Logik Zweiter Und Höherer Ordnung

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

Eintragsnavigation

• Eintragsinhalt
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Freunde PDF Vorschau
• Autor und Zitierinfo
• Zurück nach oben

Logik zweiter und höherer Ordnung

Erstveröffentlichung Do 20.12.2007; inhaltliche Überarbeitung Mi 4. März 2009

Logik zweiter Ordnung ist eine Erweiterung der Logik erster Ordnung, bei der zusätzlich zu Quantifizierern wie „für jedes Objekt (im Universum des Diskurses)“Quantifizierer wie „für jede Eigenschaft von Objekten (im Universum des Diskurses) verwendet werden).” Diese Erweiterung der Sprache erhöht ihre Ausdruckskraft, ohne neue nicht logische Symbole wie neue Prädikatsymbole hinzuzufügen. Für die klassische Erweiterungslogik (wie in diesem Eintrag) können Eigenschaften mit Mengen identifiziert werden, so dass die Logik zweiter Ordnung uns den Quantifizierer "für jede Menge von Objekten" liefert.

Es gibt zwei Ansätze zur Semantik der Logik zweiter Ordnung. Sie unterscheiden sich in der Interpretation des Ausdrucks "für jeden Satz von Objekten". Hat dies eine feste Bedeutung, auf die wir uns beziehen können, oder müssen wir die verschiedenen Bedeutungen berücksichtigen, die der Ausdruck haben könnte? Im ersten Fall (der als Standardsemantik bezeichnet wird) setzen wir bestimmte mathematische Konzepte als selbstverständlich voraus. Im zweiten Fall (der als allgemeine Semantik bezeichnet wird) wird viel weniger als selbstverständlich angesehen. In diesem Fall muss ein Satz, um als gültig angesehen zu werden, unter allen zulässigen Bedeutungen des Ausdrucks „für jeden Satz von Objekten“wahr sein.

• 1. Syntax und Übersetzung
• 2. Standardsemantik
• 3. Allgemeine Semantik
• 4. Logik höherer Ordnung
• 5. Systeme der Zahlentheorie zweiter Ordnung
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Syntax und Übersetzung

In der symbolischen Logik ist die Formel (Px → Px) wahr, unabhängig davon, welches Objekt im Diskursuniversum der Variablen x zugeordnet ist. Das heißt, nichts anderes als dass ∀ x (Px → Px) wahr sein wird, unabhängig davon, welche Teilmenge des Diskursuniversums zur Interpretation des Prädikatsymbols P verwendet wird. Aber heißt das nicht nichts anderes, als dass die Formel ∀ P ∀ x (Px → Px) wahr ist, egal was passiert?

In Sprachen erster Ordnung können wir einige Dinge sagen und andere nicht. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen Fakten über die Arithmetik der natürlichen Zahlen ausdrücken. Das heißt, wir möchten Fakten über die Struktur (N; 0, S, <, +, ×) ausdrücken, die aus der Menge N = {0, 1,…} natürlicher Zahlen zusammen mit den gemeinsamen arithmetischen Operationen und Beziehungen besteht. Und wir wollen eine Sprache erster Ordnung mit Quantifizierern verwenden, die als „für jede natürliche Zahl“und als „für eine natürliche Zahl“interpretiert werden. Darüber hinaus enthalten wir in der Sprache ein konstantes Symbol 0 für die Zahl Null, ein Ein-Stellen-Funktionssymbol S für die Nachfolgeoperation (das auf eine natürliche Zahl angewendet wird, ergibt die nächste), ein Zwei-Stellen-Prädikatsymbol <für die Ordnungsbeziehung <auf N,und Zwei-Stellen-Funktionssymbole + und × zur Addition bzw. Multiplikation.

Mit dieser Sprache können wir nun viele der Tatsachen symbolisieren, von denen wir wissen, dass sie in Bezug auf die natürlichen Zahlen wahr sind. Wir können den Satz ∀ x (x <Sx) bilden, der zum Beispiel die Tatsache ausdrückt, dass jede Zahl kleiner als die nächste ist. Eine Schwierigkeit ergibt sich jedoch, wenn wir die „gut geordnete Eigenschaft“ausdrücken wollen, dass jede nicht leere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Mitglied hat. Wenn P ein neues Ein-Ort-Prädikatsymbol ist, dann

∃ x Px → ∃ x (Px & ∀ y (Py → (y = xvx <y)))

drückt die Idee aus, dass P für eine kleinste Zahl gilt, wenn es überhaupt für eine Zahl gilt. Diese Formel gilt für die Struktur (N; 0, S, <, +, ×), wenn wir das Prädikatsymbol P als wahr für die Zahlen in einer bestimmten Menge interpretieren - unabhängig davon, um welche Menge es sich handelt -, dass die Menge besagt hat ein kleinstes Mitglied, wenn es nicht leer ist. Fügen Sie nun den Quantifizierer ∀ P hinzu

∀ P [∃ x Px → ∃ x (Px & ∀ y (Py → (y = xvx <y)))]

Wir erhalten eine Formalisierung der geordneten Eigenschaft.

Die Sprache der Logik zweiter Ordnung erweitert die Sprache der Logik erster Ordnung, indem sie die Quantifizierung von Prädikatsymbolen und Funktionssymbolen ermöglicht. Wie das vorstehende Beispiel zeigt, können wir in einer Sprache zweiter Ordnung für die Arithmetik sagen, dass die natürlichen Zahlen gut geordnet sind. Wir wissen, dass die Eigenschaft der Ordnung nicht durch einen Satz erster Ordnung ausgedrückt werden kann, da die nicht standardmäßigen Modelle der Theorie (erster Ordnung) von (N; 0, S, <, +, ×) niemals gut geordnet sind. Die Logik zweiter Ordnung ist also eine echte Erweiterung. Das heißt, wir können einige Sätze in natürlicher Sprache, wie z. B. "Die Beziehung <ist eine gute Ordnung", in die Sprache der Logik zweiter Ordnung übersetzen, die nicht in die Sprache der Logik erster Ordnung übersetzbar sind.

Für ein anderes Beispiel können wir (unter Verwendung der Wahl) sagen, dass das Universum des Diskurses unendlich ist, indem wir sagen, dass es eine transitive Beziehung auf dem Universum gibt, so dass jedes Element die Beziehung zu etwas trägt, aber nicht zu sich selbst:

[R [∀ x ∀ y ∀ z (Rxy & Ryz → Rxz) & ∀ x [¬ Rxx & ∃ y Rxy]

Hier drückt der Quantifizierer zweiter Ordnung "∃ R" die Existenz einer binären Beziehung im Universum aus. Da das einzige Prädikatsymbol R im Bereich dieses Quantifizierers liegt, enthält der Satz keine zu interpretierenden Prädikatsymbole. Bekanntlich hat kein Satz erster Ordnung für seine Modelle genau die unendlichen Strukturen.

Im Detail ist hier das gemeint, was mit einer Sprache zweiter Ordnung gemeint ist: Man beginnt mit einer Sprache erster Ordnung und ergänzt sie durch eine endlose Versorgung mit Prädikatvariablen mit n Stellen für jede positive ganze Zahl n und eine endlose Versorgung mit n -place Funktionsvariablen für jede positive ganze Zahl n. (Die Funktionsvariablen können vermieden werden, aber das ist eine andere Sache.) Die Bildungsregeln für wohlgeformte Formeln sind die offensichtlichen; Insbesondere ist eine universelle und existenzielle Quantifizierung für jede Variable zulässig, sei es eine einzelne Variable, eine Prädikatvariable oder eine Funktionsvariable.

Um zum Beispiel der natürlichen Zahlen zurückzukehren, können wir das Peano-Induktionspostulat durch einen Satz zweiter Ordnung ausdrücken:

∀ X [X 0 & ∀ y (Xy → XSy) → ∀ y Xy]

Dieser Satz drückt die Idee aus, dass X für alle natürlichen Zahlen gilt, wenn es für 0 gilt und seine Wahrheit bei einer bestimmten Zahl y seine Wahrheit beim Nachfolger von y garantiert, unabhängig davon, für welche Menge von Zahlen X zutreffen könnte.

Für ein Beispiel, bei dem die Menge R von reellen Zahlen mit ihrer üblichen Reihenfolge verwendet wird, können wir die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze durch einen Satz zweiter Ordnung ausdrücken:

∀ X [∃ y ∀ z (Xz → z ≤ y) & ∃ z Xz → ∃ y ∀ y '(∀ z (Xz → z ≤ y') ↔ y ≤ y ')]

Die vorstehenden Beispiele stammen aus mathematischen Situationen. Es gibt auch die faszinierende Möglichkeit von Sätzen in natürlicher Sprache, für deren Formalisierung Formeln zweiter Ordnung erforderlich zu sein scheinen. George Boolos schlug das Beispiel vor: "Es gibt einige Kritiker, die sich nur gegenseitig bewundern." Dieser Satz behauptet die Existenz einer Gruppe von Personen mit einer bestimmten Eigenschaft; es bedeutet zum Beispiel nicht, dass es zwei Kritiker gibt, die sich gegenseitig bewundern und keine anderen bewundern.

2. Standardsemantik

Im vorherigen Abschnitt ist das Konzept der Wahrheit eines Satzes zweiter Ordnung in einer Struktur impliziert. Betrachten Sie eine Struktur M = (A, R,…), die aus einer nicht leeren Menge A besteht, die als Diskursuniversum dient, und einigen Beziehungen und Funktionen auf A, die die nicht logischen Symbole interpretieren. Dann wollen wir einen Satz zweiter Ordnung der Form ∀ P φ (wobei P eine Prädikatvariable mit ak-Stellen ist) in dieser Struktur als wahr zählen, wenn wir für jede Menge Q von k-Tupeln von Mitgliedern von A diesen φ haben ist wahr in der Struktur, wenn P die Beziehung Q zugewiesen wird.

Formal müssen wir induktiv definieren, was es bedeutet, dass eine Formel zweiter Ordnung φ in einer Struktur M = (A, R,…) unter einer Zuordnung von Objekten zu den freien Variablen in φ erfüllt wird, die geschrieben werden M ⊨ φ [s]. Die Definition erfolgt genau wie im Fall erster Ordnung, mit Ausnahme der zusätzlichen Klauseln für die Quantifizierer zweiter Ordnung. Für die ak-place Prädikatvariable P,

M ⊨ ∀ P φ [s] iff für jede k -ary-Beziehung Q auf A haben wir M ⊨ φ [s ']

wobei sich s 'von s nur dadurch unterscheidet, dass die Beziehung Q der Prädikatvariablen P zugewiesen wird. (Hier verkürzt "iff" "genau dann, wenn".) In ähnlicher Weise gilt für die ak-place-Funktionsvariable F, M ⊨ ∀ F φ [s] iff für jede k-Platz-Funktion G auf A haben wir M ⊨ φ [s ']

wobei sich s 'von s nur dadurch unterscheidet, dass die Funktion G der Funktionsvariablen F zugeordnet wird. Beachten Sie, dass sich diese Definition im Fall einer Prädikatvariablen mit einer Stelle auf alle Teilmengen von A bezieht, dh auf die gesamte Potenzmenge von A. Dieses Merkmal erklärt die außergewöhnliche semantische Stärke von Sprachen zweiter Ordnung.

Im Fall eines Satzes zweiter Ordnung σ (dh einer Formel ohne freie Variable) ist die Zuordnung s nicht mehr relevant, und wir können eindeutig von der Wahrheit oder Falschheit von σ in der Struktur M sprechen (dh wir kann sagen, dass M ein Modell von σ) ist oder nicht. Insbesondere die Beispiele in § 1 von Übersetzungen aus der natürlichen Sprache in die Sprache der Logik zweiter Ordnung können nun gesehen werden, um ihre beabsichtigten Zwecke zu erfüllen. Die Konjunktion der Axiome für eine lineare Ordnung und des Satzes

∃ x Px → ∃ x (Px & ∀ y (Py → (y = xvx <y)))

ist wahr in einer Struktur (A, <), wenn die Beziehung <die Menge A gut ordnet. Der Satz

∃ R [∀ x ∀ y ∀ z (Rxy & Ryz → Rxz) & ∀ x (¬ Rxx & ∃ y Rxy)]

ist wahr in einer Struktur, wenn das Universum des Diskurses eine unendliche Menge ist. Dieses Beispiel zeigt, dass der Kompaktheitssatz nicht für Logik zweiter Ordnung gilt. Wenn wir den obigen Satz λ∞ nennen und λ n der Satz erster Ordnung sein lassen "es gibt mindestens n verschiedene Dinge im Universum", dann die Menge

{¬λ∞, λ2, λ3, λ4,…}

hat kein Modell, obwohl jede endliche Teilmenge ein Modell hat.

Die Konjunktion der Peano-Postulate

∀ x (¬0 = Sx) und ∀ x ∀ y (Sx = Sy → x = y)

und das Peano-Induktionspostulat

∀ X [X 0 & ∀ y (Xy → XSy) → ∀ y Xy]

gilt für eine Struktur (A, f, e), wenn diese Struktur isomorph zu (N, S, 0) ist, die natürlichen Zahlen mit der Nachfolgeroperation S und dem unterscheidbaren Element 0. Die Konjunktion dieser drei Sätze liefert ein Beispiel für a Satz, der kategorisch ist, dh genau ein Modell hat, bis hin zum Isomorphismus. Im Gegensatz dazu kann ein Satz erster Ordnung nur dann kategorisch sein, wenn sein einziges Modell endlich ist.

In ähnlicher Weise kann das geordnete Feld reeller Zahlen (R, 0, 1, +, ×, <) bis zum Isomorphismus durch die Axiome erster Ordnung für ein geordnetes Feld zusammen mit dem Satz zweiter Ordnung charakterisiert werden, der das geringste ausdrückt -upper-gebundene Eigenschaft. Es ist bekannt, dass jedes Modell dieser Sätze isomorph zum geordneten Feld reeller Zahlen sein muss. Dieses Beispiel zeigt, dass das Löwenheim-Skolem-Theorem nicht für Logik zweiter Ordnung gilt.

Die vorhergehenden Beispiele zeigen, dass zwei alltägliche mathematische Strukturen (N, S, 0) und (R, 0, 1, +, ×, <) charakterisierbar zweiter Ordnung sind. Das heißt, jedes hat ein einzelnes Axiom zweiter Ordnung, von dem es bis zum Isomorphismus das einzige Modell ist. Man könnte sich fragen, welche anderen Strukturen zweiter Ordnung charakterisierbar sein könnten. Natürlich kann es bis zum Isomorphismus nur zählbar viele solcher Strukturen geben, weil jede einen Satz braucht.

Nehmen wir als nächstes an, dass wir in diesen Beispielen alle nicht logischen Symbole (dh alle Prädikatsymbole und Funktionssymbole) existenziell quantifizieren. Wenn π (0, S,) die Konjunktion der drei Peano-Postulate ist, ist der Satz ∃ x ∃ F π (x, F) ein Satz in der Gleichheitssprache zweiter Ordnung, dh er hat keine nicht logische Symbole überhaupt.

Eine Struktur für die Sprache der Gleichheit besteht einfach aus einem nicht leeren Diskursuniversum; Es gibt keine Beziehungen oder Funktionen oder unterscheidbare Elemente. Eine solche Struktur wird natürlich bis zum Isomorphismus einfach durch ihre Kardinalität bestimmt. Für einen Satz σ in der Sprache der Gleichheit sei sein Spektrum die Klasse der Kardinalitäten, in der er wahr ist. Zum Beispiel ist das Spektrum eines gültigen Satzes die Klasse aller Kardinalzahlen ungleich Null. Das Spektrum eines unbefriedigenden Satzes ist leer. Das Spektrum von ¬σ ist das Komplement (relativ zur Klasse aller Nicht-Null-Kardinalzahlen) des Spektrums von σ. Konjunktion und Disjunktion von Sätzen ergeben Schnittmenge und Vereinigung von Spektren. Ein Satz in der Sprache der Gleichheit wird durch sein Spektrum bis zur logischen Äquivalenz bestimmt.

Der Satz ∃ x ∃ F π (x, F), den wir aus den Peano-Postulaten gemacht haben, ist wahr in der zählbar unendlichen Kardinalität und in keiner anderen. Somit ist sein Spektrum ein Singleton. Angenommen, eine Kardinalzahl κ ist charakterisierbar zweiter Ordnung, wenn es einen Satz der Gleichheitssprache zweiter Ordnung gibt, der für die Kardinalität κ und nur dort gilt. (Die endlichen Kardinäle ungleich Null sind alle charakterisierbar erster Ordnung.) Wir haben gesehen, dass der zählbare unendliche Kardinal charakterisierbar zweiter Ordnung ist. In ähnlicher Weise können wir zeigen, dass die Kraft des Kontinuums charakterisierbar zweiter Ordnung ist. Wobei ρ (0, 1, +, ×, <) der Satz zweiter Ordnung ist, der das geordnete Feld reeller Zahlen bis zum Isomorphismus charakterisiert, der Satz

∃ x ∃ y ∃ F ∃ G ∃ R ρ (x, y, F, G, R)

ist ein Satz in der Sprache der Gleichheit zweiter Ordnung, der in der Kraft des Kontinuums und in keiner anderen Kardinalität wahr ist.

Man könnte fragen, welche anderen Kardinalzahlen zweiter Ordnung charakterisierbar sind. Siehe das Papier von S. Garland von 1974 für eine Untersuchung dieser Frage. Natürlich kann es nur unzählige solcher Kardinäle geben, weil jeder einen Satz nimmt.

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass der am wenigsten unzählige Kardinal zweiter Ordnung charakterisierbar ist. Wir können einen Satz verwenden, der besagt, dass das Universum unendlich, aber nicht zählbar ist und dass jede unzählige Teilmenge dem gesamten Universum entspricht. Wir haben also Sätze κ und λ in der Gleichheitssprache zweiter Ordnung, die den am wenigsten unzähligen Kardinal bzw. die Macht des Kontinuums charakterisieren. Der Satz κ ↔ λ ist ein gültiger Satz, wenn die Kontinuumshypothese wahr ist, und nur dann. Wir können daraus schließen, dass nicht alle Probleme mit der Logik zweiter Ordnung notwendigerweise in ZFC gelöst werden.

Die vielfach untersuchte Theorie PA, Peano-Arithmetik erster Ordnung, wird natürlich erhalten, indem anstelle des Induktionspostulats zweiter Ordnung ∀ X [X 0 & ∀ y (Xy → XSy) → ∀ y Xy] das entsprechende verwendet wird Schema erster Ordnung

φ (0) & ∀ y (φ (y → φ (Sy)) → ∀ y φ (y)

wobei φ eine beliebige geeignete Formel erster Ordnung sein kann. Die Wirkung dieses Schemas ist bekannt. Es stellt sicher, dass jede definierbare Menge, die 0 enthält und unter Nachfolger geschlossen wird, alles enthalten muss.

Nehmen wir an, wir gehen analog von unserer Axiomatisierung zweiter Ordnung des geordneten Feldes reeller Zahlen aus und ersetzen das Axiom der kleinsten Obergrenze zweiter Ordnung durch das entsprechende Schema. Das Ergebnis ist eine unendliche Menge von Axiomen erster Ordnung, die sicherstellt, dass jede definierbare Menge, die nicht leer und begrenzt ist, eine kleinste Obergrenze hat. Die Modelle hierfür werden als real geschlossene geordnete Felder bezeichnet. Interessanterweise wurde dieses Konzept zuerst von Algebraisten formuliert, nicht von Logikern.

Ein Maß für die Stärke der Logik zweiter Ordnung ist die Komplexität ihrer Menge gültiger Sätze. Sei V ¹ die Menge gültiger Sätze der Logik erster Ordnung und sei V² die Menge gültiger Sätze der Logik zweiter Ordnung. Insbesondere wissen wir in der Logik erster Ordnung mit nur einem einzigen Prädikatsymbol P mit zwei Stellen P, dass die Menge V ¹ (P) gültiger Sätze eine vollständige rechnerisch aufzählbare Menge ist (dh eine vollständige rekursiv aufzählbare Menge). (Hier können wir Gödel-Zahlen zuweisen und V ¹ (P) als eine Menge natürlicher Zahlen oder äquivalent direkt als eine Menge von Wörtern über einem endlichen Alphabet betrachten.) Und Tarski hat darauf hingewiesen, dass die Menge V ¹ (=) von gültigen Sätzen in der Gleichheitssprache erster Ordnung (ohne unlogische Symbole) ist entscheidbar.

Zum Vergleich sei V² (=) die Menge gültiger Sätze in der Gleichheitssprache zweiter Ordnung. Was ist die Komplexität dieses Sets?

Sei π die Konjunktion der Peano-Postulate und der Rekursionsgleichungen für Addition und Multiplikation. Somit ist π ein Satz zweiter Ordnung in der Sprache der Arithmetik mit 0, S, + und ×. Der Satz π ist kategorisch; sein einziges Modell ist (N, 0, S, +, ×) bis zum Isomorphismus. Folglich ist für einen Satz σ in der Sprache der Arithmetik σ in der Arithmetik wahr, wenn die Bedingung (π → σ) gültig ist. Dies zeigt, dass V² (0, S, +, ×) nicht arithmetisch sein kann (dh in der Arithmetik nicht definierbar erster Ordnung sein kann), damit die Wahrheit in der Arithmetik nicht unter Verstoß gegen den Satz von Tarski definierbar ist. Jetzt können wir alle nicht logischen Symbole quantifizieren. ein Satz φ (P) ist gültig, wenn der Satz ∀ P φ (P) gültig ist. Die Schlussfolgerung ist, dass V² (=) nicht arithmetisch ist.

So interessant das auch sein mag, es ist nur die Spitze des Eisbergs. Zunächst können wir zeigen, dass V² (=) nicht analytisch ist, dh in der Arithmetik nicht durch eine Formel zweiter Ordnung definierbar ist. Der Beweis von Tarskis Theorem, der zeigt, dass die Menge der wahren Sätze erster Ordnung der Arithmetik in der Arithmetik nicht definierbar ist, zeigt auch, dass die Menge der wahren Sätze zweiter Ordnung der Arithmetik in der Arithmetik nicht zweiter Ordnung definierbar ist. Der Rest des Arguments bleibt unverändert. Und später werden wir sehen, dass noch mehr wahr ist.

In einer ganz anderen Richtung hat R. Fagin einen überraschenden Zusammenhang zwischen einem Thema der Rechenkomplexität und der Definierbarkeit zweiter Ordnung über endliche Strukturen gezeigt. Beispielsweise kann ein endlicher Graph als ein Paar (V, E) betrachtet werden, das aus einer nicht leeren Scheitelpunktmenge V und einer symmetrischen Kantenrelation E auf V besteht. Die Aussage, dass der Graph mit drei Farben richtig gefärbt werden kann, kann durch einen Satz zweiter Ordnung ausgedrückt werden: Es gibt Teilmengen R, G, B, die V so aufteilen, dass zwei durch eine Kante verbundene Eckpunkte niemals dieselbe Farbe haben. Dieser Satz ist Σ-1-1, das heißt, er hat die Form

[existenzielle Quantifizierer zweiter Ordnung] [Formel erster Ordnung].

Es ist bekannt, dass Dreifarbigkeit eine NP-Eigenschaft eines Graphen ist. Das heißt, es ist eine Eigenschaft, die in der Polynomzeit von einer nicht deterministischen Turing-Maschine erkannt werden kann. (Es gibt eine nicht deterministische Turing-Maschine M und ein Polynom p, so dass immer dann, wenn (V, E), geeignet codiert, M gegeben wird, wenn (V, E) dreifarbig ist, eine Berechnung von M das akzeptiert Graph in p (n) Schritten, wobei n die Größe von (V, E) misst und wenn (V, E) nicht dreifarbig ist, wird keine Berechnung von M jemals den Graph akzeptieren.)

Fagin zeigte, dass dies kein isoliertes Beispiel ist; Jede NP-Eigenschaft endlicher Graphen kann durch einen Σ-1-1-Satz der Logik zweiter Ordnung definiert werden. Und umgekehrt definiert jeder Σ-1-1-Satz eine NP-Eigenschaft. Und anstelle von Graphen können wir gerichtete Graphen oder andere endliche Strukturen verwenden. Der Satz von Fagin besagt, dass eine Eigenschaft endlicher Strukturen genau dann eine NP-Eigenschaft ist, wenn sie durch einen Satz zweiter Ordnung Σ-1-1 definiert werden kann.

3. Allgemeine Semantik

Ein wesentliches Merkmal der im vorherigen Abschnitt diskutierten „Standardsemantik“ist, dass für eine Ein-Ort-Prädikatvariable X der Quantifizierer ∀ X über den gesamten Potenzsatz des Diskursuniversums reicht. Wir haben gesehen, dass diese Funktion Sprachen zweiter Ordnung ein hohes Maß an Ausdrucksstärke verleiht.

Aber wollen wir wirklich, dass der Quantifizierer ∀ X über der tatsächlich eingestellten Leistung liegt? Der Prädikativist wird einwenden, dass die Power-Set-Operation nicht sinnvoll ist. Und selbst der klassische Mathematiker wird zugeben, dass es einige dunkle Merkmale der Power-Set-Operation gibt. Die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese veranschaulicht eine solche Dunkelheit. Wenn unser Ziel darin besteht, die Grundlagen der Mathematik zu studieren, ist es möglicherweise ratsam, nicht als selbstverständlich zu betrachten, dass wir bereits alles über Potenzsätze wissen.

Das Konzept der allgemeinen Semantik für die Logik zweiter Ordnung vermeidet jeden Vorwand, dass die Potenzsatzoperation eine feste, gut verstandene Ressource ist. Stattdessen muss der Bereich des Quantifizierers ∀ X direkt angegeben werden.

Mit einer allgemeinen Vorstruktur für eine Sprache zweiter Ordnung meinen wir eine Struktur im üblichen Sinne (ein Diskursuniversum plus Interpretationen für die nicht logischen Symbole) zusammen mit den zusätzlichen Mengen:

• Das n-Platz-Beziehungsuniversum für jede positive ganze Zahl n. Dies muss eine Sammlung von n -ary-Beziehungen zum Diskursuniversum sein. Insbesondere muss das 1-Platz-Beziehungsuniversum eine Sammlung von Teilmengen des Universums sein. Somit ist es Teil (vielleicht alle, vielleicht auch nicht) der Kraft des Universums.
• Das n-Platz-Funktionsuniversum für jede positive ganze Zahl n. Dies muss eine Sammlung von n-Platz-Funktionen im Diskursuniversum sein.

Für eine allgemeine Vorstruktur M gibt es eine natürliche Möglichkeit zu definieren, was es bedeutet, dass eine Formel zweiter Ordnung φ in einer Struktur M unter einer Zuordnung von Objekten zu den freien Variablen in φ erfüllt wird, die wiederum geschrieben werden M ⊨ φ [s]. Die Quantifizierer zweiter Ordnung sind nun so definiert, dass sie sich über das entsprechende Universum erstrecken. Für die ak-place Prädikatvariable P, M ⊨ ∀ P φ [s] iff für jede k -ary-Beziehung Q im k-Place-Beziehungsuniversum haben wir M ⊨ φ [s ']

wobei sich s 'von s nur dadurch unterscheidet, dass die Beziehung Q der Prädikatvariablen P zugewiesen wird. In ähnlicher Weise gilt für die ak-place-Funktionsvariable F, M ⊨ ∀ F φ [s] iff für jede k-Platz-Funktion G im k-Platz-Funktionsuniversum haben wir M ⊨ φ [s ']

wobei sich s 'von s nur dadurch unterscheidet, dass die Funktion G der Funktionsvariablen F zugeordnet wird. Im Fall eines Satzes zweiter Ordnung σ (dh einer Formel ohne freie Variable) ist die Zuordnung s nicht mehr relevant, und wir können eindeutig von der Wahrheit oder Falschheit von σ in der allgemeinen Vorstruktur M sprechen (das ist, wir können sagen, dass M ein Modell von σ) ist oder nicht.

Aber für die Logik zweiter Ordnung wollen wir nicht wirklich, dass das 1-Platz-Beziehungsuniversum eine willkürliche Sammlung von Teilmengen des Universums ist. Wir wissen vielleicht nicht alles über den Betrieb des Netzteils, aber wir wissen einige Dinge darüber. Tatsächlich bedeutet die Verwendung allgemeiner Vorstrukturen, dass eine Sprache zweiter Ordnung als eine vielfach sortierte Sprache erster Ordnung behandelt wird.

Es gibt einige Untergruppen des Universums, die wir kennen, weil wir sie definieren können. Das heißt, angenommen, φ ist eine Formel, in der nur die Variable u frei vorkommt. Dann ist die in M definierte Menge φ die Menge, die aus allen Elementen a von M besteht, so dass φ in M erfüllt ist, wenn a u zugewiesen wird. Diese Idee kann erweitert werden. Angenommen, φ hat nur die freien Variablen u, v, w, x, Y und Z (wobei Y eine Prädikatvariable mit m Stellen und Z eine Funktionsvariable mit n Stellen ist). Angenommen, c und d sind Mitglieder des (individuellen) Universums M | von M, dass E im M 'sm-Ort-Beziehungsuniversum ist und dass F im M' sn-Ort-Funktionsuniversum ist. Dann definiert die binäre Beziehung φ in M aus den Parametern c, d, E und F die Menge der Paare <a, b> von Elementen von | M | so dass φ in M erfüllt ist, wenn seine Variablen u, v, w, x, Y,und Z werden a, b, c, d, E bzw. F zugewiesen. Das heißt, es ist die binäre Beziehung:

{<a, b> | M ⊨ φ (u, v, w, x, Y, Z) [a, b, c, d, E, F]}

Offensichtlich kann dieses Konzept auf die Situation verallgemeinert werden, in der eine ak -ary-Beziehung aus einer bestimmten Anzahl von Parametern definiert wird.

Dann ist es sinnvoll, die Aufmerksamkeit auf allgemeine Vorstrukturen zu beschränken, die unter Definierbarkeit geschlossen sind. In der gerade beschriebenen Situation ist es daher vernünftig zu erwarten, dass Ms 2-ary-Beziehungsuniversum die binäre Beziehung enthält, die φ aus Parametern in der Vorstruktur definiert. Das heißt, wir erwarten den Satz

∀ w ∀ x ∀ Y ∀ Z ∃ R ∀ u ∀ v [Ruv ↔ φ (u, v, w, x, Y, Z)]

wahr sein in M. Nennen Sie solche Sätze Verständnisaxiome.

Mit einer allgemeinen Struktur für eine Sprache zweiter Ordnung (auch als Henkin-Struktur bezeichnet) ist eine allgemeine Vorstruktur gemeint, in der alle Verständnisaxiome (für alle Formeln) wahr sind. (Hier könnte φ Quantifizierer über Prädikatvariablen enthalten, so dass sogar impedikative Verständnisaxiome wahr sein müssen. In Abschnitt 5 betrachten wir Alternativen zum „vollständigen Verständnis“.) Zu den allgemeinen Strukturen gehören diejenigen, in denen sich das 1-Stellen-Beziehungsuniversum befindet die tatsächliche Kraftmenge des einzelnen Universums und so weiter. (Nennen Sie eine solche allgemeine Struktur absolut.) Aber es kann auch andere geben.

Wir erhalten die allgemeine Semantik (auch Henkin-Semantik genannt) für eine Sprache zweiter Ordnung, indem wir alle allgemeinen Strukturen berücksichtigen. Das heißt, damit ein Satz σ in der allgemeinen Semantik gültig ist, muss er in allen allgemeinen Strukturen wahr sein. Dies ist eine stärkere Anforderung als zu sagen, dass σ in der Standardsemantik gültig ist. Ein Satz, der in der Standardsemantik gültig ist, gilt für jene allgemeinen Strukturen, für die das 1-Stellen-Beziehungsuniversum die volle Potenzmenge des einzelnen Universums ist, und so weiter. Aber ein solcher Satz σ könnte sich in einer allgemeinen Struktur als falsch herausstellen (das heißt, ¬σ könnte ein allgemeines Modell haben).

Das Hauptmerkmal der allgemeinen Semantik ist ein Ergebnis des Typs „nichts als“: Logik zweiter Ordnung mit der allgemeinen Semantik ist nichts als Logik erster Ordnung (vielfach sortiert) zusammen mit den Verständnisaxiomen. Somit ist ein Satz in der allgemeinen Semantik gültig, wenn er logisch (in der Logik erster Ordnung) durch die Menge der Verständnisaxiome impliziert ist.

Diese Reduktion auf Logik erster Ordnung ergibt sofort die folgenden Ergebnisse:

• (Aufzählbarkeit) In einer Sprache zweiter Ordnung mit endlich vielen nicht logischen Symbolen ist die Menge der Sätze, die in der allgemeinen Semantik gültig sind, berechenbar aufzählbar. Dies gilt, weil die Menge der Verständnisaxiome eine berechenbare Menge ist (dh eine rekursive Menge).
• (Kompaktheit) Eine Menge von Sätzen hat ein allgemeines Modell, wenn jede endliche Teilmenge ein allgemeines Modell hat.
• (Löwenheim - Skolem) Wenn eine Menge von Sätzen ein allgemeines Modell hat, dann hat sie ein zählbares allgemeines Modell.

In jedem dieser drei Fälle besteht ein scharfer Kontrast zu der in Abschnitt 2 betrachteten Situation der Standardsemantik. Darüber hinaus kann ein deduktiver Kalkül für die Logik zweiter Ordnung angegeben werden (angepasst an die Logik erster Ordnung und ergänzt durch die Verständnisaxiome). das wird für die allgemeine Semantik vollständig sein.

Zum Vergleich ist die axiomatische Mengenlehre (ZFC sagen) eine Theorie erster Ordnung; Ein Modell der Mengenlehre muss eine Potenzsatzoperation liefern. Die Sprache der Mengenlehre hat jedoch bestimmte Aspekte höherer Ordnung, da sie es uns ermöglicht, von Mengen, Mengen von Mengen usw. zu sprechen.

Im Extremfall einer Struktur M, in der alle Beziehungen definierbar sind (z. B. eine Struktur mit einem Einpunktuniversum), stimmt die allgemeine Semantik mit der Standardsemantik überein.

4. Logik höherer Ordnung

Es besteht keine Notwendigkeit, bei der Logik zweiter Ordnung anzuhalten. man kann weitermachen Wir können der Sprache „Super-Prädikat“-Symbole hinzufügen, die sowohl einzelne Symbole (entweder Variablen oder Konstanten) als auch Prädikatsymbole als Argumente verwenden. Und dann können wir die Quantifizierung über Super-Prädikatsymbole zulassen. Und dann können wir weiter machen.

(Der Leser ist darauf hinzuweisen, dass es in der Literatur zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, die Reihenfolge zu zählen. Gemäß einem Schema ermöglicht die Logik dritter Ordnung, dass Symbole mit Superprädikaten frei auftreten, und die Logik vierter Ordnung ermöglicht, dass sie quantifiziert werden. Nach dem anderen Schema ermöglicht die Logik dritter Ordnung bereits die Quantifizierung von Symbolen mit Superprädikaten.)

Nach ω-Schritten erreichen wir das Niveau der Typentheorie. Und eine Fortsetzung ins Transfinite ist denkbar.

Wir haben gesehen, dass, obwohl die Menge V ¹ gültiger Formeln der Logik erster Ordnung berechenbar aufzählbar ist, die entsprechende Menge V² für Logik zweiter Ordnung (mit der Standardsemantik) weitaus komplexer ist. Dieses Phänomen setzt sich nicht in höheren Ordnungen fort.

In gewisser Weise ist die Power-Set-Operation in der Logik zweiter Ordnung definierbar. Betrachten Sie eine Sprache mit einem einstelligen Prädikatsymbol I (für Einzelpersonen), einem einstelligen Prädikatsymbol S (für Mengen) und einem zweiteiligen Prädikatsymbol E (für die Zugehörigkeitsbeziehung). Um dann die Idee auszudrücken, dass S die Potenzmenge von I ist, können wir die Konjunktion (nennen wir es σ) der folgenden vier Sätze verwenden:

∀ x (Ix + Sx), wobei „+“exklusive Disjunktion bezeichnet

∀ x ∀ y (Exy → Ix & Sy)

∀ x ∀ y (Sx & Sy & ∀ t (ETX ↔ Ety) → x = y) (Extensionalität)

∀ X ∃ y (Sy & ∀ t (It → (Ety ↔ Xt))) (Verständnis).

Offensichtlich ist σ in jeder Struktur wahr, deren Universum die disjunkte Vereinigung einer Menge A und ihrer Potenzmenge P (A) ist und die A I zuweist, S P (A) zuweist und E die Zugehörigkeitsrelation ∈ zuweist. Umgekehrt sei M ein beliebiges Modell von σ (in der Standardsemantik). Sei f eine Eins-zu-Eins-Funktion aus Ms Interpretation von I auf eine Menge A, die von ihrer Potenzmenge getrennt ist (es gibt immer eine solche Menge). Erweitern Sie f auf das gesamte Universum von M, indem Sie für jedes s in Ms Interpretation von S definieren

f (s) = {f (i) | M ⊨ E [i, s]}

(das heißt, f (s) ist die Menge von Dingen in A, von denen M glaubt, dass sie zu s gehören). Dann ist f ein Isomorphismus von M zu einer Struktur, deren Universum die disjunkte Vereinigung einer Menge A und ihrer Potenzmenge P (A) ist und die A A zuweist, S P (A) zuweist und die Zugehörigkeitsrelation ∈ zuweist E. Grob gesagt definiert σ die Potenzsatzoperation "innerhalb des Isomorphismus".

In ähnlicher Weise können wir innerhalb des Isomorphismus die Potenzmenge von I × I definieren, dh die Menge der binären Beziehungen auf I. Und so weiter.

Diese Ausdruckbarkeit zweiter Ordnung der Potenzsatzoperation ermöglicht die Simulation einer Logik höherer Ordnung innerhalb zweiter Ordnung. Insbesondere haben wir das folgende Ergebnis von Hintikka (1955): Für jede Formel φ der Logik höherer Ordnung (in einer Sprache mit endlich vielen nicht logischen Symbolen) können wir effektiv einen Satz ψ der Logik zweiter Ordnung finden (in die Sprache der Gleichheit), so dass φ genau dann gültig ist, wenn ψ gültig ist. Der Satz ψ wird konstruiert, indem zunächst die Sprache erweitert wird, indem Symbole für Universen verschiedener Typen (Individuen, Gruppen von Individuen usw.) und für die Mitgliedschaft in diesen Universen hinzugefügt werden. Dann entspricht die Gültigkeit von φ der Gültigkeit einer Formel zweiter Ordnung

Die Universen sind korrekt angeordnet → φ *

wobei φ * eine geeignete Relativierung von φ ist. Schließlich können wir universelle Quantifizierer voranstellen, um einen Satz ψ in der Sprache der Gleichheit zu erhalten.

Somit ist die Menge der Gültigkeiten der Logik siebzehnter Ordnung berechenbar auf V² (=) reduzierbar, die Menge der Gültigkeiten zweiter Ordnung in der Sprache der Gleichheit. (Tatsächlich sind diese beiden Mengen rechnerisch isomorph.) In diesem Aspekt nimmt die Komplexität der Logik höherer Ordnung mit der Ordnung nicht zu. Daraus folgt, dass die Menge V² (=) einen hohen Komplexitätsgrad aufweist. Wir können unsere frühere Beobachtung erweitern, dass sie in der Arithmetik zweiter Ordnung nicht definierbar ist; es ist auch in der Arithmetik höherer Ordnung nicht definierbar. Montague erweiterte dies 1965 auf das Transfinite. Zu dieser Zeit hörte man ihn sagen, dass die Menge V² (=) in keiner Kleene-Hierarchie „Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft“liegt.

Die Tatsache, dass wir die Potenzmengenoperation in Logik zweiter Ordnung ausdrücken können (und die Prozedur iterieren können), gibt der Logik zweiter Ordnung einen großen Teil der Ausdruckskraft der Mengenlehre. Quine hat behauptet, dass Logik zweiter Ordnung nicht wirklich Logik ist, sondern die Theorie verschleiert. Und Robert Vaught hat kommentiert, dass das Studium der Logik zweiter Ordnung dem Studium des „Standardmodells der Mengenlehre“gleicht.

Die Komplexität von V² (=) ändert sich nicht wesentlich, wenn wir der Quantifiziererform der Sätze Beschränkungen auferlegen. Die vorstehende Reduktion der Logik höherer Ordnung ergibt Π-1-2 Sätze, so dass wir schließen können, dass die Menge der gültigen Π-1-2 Sätze in der Sprache der Gleichheit rechnerisch isomorph zum vollen V² (=) ist. Das ist ungefähr das bestmögliche Ergebnis. Die Menge von Π-1-1 gültigen Sätzen ist eine vollständige rechnerisch aufzählbare Menge; Sobald wir die universellen Quantifizierer zweiter Ordnung fallen lassen, betrachten wir Formeln erster Ordnung. Die Menge von Σ-1-1 gültigen Sätzen in der Sprache der Gleichheit ist eine vollständige Coce-Menge, dh das Komplement einer rechnerisch aufzählbaren Menge. (Der Satz ∃ P φ (P) gilt für jede Nicht-Null-Kardinalität, wenn der Elementarsatz φ (P) Modelle jeder endlichen Größe hat, eine Co-ce-Eigenschaft. Und einer Turing-Maschine können wir effektiv einen Elementarsatz mit Modellen jeder endlichen Größe zuweisen, wenn die Maschine niemals anhält.) Die Menge der gültigen Σ-1-2-Sätze in der Sprache der Gleichheit ist auch rechnerisch isomorph zum vollen V² (=), aber diese Tatsache erfordert einen anderen Beweis.

5. Systeme der Zahlentheorie zweiter Ordnung

Die Sprache der Arithmetik (mit 0, S, <, + und ×) ist wichtig für die Grundlagen der Mathematik. Als Axiome können wir die üblichen Peano-Postulate verwenden, einschließlich des Induktionsaxioms zweiter Ordnung. In der Standardsemantik ist das einzige Modell der Peano-Postulate bis zum Isomorphismus das übliche Modell der Arithmetik. Die durch diese Axiome erzeugte Theorie (in der Standardsemantik) ist also einfach die Theorie zweiter Ordnung der wahren Arithmetik.

Nehmen wir jedoch an, wir betrachten stattdessen die allgemeine Semantik. Die Peano-Postulate haben allgemeine Modelle, die sich in zweierlei Hinsicht (oder in beiden Fällen) vom üblichen Modell unterscheiden können. Wir können den Kompaktheitssatz verwenden, um nicht standardmäßige allgemeine Modelle der Peano-Postulate zu konstruieren, die unendlich große Zahlen enthalten. Wir können auch allgemeine Modelle der Peano-Postulate finden, in denen das Universum der Mengen kleiner ist als die volle Potenzmenge des einzelnen Universums (dh allgemeine Modelle, die nicht absolut sind). In der Tat muss jedes zählbare allgemeine Modell von dieser Art sein.

Im Kontext allgemeiner Modelle fügen wir das zusätzliche Axiomschema zur Auswahl hinzu:

∀ n ∃ X φ (n, X) → ∃ Y ∀ n φ (n, {t | Ynt})

nach Bedarf durch universelle Quantifizierer vorangestellt. (Hier wird die Formel, die als φ (n, {t | Ytn}) geschrieben wurde, aus φ (n, X) erhalten, indem jeder Term Xu durch den Term Ynu ersetzt wird.)

Die Peano-Postulate sind stark genug, um uns Paarungsfunktionen zu bieten. Folglich bestimmt für ein allgemeines Modell sein 1-Platz-Beziehungsuniversum sein k-Platz-Beziehungsuniversum für jedes k vollständig.

Die traditionelle Terminologie besteht darin, die Zahlentheorie zweiter Ordnung als Analyse zu bezeichnen. Der Name leitet sich von der Tatsache ab, dass es möglich ist, reelle Zahlen mit Mengen natürlicher Zahlen zu identifizieren. Die Quantifizierer zweiter Ordnung über Mengen natürlicher Zahlen können dann als Quantifizierer über den reellen Zahlen angesehen werden. Die Angemessenheit des Namens ist fraglich, aber seine Verwendung ist gut etabliert. Dementsprechend meinen wir mit einem Analysemodell ein allgemeines Modell der Peano-Postulate mit Wahl. Als allgemeines Modell muss jedes Analysemodell natürlich alle Verständnisaxiome erfüllen; später werden wir erwägen, diese Anforderung zu schwächen.

Sei A 2 die Theorie, die von den Peano-Postulaten mit Wahl (in der allgemeinen Semantik) erzeugt wird. Dann ist A 2 eine vollständige rechnerisch aufzählbare Teilmenge der wahren Arithmetik zweiter Ordnung. Eine 2 enthält jeden wahren Σ-0-1-Satz. Es enthält nicht jeden wahren Π-0-1-Satz.

Wir können eine stärkere Theorie erhalten, indem wir die Aufmerksamkeit auf die Analysemodelle beschränken, die sich vom üblichen Modell nur auf die zweite der beiden zuvor beschriebenen Arten unterscheiden. Das heißt, definieren Sie ein ω-Analysemodell als ein Analysemodell, in dem das individuelle Universum die tatsächliche Menge natürlicher Zahlen ist und die Symbole 0 und S ihre üblichen Interpretationen haben. (Folglich haben die Symbole <, + und × ihre üblichen Interpretationen.) Das Mengenuniversum eines ω-Analysemodells muss daher ein Teil (möglicherweise alle) der Potenzmenge der natürlichen Zahlen sein, aber es muss so sein dieses volle Verständnis ist zufrieden.

Die Motivation zur Berücksichtigung von ω-Modellen kann wie folgt angegeben werden. Wir haben ein klares Verständnis - oder so denken wir gerne - über die Menge der natürlichen Zahlen. Aber wir haben nicht so etwas wie das gleiche Verständnis der Potenzmenge der Menge natürlicher Zahlen. Es ist also vernünftig, den Teil, dessen wir uns sicher sind, festzuhalten, aber den Teil, bei dem wir uns nicht so sicher sind, für die Interpretation offen zu lassen.

Ein ω-Modell der Analyse wird vollständig durch sein festgelegtes Universum bestimmt. Da wir Paarungsfunktionen haben, die erster Ordnung definierbar sind, bestimmt das Mengenuniversum das Universum der binären Beziehung und so weiter. Ein Löwenheim-Skolem-Argument wird zeigen, dass es ω-Analysemodelle mit einem zählbaren Mengenuniversum gibt.

In jedem ω-Analysemodell sind die wahren Sätze erster Ordnung genau diejenigen, die im üblichen Modell wahr sind. Aber ω-Modelle können sich in Sätzen zweiter Ordnung unterscheiden. Sei A ω die Theorie der ω-Modelle, dh die Menge der Sätze, die in allen ω-Analysemodellen wahr sind. Dann erweitert A ω A 2. Es ist eine vollständige Π-1-1-Menge. Es enthält jeden wahren Π-1-1-Satz; es enthält nicht jeden wahren Σ-1-1-Satz.

Mit der ω-Regel meinen wir die unendliche Inferenzregel, die ∀ x φ (x) aus den Prämissen φ (0), φ (1), φ (2),… ableitet. Nehmen wir an, wir fügen diese Regel dem üblichen logischen Apparat hinzu und sehen, was sich dann aus den Peano-Postulaten mit Wahl ableiten lässt. Ein „Abzug“nach der ω-Regel ist im Allgemeinen unendlich, muss aber begründet sein. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass ein auf diese Weise ableitbarer Satz in A ω steht. Umgekehrt gilt ein Vollständigkeitssatz: Jeder Satz in A ω hat einen Abzug der beschriebenen Art.

In einer Arbeit von 1961 beschrieb Andrzej Mostowski einen Weg, einen Schritt weiter zu gehen, hin zu einer noch stärkeren Theorie. Nehmen wir an, wir sind bereit, nicht nur den Ordnungstyp ω als ausreichend verstanden zu betrachten, sondern auch das Konzept einer guten Ordnung. Definieren Sie ein β-Analysemodell als ω-Modell mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass Ordnungen im Modell, die als gute Ordnungen erscheinen, tatsächlich sind. Das heißt, ein ω-Modell M der Analyse ist ein β-Modell, wenn jede Ordnungsbeziehung (auf den natürlichen Zahlen) in M mit der Eigenschaft, dass nicht leere Mengen in M immer die geringsten Mitglieder haben, tatsächlich eine gute Ordnung ist.

Dann stellt sich heraus, dass die Menge A β von Sätzen, die in allen β-Modellen wahr sind, eine vollständige Π-1-2-Menge ist. Es enthält jeden wahren Π-1-2 Satz; es enthält nicht jeden wahren Σ-1-2 Satz. Klar haben wir die Einschlüsse

A 2 ⊆ A ω ⊆ A β ⊆ Wahre Arithmetik zweiter Ordnung.

Beispielsweise wird der zahlentheoretische Teil eines transitiven ∈-Modells der ZF-Mengen-Theorie immer ein β-Modell der Analyse sein. Aber wir können ein β-Modell ohne starke Annahmen konstruieren. Es gibt tatsächlich ein kleinstes β-Modell, und es kann so konstruiert werden, dass es an Gödels Definition der Klasse L konstruierbarer Mengen erinnert.

Abschließend sollte erwähnt werden, dass es Kontexte gibt, in denen Theorien der Arithmetik zweiter Ordnung mit weniger als vollständigem Verständnis geeignet sind. Zum Beispiel kann man die von den Peano-Postulaten gegebene Theorie ACA zusammen mit Verständnisaxiomen nur für Formeln erster Ordnung nehmen. Es hat sich gezeigt, dass solche Theorien auf das Studium der „umgekehrten Mathematik“anwendbar sind.

Literaturverzeichnis

• Boolos, George, 1975. „Über Logik zweiter Ordnung“, The Journal of Philosophy, 72: 509–527. Auch in Logic, Logic und Logic von George Boolos, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1998, S. 37–53.
• Church, Alonzo, 1956. Einführung in die mathematische Logik, Band 1. Princeton: Princeton University Press.
• –––, 1972. „Axiome für Funktionskalküle höherer Ordnung“in Logik und Kunst: Essays zu Ehren von Nelson Goodman, Richard S. Rudner und Israel Scheffler (Hrsg.), Indianapolis und New York: Bobbs-Merrill Company, S. 197–213.
• Enderton, Herbert B., 2001. Eine mathematische Einführung in die Logik, zweite Auflage. San Diego: Akademische Presse.
• Fagin, Ronald, 1974. "Verallgemeinerte Spektren erster Ordnung und polynomialzeiterkennbare Mengen" in Complexity of Computation, Richard M. Karp (Hrsg.), SIAM-AMS Proceedings, vol. 7, Providence: American Mathematical Society, S. 43–73.
• Garland Stephen J., 1974. "Kardinalcharakterisierbarkeit zweiter Ordnung" in Axiomatic Set Theory, Thomas J. Jech (Hrsg.), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 13, Teil 2, Providence: American Mathematical Society, S. 127–146.
• Grzegorczyk, Andrzej, A. Mostowski und C. Ryll-Nardzewski, 1958. „Die klassische und die ω-vollständige Arithmetik“, The Journal of Symbolic Logic, 23: 188–205.
• Henkin, Leon, 1950. „Vollständigkeit in der Typentheorie“, The Journal of Symbolic Logic, 15: 81–91.
• Hintikka, K. Jaakko, 1955. „Reduktionen in der Typentheorie“in zwei Abhandlungen über symbolische Logik, Acta Philosophica Fennica, Nr. 8, Helsinki, S. 57–115.
• Montague, Richard, 1965. „Reduktionen der Logik höherer Ordnung“in The Theory of Models, JW Addison, Leon Henkin und Alfred Tarski (Hrsg.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co., S. 251–264.
• Mostowski, Andrzej, 1961. „Formales Analysesystem basierend auf einer infinitistischen Beweisregel“in Infinitistic Methods, Warschau: Państwowe Wydawnictwo Naukowe und Oxford, London, New York und Paris: Pergamon Press, S. 141–166.
• Orey, Steven, 1956. „Über ω-Konsistenz und verwandte Eigenschaften“, The Journal of Symbolic Logic, 21: 246–252.
• Shapiro, Stewart, 1991. Grundlagen ohne Fundamentalismus: Ein Argument für Logik zweiter Ordnung. Oxford: Oxford University Press.
• Simpson, Stephen, 1999. Subsysteme der Arithmetik zweiter Ordnung. Berlin: Springer.
• Väänänen, Jouko, 2001. „Logik zweiter Ordnung und Grundlagen der Mathematik“, The Bulletin of Symbolic Logic, 7: 504–520.

Akademische Werkzeuge

	Wie man diesen Eintrag zitiert.
	Vorschau der PDF-Version dieses Eintrags bei den Freunden der SEP-Gesellschaft.
	Schlagen Sie dieses Eintragsthema im Indiana Philosophy Ontology Project (InPhO) nach.
	Erweiterte Bibliographie für diesen Eintrag bei PhilPapers mit Links zu seiner Datenbank.

Andere Internetquellen

[Bitte kontaktieren Sie den Autor mit Vorschlägen.]