichnung PKF ('partielle KF'), kann als zweiseitiger sequentieller Kalkül nach Gentzen-Art auf der Grundlage der starken Kleene-Logik axiomatisiert werden (siehe den Eintrag zur vielwertigen Logik). PKF wird gebildet, indem zu diesem Kalkül die Peano-Dedekind-Axiome der Arithmetik hinzugefügt werden, einschließlich der vollständigen Induktion und der Kompositions- und Wahrheitsiterationsregeln für das Wahrheitsprädikat, wie sie in Kripkes Theorie vorgeschrieben sind. Das Ergebnis ist eine Wahrheitstheorie, die in Bezug auf Kripkes Theorie stichhaltig ist.

Halbach und Horsten zeigen, dass diese Axiomatisierung von Kripkes Theorie deutlich schwächer ist als die des klassischen Cousins KF. Das Ergebnis zeigt, dass die Einschränkung der Logik nur für Sätze mit dem Wahrheitsprädikat auch die Ableitung wahrheitsfreier Theoreme behindern kann.

5.3 Hinzufügen einer Bedingung

Field (2008) und andere kritisierten auf partieller Logik basierende Theorien für das Fehlen einer "richtigen" Bedingung und einer Zwei-Bedingung. Verschiedene Autoren haben Bedingungen und Zwei-Bedingungen vorgeschlagen, die in Bezug auf (neg, / vee) und (wedge) nicht definierbar sind. Field (2008) zielt auf eine axiomatische Wahrheitstheorie ab, die PKF nicht unähnlich ist, aber eine neue Bedingung hat. Feferman (1984) führte auch eine Zwei-Bedingungen-Theorie in die nicht-klassische Logik ein. Im Gegensatz zu Field und seiner eigenen Theorie von 1984 ist Fefermans (2008) Theorie DT in klassischer Logik formuliert, aber ihre interne Logik ist wieder eine Teillogik mit einer starken Bedingung.

Literaturverzeichnis

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• Bealer, George, 1982, Qualität und Konzept, Oxford: Clarendon Press.
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