Skolems Paradoxon

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Erstveröffentlichung Montag, 12. Januar 2009

Skolems Paradoxon beinhaltet einen scheinbaren Konflikt zwischen zwei Theoremen der klassischen Logik. Das Löwenheim-Skolem-Theorem besagt, dass eine Theorie erster Ordnung, wenn sie unendliche Modelle hat, Modelle hat, deren Domänen nur zählbar sind. Der Satz von Cantor besagt, dass einige Mengen unzählig sind. Skolems Paradoxon entsteht, wenn wir feststellen, dass die Grundprinzipien der Cantorianischen Mengenlehre - dh genau die Prinzipien, die verwendet werden, um Cantors Theorem über die Existenz unzähliger Mengen zu beweisen - selbst als Sammlung von Sätzen erster Ordnung formuliert werden können. Wie können die Prinzipien, die die Existenz unzähliger Mengen beweisen, durch ein Modell erfüllt werden, das selbst nur zählbar ist? Wie kann ein zählbares Modell den Satz erster Ordnung erfüllen, der besagt, dass es unzählige mathematische Objekte gibt, z. B. unzählige reelle Zahlen?

Die philosophische Diskussion dieses Paradoxons konzentrierte sich in der Regel auf drei Hauptfragen. Zunächst gibt es eine rein mathematische Frage: Warum führt Skolems Paradoxon keinen direkten Widerspruch in die Mengenlehre ein? Zweitens gibt es eine historische Frage. Skolem selbst gab eine ziemlich gute Erklärung dafür, warum Skolems Paradoxon keinen einfachen mathematischen Widerspruch darstellt; Warum fanden Skolem und seine Zeitgenossen das Paradoxon dann weiterhin so philosophisch beunruhigend? Schließlich gibt es eine rein philosophische Frage: Was sagt uns Skolems Paradoxon, wenn überhaupt, über unser Verständnis der Mengenlehre und / oder über die Semantik der Mengenlehre?

1. Hintergrund
2. Mathematische Fragen
- 2.1 Das Aussehen des Paradoxons
- 2.2 Eine generische Lösung
- 2.3 Transitive Submodelle
- 2.4 ZFC, Power Sets und reelle Zahlen
- 2.5 Vier Endpunkte
3. Philosophische Fragen
- 3.1 Ansichten von Skolem
- 3.2 Skolemitische Skepsis
- 3.3 Putnams modelltheoretisches Argument
4. Fazit
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1. Hintergrund

Um Skolems Paradoxon zu verstehen, müssen wir zunächst zwei Sätze aus der klassischen Logik in Erinnerung rufen. ^[1] Die erste stammt aus dem späten 19. Jahrhundert. 1873 formulierte Georg Cantor eine neue Technik zur Messung der Größe oder Kardinalität einer Reihe von Objekten. Cantors Idee war, dass zwei Sätze die gleiche Kardinalität haben sollten, nur für den Fall, dass ihre Mitglieder in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz miteinander gebracht werden können. So kann beispielsweise die Menge {1, 2,…, 26} über die natürliche Karte, die 1 zu A, 2 zu bezieht, in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit der Menge {A, B,…, Z} gebracht werden B, 3 bis C usw. usw.; In ähnlicher Weise kann die Menge der natürlichen Zahlen über die Karte in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit der Menge der geraden Zahlen gebracht werden: x

2 x.

Als Cantor diese Auffassung von Kardinalität auf unendliche Mengen anwendete, kam er zu dem zunächst überraschenden Schluss, dass es verschiedene Arten von Unendlichkeit gibt. Es gibt relativ kleine unendliche Mengen wie die Menge der geraden Zahlen, die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der rationalen Zahlen. Diese Mengen können alle eins zu eins mit den natürlichen Zahlen korrespondiert werden; sie werden zählbar unendlich genannt. Im Gegensatz dazu gibt es viel „größere“unendliche Mengen wie die Menge der reellen Zahlen, die Menge der komplexen Zahlen oder die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen. Diese Mengen sind zu groß, um mit den natürlichen Zahlen eins zu eins korrespondiert zu werden. Sie werden unzählig unendlich genannt. Cantors Theorem ist also nur die Behauptung, dass es unzählige unendliche Mengen-Mengen gibt, die sozusagen zu groß sind, um als zählbar zu gelten.^[2]

Unser zweiter Satz stammt aus dem frühen 20. Jahrhundert. 1915 bewies Leopold Löwenheim, dass ein Satz erster Ordnung ein Modell hat, dessen Domäne abzählbar ist. ^[3] 1922 verallgemeinerte Thoralf Skolem dieses Ergebnis auf ganze Sätze. Er bewies, dass eine zählbare Sammlung von Sätzen erster Ordnung ein unendliches Modell hat, dann ein Modell, dessen Domäne nur zählbar ist. Dies ist das Ergebnis, das typischerweise unter dem Namen Löwenheim-Skolem-Theorem geführt wird. Bevor wir fortfahren, ist es nützlich, drei etwas verfeinerte Versionen dieses Theorems zu erwähnen. ^[4]

Sei T eine zählbare Sammlung von Sätzen erster Ordnung und sei A eine unendliche Menge. Der Löwenheim-Skolem-Satz nach oben besagt, dass wenn T ein unendliches Modell hat, T ein Modell hat, dessen Domäne die gleiche Größe wie A hat (tatsächlich können wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass die Domäne dieses zweiten Modells nur A ist). ^[5] Der Abwärts-Löwenheim-Skolem-Satz besagt, dass wenn M ein Modell der Kardinalität κ ist und wenn λ ein Kardinal kleiner als κ ist, M ein Submodell der Kardinalität λ hat, das genau die gleichen Sätze erfüllt wie M selbst. ^[6] Schließlich stärkt der Satz des transitiven Submodells den abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem-Satz, indem er sagt, dass wenn unser anfängliches M.zufällig ein sogenanntes transitives Modell für die Sprache der Mengenlehre, dann kann das durch den Abwärtssatz erzeugte Submodell auch als transitiv gewählt werden. ^[7]

Kehren wir nun zur ursprünglichen Version des Löwenheim-Skolem-Theorems zurück, die einfach behauptete, dass jede Theorie, die ein unendliches Modell hat, auch ein Modell hat, das zählbar unendlich ist. Skolems Paradoxon entsteht, wenn wir feststellen, dass die Standardaxiome der Mengenlehre selbst als (zählbare) Sammlung von Sätzen erster Ordnung formuliert werden können. Wenn diese Axiome überhaupt ein Modell haben, stellt das Löwenheim-Skolem-Theorem sicher, dass sie ein Modell mit einer zählbaren Domäne haben. ^[8] Aber das scheint ziemlich rätselhaft. Wie können genau die Axiome, die Cantors Theorem über die Existenz unzähliger Mengen beweisen, durch ein Modell erfüllt werden, das selbst nur zählbar ist? Wie kann ein zählbares Modell den Satz erster Ordnung erfüllen, der sagt, dass es unzählige Dinge gibt?

Diese Fragen können durch Betrachtung eines bestimmten Falles etwas konkreter gemacht werden. Sei T eine Standardaxiomatisierung erster Ordnung der Mengenlehre. (Der Einfachheit halber konzentriert sich dieser Eintrag auf den Fall, in dem T ZFC ist, aber jede Standardaxiomatisierung der Mengenlehre wäre genauso gut.) Unter der Annahme, dass T ein Modell hat, stellen die Löwenheim-Skolem-Theoreme sicher, dass es ein zählbares Modell hat. Rufen Sie dieses Modell M. Nun, da T ⊢ ∃ x "x ist unzählbar", muss es einige mˆ ˆ M geben, so dass M ⊨ "mˆ unzählbar ist". Da M selbst nur zählbar ist, gibt es nur zählbar viele m ∈ M, so dass M.⊨ m ∈ mˆ An der Oberfläche scheinen wir also einen direkten Widerspruch zu haben: Aus einer Perspektive sieht mˆ unzählbar aus, während aus einer anderen Perspektive mˆ eindeutig zählbar ist.

Dies gibt uns also eine ziemlich einfache Formulierung von Skolems Paradoxon. Bevor wir uns der Lösung dieses Paradoxons zuwenden, ist wahrscheinlich ein Punkt zur Motivation angebracht. Aus einer Perspektive ist es nicht besonders überraschend, dass ein bestimmtes Modell nicht alle Merkmale der Realität, für die es sich um ein Modell handelt, genau erfasst. Ein mathematisches Modell einer physikalischen Theorie kann beispielsweise nur reelle Zahlen und Mengen reeller Zahlen enthalten, obwohl die Theorie selbst beispielsweise subatomare Teilchen und Regionen der Raumzeit betrifft. In ähnlicher Weise wird ein Tischmodell des Sonnensystems einige Dinge richtig über das Sonnensystem machen, während andere Dinge ganz falsch machen. So kann zum Beispiel die relative Größe der Planeten richtig sein, während ihre absoluten Größen (oder sogar ihre proportionalen Größen) falsch sind;oder es kann richtig sein, dass sich die Planeten um die Sonne bewegen, während sie sich über den Mechanismus dieser Bewegung irren (z. B. bewegen sich die Planeten nicht wirklich um die Sonne, weil ein Demonstrator eine Kurbel dreht!). Angesichts all dessen kann es unklar sein, warum wir überhaupt erwarten sollten, dass Modelle erster Ordnung der Mengenlehre die Unterscheidung zwischen zählbaren und unzählbaren Mengen genau erfassen. Daher kann es unklar sein, warum wir überhaupt denken sollten, dass Skolems Paradox überhaupt paradox aussieht. Es mag unklar sein, warum wir überhaupt erwarten sollten, dass Modelle erster Ordnung der Mengenlehre die Unterscheidung zwischen zählbaren und unzählbaren Mengen genau erfassen. Daher kann es unklar sein, warum wir überhaupt denken sollten, dass Skolems Paradox überhaupt paradox aussieht. Es mag unklar sein, warum wir überhaupt erwarten sollten, dass Modelle erster Ordnung der Mengenlehre die Unterscheidung zwischen zählbaren und unzählbaren Mengen genau erfassen. Daher kann es unklar sein, warum wir überhaupt denken sollten, dass Skolems Paradox überhaupt paradox aussieht.

Obwohl wir später mehr über diese Art von Problem sagen werden (siehe insbesondere Abschnitte 2.1 und 3.1), sind hier einige vorläufige Bemerkungen angebracht. Zunächst ist zu beachten, dass es einige satztheoretische Konzepte gibt, die Modelle erster Ordnung recht genau erfassen. Wie wir in Abschnitt 3.1 sehen werden, erfassen Modelle erster Ordnung endliche Kardinalitätsbegriffe - z. B. „x ist leer“, „x hat zwei Mitglieder“, „x hat siebzehn Mitglieder“usw. - auf im Wesentlichen absolute Weise. ^[9] Wenn wir uns erlauben, unendlich viele Formeln zu verwenden, können wir auch den allgemeineren Begriff „x ist unendlich“erfassen. ^[10]Wenn wir schließlich unser Verständnis von Mitgliedschaft fixieren, dh wenn wir unsere Aufmerksamkeit auf Modelle beschränken, die die reale Zugehörigkeitsbeziehung verwenden, um das Symbol „∈“zu interpretieren, können wir auch den allgemeinen Begriff „x ist endlich“erfassen. ^[11]

Angesichts all dessen zeigt Skolems Paradoxon, dass die Grenze zwischen zählbaren und unzählbaren Mengen in einem ziemlich tiefen Sinne der erste Ort ist, an dem unsere Modelltheorie die Fähigkeit verliert, Kardinalitätsvorstellungen zu erfassen. Diese Tatsache hilft zu erklären, warum Skolems Paradox weiterhin paradox aussehen kann, selbst nachdem wir die allgemeinen Punkte zu Modellen und Modelltheorie, die im vorletzten Absatz vorgestellt wurden, aufgegriffen haben. Kurz gesagt: Es ist genau die Tatsache, dass wir so viele der Kardinalitätsbegriffe erfassen können, die sozusagen unterhalb der zählbaren / unzählbaren Unterscheidung leben, was unsere plötzliche Unfähigkeit, die zählbare / unzählbare Unterscheidung selbst zu erfassen, anfangs so überraschend macht.

Zweitens hängt Skolems Paradoxon nicht von der spezifischen Axiomatisierung der Mengenlehre ab, mit der wir gerade arbeiten. Auf jede Axiomatisierung erster Ordnung der Mengenlehre können die Löwenheim-Skolem-Theoreme angewendet werden, so dass jede solche Axiomatisierung dem Skolem-Paradoxon unterliegt. Dies bedeutet insbesondere, dass wir das Paradoxon nicht lösen können, indem wir einfach eine neue Axiomatisierung der Mengenlehre wählen (oder der Axiomatisierung, die wir bereits verwenden, einige neue Axiome hinzufügen). Die Tatsache, dass Skolems Paradoxon auf diese Weise dem Kontext erster Ordnung innewohnt - dass es eine unausweichliche Tatsache über Axiomatisierungen erster Ordnung der Mengenlehre ist -, ist ein weiterer Grund, warum Skolems Paradoxon zunächst so rätselhaft erscheinen mag.

Dies gibt uns also einen ersten Versuch, Skolems Paradoxon zu formulieren. Im nächsten Abschnitt erklären wir, warum diese einfache Version des Paradoxons keinen echten Widerspruch darstellt, und wir betrachten einige verfeinerte Formulierungen des Paradoxons. In Abschnitt 3 wenden wir uns historischen und philosophischen Fragen zu. Abschnitt 3.1 befasst sich mit Skolems eigenem Verständnis seines Paradoxons. Die Abschnitte 3.2–3.3 befassen sich mit einigen neueren Versuchen zu argumentieren, dass das Paradoxon, obwohl es keinen echten mathematischen Widerspruch darstellt, dennoch etwas Philosophisch Wichtiges über die Natur unseres Verständnisses der Mengenlehre aussagt.

2. Mathematische Fragen

In einer Einführung in das Papier von 1922, in dem Thoralf Skolem Skolems Paradox zum ersten Mal vorstellte, schreibt Jean van Heijenoort, dass das Paradox „kein Paradox im Sinne einer Antinomie ist… es ist ein neuartiges und unerwartetes Merkmal formaler Systeme“. ^[12] Dieser Kommentar spiegelt den allgemeinen Konsens über Skolems Paradoxon innerhalb der mathematischen Gemeinschaft wider. Welche philosophischen Probleme auch immer das Paradoxon hervorrufen soll, es ist einfach kein Problem für die Mathematik.

Um zu verstehen, warum das Paradoxon kein Problem für die Mathematik darstellt, müssen wir zwei Fragen stellen. In der einfachen Formulierung des oben angegebenen Paradoxons haben wir festgestellt, dass es ein spezifisches mˆ ∈ M gibt, so dass M ⊨ „mˆ unzählbar ist“. Im wahrsten Sinne des Wortes ist das natürlich nicht ganz richtig. Was wir hier wirklich meinen, ist, dass es in der Sprache der formalen Mengenlehre eine ziemlich komplizierte Formel gibt - eine Formel, die Mathematiker manchmal als zweckmäßig erachten, mit dem englischen Ausdruck „x ist unzählig“abzukürzen - und dass M diese bestimmte Formel bei mˆ erfüllt. Der Einfachheit halber bezeichnen wir die relevante Formel mit "Ω (x)". Dann können wir die oben erwähnte Tatsache umformulieren, indem wir sagen, dass M ⊨ Ω [mˆ]. ^[13] Unsere beiden Fragen sind also:

Warum ist es so natürlich, Ω (x) mit „x ist unzählig“abzukürzen? Warum sollte jemand überhaupt denken, dass die Tatsache, dass M ⊨ Ω [mˆ] bedeutet, dass mˆ unzählig ist?
Warum bedeutet die Tatsache, dass M ⊨ Ω [mˆ] nicht wirklich ist, dass mˆ unzählbar ist?

Tatsächlich fragt die erste dieser Fragen, ob Skolems Paradoxon einfach ein Artefakt unserer Abkürzungen ist, ein Artefakt, das verschwinden würde, wenn Skolems Paradoxon sorgfältiger und klarer formuliert würde. Unter der Annahme, dass es nicht so verschwinden würde, fragt die zweite Frage nach einer detaillierteren Erklärung, wie das Paradoxon wirklich aufgelöst werden kann.

2.1 Das Aussehen des Paradoxons

Es gibt zwei Möglichkeiten, sich der ersten Frage zu nähern. Einerseits könnten wir mit der Formel Ω (x) beginnen und dieser Formel das geben, was wir als "gewöhnliches Englisch" bezeichnen könnten. Dies ist die Interpretation, bei der sich „∈“auf die reale satztheoretische Zugehörigkeitsbeziehung bezieht, bei der sich „∀“und „∃“über das gesamte (reale) satztheoretische Universum erstrecken und bei der „=“und die Satzverbindungen interpretiert werden in der üblichen Weise. ^[14] Dann wird für jede Menge m Ω (m) genau dann wahr, wenn m unzählbar ist. ^[fünfzehn]Dies zeigt, dass es mindestens eine Interpretation von Ω (x) gibt, unter der diese Formel tatsächlich - zumindest aus einer erweiterten Perspektive - den gewöhnlichen mathematischen Begriff der Unzählbarkeit erfasst. Es gibt also mindestens eine Interpretation, unter der Ω (mˆ) wirklich sagt, dass mˆ unzählbar ist.

Andererseits könnten wir nicht mit der Formel Ω (x) beginnen, sondern mit dem gewöhnlichen englischen Satz „x ist unzählig“. Auf die Frage, was dieser Satz bedeutet, sagt ein Mengen-Theoretiker etwas über das Fehlen einer Bijektion zwischen x und den natürlichen Zahlen. ^[16]Wenn sie nach dem Ausdruck "ist eine Bijektion" gefragt wird, wird sie weiter über Sammlungen geordneter Paare sprechen, die bestimmte nette Eigenschaften erfüllen, und wenn sie nach dem Begriff "geordnetes Paar" gefragt wird, wird sie etwas darüber sagen, wie man geordnete Paare identifizieren kann mit bestimmten Sets. Wenn sie diesen Prozess weit genug nimmt - und sich Zeit spart, indem sie Symbole wie ¬ und ∃ y als Abkürzungen für „nicht“und „es gibt eine Menge y, so dass“verwendet -, erhält sie schließlich eine detaillierte Erklärung von „ x ist unzählig “, was genau wie die Formel Ω (x) aussieht. Das heißt, wenn wir einfach die Syntax ihrer Erklärung von „x ist unzählbar“mit der Syntax von Ω (x) vergleichen, werden wir feststellen, dass diese beiden Ausdrücke genau dieselben Symbole in genau derselben Reihenfolge enthalten. ^[17]Daher stellen wir erneut fest, dass es eine reale, wenn auch etwas oberflächliche Ähnlichkeit zwischen Ω (x) und „x ist unzählbar“gibt - eine Ähnlichkeit, die auch dann bestehen bleibt, wenn wir aufhören, „x ist unzählbar“als einfache Abkürzung für Ω zu verwenden (x) und eine Ähnlichkeit, die erklärt, warum selbst eine übersichtlich formulierte Version von Skolems Paradox weiterhin etwas rätselhaft aussehen kann.

Dies sind also zwei Arten, über die Beziehung zwischen Ω (x) und „x ist unzählig“nachzudenken. Zusammen erklären sie, warum es für Mathematiker so natürlich ist, „x ist unzählbar“als Abkürzung für Ω (x) zu verwenden und (so) warum jemand zu der Annahme neigt, dass die Tatsache, dass M ⊨ Ω [mˆ] bedeuten sollte, dass mˆ ist unzählige. Sie bringen uns auch zu unserer zweiten Frage zurück: Warum bedeutet die Tatsache, dass M ⊨ Ω [mˆ] nicht wirklich bedeutet, dass mˆ unzählig ist?

2.2 Eine generische Lösung

Um diese zweite Frage zu beantworten, ist es nützlich, zunächst die gewöhnliche englische Interpretation von Ω (x) - die vor drei Absätzen eingeführte und die, die wirklich bedeutet, dass x unzählig ist - mit der modelltheoretischen Interpretation von Ω (x zu vergleichen) das ist gegeben durch M und ⊨. Es ist klar, dass diese letztere modelltheoretische Interpretation am relevantesten ist, um die Tatsache zu verstehen, dass M ⊨ Ω [mˆ] ist. Nur wenn diese modelltheoretische Interpretation ziemlich eng mit der gewöhnlichen englischen Interpretation verbunden ist - und damit ableitend mit dem gewöhnlichen englischen Ausdruck „x ist unzählig“-, können wir wirklich glauben, dass die Tatsache, dass M. ⊨ Ω [mˆ] sollte bedeuten, dass mˆ unzählbar ist.

Glücklicherweise reicht schon eine grobe Beschreibung der modelltheoretischen Interpretation aus, um zu zeigen, dass es keine solchen „engen Bindungen“gibt. Die modelltheoretische Interpretation wird erhalten, indem die Signifikanz von "∈" durch die Interpretationsfunktion von M festgelegt wird, die Quantifizierer in Ω (x) über dem Bereich von M liegen und die Signifikanz von "=" und dem Satz Konnektiva werden durch die Rekursionsklauseln in der Definition der Zufriedenheit erster Ordnung festgelegt. Diese Beschreibung hebt zwei unmittelbare Unterschiede zwischen der modelltheoretischen Interpretation und der gewöhnlichen englischen Interpretation hervor.

Erstens versteht die modelltheoretische Interpretation unter „∈“, welche binäre Beziehung auf M zufällig unter die Interpretationsfunktion von M fällt; Im Gegensatz dazu versteht die gewöhnliche englische Interpretation von Ω (x) "∈", um sich auf die reale satztheoretische Zugehörigkeitsbeziehung zu beziehen. Es gibt jedoch keinen Grund zu der Annahme, dass diese beiden Verständnisse miteinander übereinstimmen. Wir können Fälle finden, in denen M ⊨ m ₁ ∈ m _{2 war}, obwohl weder m ₁ noch m ₂ gerade Mengen sind (tatsächlich könnten m ₁ und m ₂ nach der Modelltheorie sowohl Katzen als auch Kaninchen sein oder Igel oder…). ^[18]Selbst wenn alle Elemente in M Mengen sind, bietet dies keine Garantie dafür, dass das modelltheoretische Verständnis von „∈“mit dem gewöhnlichen englischen Verständnis übereinstimmt. Wir können einen Fall finden, in dem m ₁ und m ₂ echte Mengen sind, aber in dem M ⊨ m ₁ ∈ m _{2 ist}, obwohl m ₁ nicht wirklich ein Mitglied von m _{2 ist}; In ähnlicher Weise können wir einen Fall finden, in dem M ⊨ m ₁ ∉ m _{2 ist}, obwohl m ₁ tatsächlich ein Mitglied von m _{2 ist} (und in dem wiederum m ₁ und m _{2 sind}sind echte Sets). ^[19]

Zweitens versteht die modelltheoretische Interpretation, dass "∃ x" und "∀ x" nur über den Bereich von M reichen, während die gewöhnliche englische Interpretation versteht, dass sich diese Quantifizierer über das gesamte satztheoretische Universum erstrecken. Diese beiden Verständnisse sind eindeutig sehr unterschiedlich. Darüber hinaus hängen die fraglichen Unterschiede ziemlich eng mit den Arten von Sets zusammen, die an Skolems Paradox beteiligt sind. Nehmen wir zum Beispiel an, dass M ⊨ "mˆ die Menge der reellen Zahlen ist." Dann zeigt ein einfaches Kardinalitätsargument, dass es 2 ^{ℵ ₀} reelle Zahlen gibt, die nicht in der Domäne von M leben (und daher insbesondere nicht in {m | M leben) ⊨ m ∈ m∈}). Daher gibt es einen echten Unterschied zwischen der wirklich unzählbaren Menge ℜ und der lediglich zählbaren Menge {m | M ⊨ m ∈ m∈} - zwischen der reellen Menge von reellen Zahlen und der Menge von Dingen, die M lediglich für reelle Zahlen hält. Bei der modelltheoretischen Interpretation von Ω (x) erstrecken sich die Quantifizierer nur über die letztere kleinere Menge, während sie sich bei der gewöhnlichen englischen Interpretation über die gesamte größere Menge erstrecken. Nehmen wir in ähnlicher Weise an, dass M ⊨ "m unendlich ist". Dann können wir zeigen, dass es genau 2 ^{ℵ ₀} Bijektionen f gibt: ω → {m '∈ M | M ⊨ m '∈ m}. ^[20]Jedoch höchstens abzählbar viele dieser Bijektionen leben im Bereich der M. Daher werden nur zählbar viele von ihnen von ∃ x und ∀ x unter der modelltheoretischen Interpretation von Ω (x) "gesehen", obwohl alle 2 ^{ℵ ₀} von ihnen unter der gewöhnlichen englischen Interpretation "gesehen" werden.

Zusammengenommen deuten diese Ergebnisse darauf hin, dass Skolems Paradoxon einfach einen Schleichschlitten zwischen zwei verschiedenen Interpretationen von Ω (x) einschalten kann. Bei einem zählbaren Modell für ZFC ist es die modelltheoretische Interpretation von Ω (x), die es uns ermöglicht, ein Element mˆ ∈ M so zu finden, dass M.⊨ Ω [mˆ]. Aber es ist nur die gewöhnliche englische Interpretation, die uns einen wirklichen Grund zur Annahme gibt, dass Ω (mˆ) bedeutet, dass mˆ unzählbar ist. Darüber hinaus gibt es, wie wir gerade gesehen haben, genügend Unterschiede zwischen der modelltheoretischen Interpretation und der gewöhnlichen englischen Interpretation, um uns gegenüber einer einfachen Folie zwischen den beiden misstrauisch zu machen (selbst wenn wir nicht wüssten, dass diese Folie uns letztendlich führen würde bis zu Skolems Paradoxon). Insbesondere sollten wir uns dann jedem Versuch widersetzen, direkt von der Tatsache, dass M ⊨ Ω [mˆ] ist, zu der Behauptung überzugehen, dass mˆ unzählbar ist.

Tatsächlich behandelt diese Analyse Skolems Paradoxon als einen einfachen Fall von Zweideutigkeit. Es gibt eine Interpretation von Ω (mˆ), nach der diese Formel tatsächlich bedeutet, dass mˆ eine unzählige Menge ist; es gibt eine andere - ganz andere - Interpretation, die sicherstellt, dass M ⊨ Ω [mˆ]; Skolems Paradoxon hängt davon ab, diese beiden Interpretationen zu verwechseln. Im Prinzip sollten wir uns nicht mehr wundern, wenn wir feststellen, dass diese Verwirrung uns in die Irre führt, als wenn wir feststellen, dass unsere direkten Ablagerungen nicht im örtlichen Flussufer vergraben sind. In der Tat mag der modelltheoretische Fall etwas schlimmer sein als der Bankfall: Sie könnten Glück haben und beim Graben am Flussufer vergrabene Schätze finden, aber es ist ein einfacher Satz, dass, wenn M zählbar ist, {m | M. ⊨ m ∈ m∈} ist ebenfalls zählbar.

Dies gibt uns also eine ziemlich einfache Lösung für Skolems Paradoxon. Es ist eine Lösung, die erklärt, warum die meisten Mathematiker das Paradoxon nicht sehr beunruhigend finden, und es ist auch eine ziemlich beliebte Lösung in der philosophischen Literatur. Es ist zum Beispiel im Wesentlichen die Lösung, die Skolem selbst 1922 zurückgegeben hat (Skolem 1922), und Varianten dieser Lösung sind in neueren Diskussionen über das Paradoxon aufgetaucht (Resnik 1966; Myhill 1967; Hart 1970; McIntosh 1979; Benacerraf 1985); Shapiro 1991; Giaquinto 2002). Es erscheint auch in einer Reihe neuerer einführender Lehrbücher (Shoenfield 1967; Kleene 1967; Fraenkel et al. 1984; Ebbinghaus et al. 1994; van Dalen 1997).

2.3 Transitive Submodelle

Bevor wir uns einigen rein philosophischen Fragen zu Skolems Paradoxon zuwenden, sind einige weitere Punkte zur Mathematik des Paradoxons angebracht. Um ein besseres Gefühl dafür zu bekommen, wie die Unterschiede zwischen der modelltheoretischen und der gewöhnlichen englischen Interpretation von Ω (x) tatsächlich zu Skolems Paradoxon führen, lohnt es sich, diese Unterschiede durch eine etwas verfeinerte Version des Paradoxons zu verfolgen. Wir sagen, dass eine Menge X transitiv ist, wenn jedes Mitglied von X eine Menge ist und jedes Mitglied eines Mitglieds von X auch ein Mitglied von X ist (also y ∈ x ∈ X ⇒ y ∈ X.). Wir sagen, dass ein Modell für die Sprache der Mengenlehre transitiv ist, wenn die Domäne des Modells eine transitive Menge ist und die "Zugehörigkeits" -Relation des Modells nur die reale Zugehörigkeitsrelation ist, die auf die Domäne des Modells beschränkt ist (also für jedes m ₁, m ₂ ∈ m, m ⊨ m ₁ ∈ m ₂ ⇔ m ₁ ∈ m ₂). Wie in Abschnitt 1 erwähnt, besagt der Satz des transitiven Submodells, dass wir, wenn wir mit einem transitiven Modell von ZFC beginnen, ein transitives Modell finden können, dessen Domäne zählbar ist (tatsächlich können wir annehmen, dass dieses zählbare Modell ein Submodell des ist Modell, mit dem wir angefangen haben).

Nehmen wir also an, dass M ein zählbares transitives Modell von ZFC ist. Dies hat zwei Auswirkungen auf die Analyse von Skolems Paradoxon im letzten Abschnitt. Erstens wird sichergestellt, dass die modelltheoretische und die gewöhnliche englische Interpretation von Ω (x) mit der Interpretation von „∈“übereinstimmen: für m ₁, m ₂ ∈ M, M ⊨ m ₁ ∈ m ₂ genau dann, wenn m ₁ ist wirklich ein Mitglied von m ₂. ^[21] In diesem Fall muss die Erklärung von Skolems Paradoxon daher die Interpretation der Quantifizierer beinhalten. Zweitens stellt die Tatsache, dass M transitiv ist, sicher, dass M.bekommt mehr als nur die richtige Mitgliedschaft. Insbesondere wenn f und m in der Domäne von M leben, dann ist M ⊨ „f: ω → m eine Bijektion“genau dann, wenn f wirklich eine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und m ist. ^[22]

Zusammen helfen uns diese Fakten zu isolieren, was in der transitiven Submodellversion von Skolems Paradox wirklich vor sich geht. Betrachten Sie noch einmal die Formel, die wir Ω (x) genannt haben. Diese Formel hat die Form:

Ω (x) ≡ ¬∃ f “f: ω → x ist eine Bijektion”

Nach seiner gewöhnlichen englischen Interpretation besagt diese Formel, dass das satztheoretische Universum keine Bijektionen zwischen den natürlichen Zahlen und x enthält. Insbesondere sagt Ω (mˆ), dass es keine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und mˆ gibt. Im Gegensatz dazu sagt die modelltheoretische Interpretation von Ω (mˆ) - diejenige, die für die Tatsache relevant ist, dass M ⊨ Ω [mˆ] - nur, dass die Domäne von M keine Bijektionen zwischen den natürlichen Zahlen und mˆ enthält. ^[23] Diese beiden Interpretationen können eindeutig auseinanderfallen.

Und im Fall von Skolems Paradoxon fallen sie tatsächlich auseinander. Da M zählbar ist, ist die Menge mˆ = {m | M ⊨ m ∈ m∈} muss ebenfalls zählbar sein. Es gibt also wirklich eine Bijektion (tatsächlich 2 ^{ℵ ₀} Bijektionen), f: ω → mˆ. Bei der gewöhnlichen englischen Interpretation von Ω (mˆ) „sehen“die Quantifizierer diese Bijektionen, und so kommt Ω (mˆ) falsch heraus. Was Skolems Paradox zeigt, ist, dass M.selbst enthält keine derartigen Bijektionen. Daher sehen die Quantifizierer in der modelltheoretischen Interpretation von Ω (mˆ) keine Bijektionen zwischen ω und mˆ, so dass Ω (mˆ) wahr wird. In diesem Fall liefern Unterschiede in der Art und Weise, wie die modelltheoretischen und gewöhnlichen englischen Interpretationen von Ω (x) mit den Quantifizierern umgehen, eine ganz natürliche Erklärung dafür, was in Skolems Paradox vor sich geht.

Diese transitive Submodellversion des Paradoxons wurde in der Literatur ausführlich diskutiert (McIntosh 1979; Benacerraf 1985; Wright 1985; Tennant und McCarty 1987). In der Tat haben mehrere Autoren vorgeschlagen, dass Transitivität notwendig sein könnte, um eine philosophisch bedeutsame Version des Paradoxons zu formulieren (Benacerraf 1985; Wright 1985). Siehe Tennant und McCarty 1987 für einige Einwände gegen die letztere Ansicht.

2.4 ZFC, Power Sets und reelle Zahlen

Die Analyse der Abschnitte 2.2–2.3 erklärt allgemein, wie ein zählbares Modell eine Formel wie Ω (x) an einem bestimmten Element erfüllen kann. Dennoch bleibt möglicherweise eine offensichtliche Frage offen: Wie kann ein zählbares ZFC-Modell eine solche Formel erfüllen? Zugegeben, ein beliebiges Modell kann eine Formel wie Ω (x) auf besondere Weise interpretieren. Wie kann ein Modell alle Axiome der Mengenlehre erfüllen, während diese besondere Interpretation beibehalten wird? Sollte die Tatsache, dass M ZFC erfüllt, nicht sicherstellen, dass M auch grundlegende satztheoretische Begriffe wie zählbar und unzählbar richtig erhält?

Die kurze Antwort auf diese Fragen lautet: Zählbare Modelle „interpretieren“die Axiome der Mengenlehre genauso schlecht wie die Formel Ω (x). Bleiben wir für den Moment bei der Annahme, dass M transitiv ist, und betrachten wir das Axiom der Potenzmenge: ^[24]

∀ x ∃ y ∀ z [z ⊆ x ↔ z ∈ y]

Nach seiner gewöhnlichen englischen Interpretation besagt dieses Axiom, dass jede Menge eine Potenzmenge hat - eine Menge, die alle und nur die Teilmengen der Menge enthält, mit denen wir begonnen haben. ^[25] In seiner modelltheoretischen Interpretation sagt das Axiom jedoch etwas viel Schwächeres aus. Für jedes X ∈ M stellt das Axiom sicher, dass wir ein Y ∈ M finden können, das genau die Teilmengen von X enthält, die auch in M leben (also Y = {Z | Z ⊆ X ∧ Z ∈ M }). Aber wenn X unendlich ist, dann leben die meisten Teilmengen von X nicht in der Domäne von M (da es schließlich 2 ^{ℵ ₀} Teilmengen von X gibt, während die Domäne von M.ist nur zählbar). Das durch die modelltheoretische Interpretation des Axioms der Potenzmenge erzeugte Y ist also viel kleiner als die reale Potenzmenge von X (Fraenkel et al. 1984; Tennant und McCarty 1987; Shapiro 1991; Hallett 1994; Giaquinto 2002; Bays 2007a)).

In diesem Fall gibt es also Unterschiede in der Art und Weise, wie die modelltheoretische und die gewöhnliche englische Interpretation des Potenzsatzaxioms mit dem anfänglichen ∀z-Quantifizierer umgehen, und insbesondere Unterschiede, welche Teilmengen von X von diesem Quantifizierer "gesehen" werden -Erläutern Sie, wie ein zählbares Modell ein Axiom erfüllen kann, das eine unzählige Menge erzeugen soll. Und diese Art von Phänomenen ist ziemlich allgemein. In Resnik 1966 verfolgt Michael Resnik dieses Phänomen anhand der reellen Zahlen. Nehmen Sie nach wie vor an, dass M ein zählbares transitives Modell von ZFC ist. ^[26] Dann wird es ein bestimmtes R ∈ M geben, so dass modulo einige Abkürzungen,

M ⊨ "R ist die Menge der reellen Zahlen."

Resnik merkt an, dass R, obwohl M diese Formel erfüllt, nicht wirklich alle reellen Zahlen enthält - es enthält nur die reellen Zahlen, die zufällig in der Domäne von M leben. ^[27] Die bloße Tatsache, dass R zählbar ist, erzeugt in keinem interessanten Sinne eine paradoxe Situation, in der auch die Menge aller reellen Zahlen zählbar ist.

Zusammengenommen heben diese Beispiele eine entscheidende Tatsache hervor: Die „Fehlinterpretationen“, die erklärten, wie ein zählbares Modell einen Satz wie Ω (mˆ) erfüllen kann, sind tatsächlich ziemlich systematisch. Sie erklären auch, wie diese Modelle Sätze wie "R ist die Menge der reellen Zahlen" oder "Y ist die Potenzmenge von ω" erfüllen können; und sie erklären sogar, wie diese Modelle die Axiome der Mengenlehre (z. B. das Potenzmengenaxiom) erfüllen können. Wenn genug dieser Fehlinterpretationen zusammengefügt werden, erklären sie gemeinsam, wie es möglich ist, dass ein zählbares Modell sowohl die Axiome der Mengenlehre erfüllt als auch gleichzeitig die in den Abschnitten 2.2– diskutierte eigentümliche Interpretation von Ω (x) beibehält 2.3. Am Ende mag das Löwenheim-Skolem-Theorem jedoch immer noch eine interessante technische Tatsache sein - "ein neuartiges und unerwartetes Merkmal formaler Systeme" in van Heijenoort.s Worte - Skolems Paradoxon selbst sollte nicht mehr sehr paradox erscheinen.

2.5 Vier Endpunkte

Wir schließen diese Diskussion über die mathematische Seite von Skolems Paradoxon mit vier letzten Punkten. Zunächst konzentrierte sich die Diskussion in 2.3–2.4 auf den Fall des transitiven Submodells von Skolems Paradoxon. Dieser Fall ist relativ einfach zu analysieren, und (so) ist es der Fall, der in der Literatur am häufigsten diskutiert wurde. Es kann aber auch etwas irreführend sein. Ein Großteil der Analyse von 2.3–2.4 drehte sich um die Tatsache, dass transitive Modelle viele Dinge im satztheoretischen Universum „richtig“machen (Mitgliedschaft, Bijektionen, reelle Zahlen usw.). Am wichtigsten ist, wenn M transitiv ist und m ∈ M ist, dann ist m = {m '∈ M | M ⊨ m '∈ m}.

Wenn M jedoch nicht transitiv ist, fällt fast alles auseinander. Bays hat argumentiert, dass es Versionen von Skolems Paradoxon gibt, die sich ausschließlich auf die Art und Weise beziehen, wie bestimmte nicht-transitive Modelle einige spezifische Instanzen der Zugehörigkeitsbeziehung in Ω (x) interpretieren (Bays 2007a, Abschnitte 4–5). Ähnliche Punkte würden sich auf unsere Erörterung von Potenzmengen und reellen Zahlen in Abschnitt 2.4 übertragen. Wir können zum Beispiel ein zählbares Modell von ZFC finden, das die gesamte Menge reeller Zahlen als Mitglied enthält - das Modell bleibt nur zählbar, weil ℜ ≠ {m | M.⊨ m ∈ ∈} (Benacerraf 1985; Bays 2007a, Abschnitt 1). Kurz gesagt, obwohl die generische Erklärung von Skolems Paradoxon, die in Abschnitt 2.2 gegeben wurde, die einfach bemerkt, dass es einige Unterschiede zwischen der modelltheoretischen und der gewöhnlichen englischen Interpretation von Ω (x) gibt, und dann Skolems Paradoxon bis zu einigen kreidet Die Art der Zweideutigkeit zwischen diesen beiden Interpretationen hält an, wenn wir zu nicht-transitiven Modellen übergehen. Die detaillierteren Analysen von 2.3–2.4 brechen alle zusammen. Im allgemeinen nicht-transitiven Fall kann die Analyse von Abschnitt 2.2 daher das Beste sein, was wir tun können, um Skolems Paradoxon zu erklären (was nicht heißt, dass wir im Kontext von keinem eine detailliertere Erklärung geben können besonderes nicht-transitives Modell).

Dies bringt uns zu einem zweiten Punkt. Skolems Paradoxon hängt entscheidend von der Tatsache ab, dass wir eine Axiomatisierung erster Ordnung der Mengenlehre verwenden. Genauer gesagt hängt es von der Tatsache ab, dass wir die Modelltheorie erster Ordnung verwenden, um diese Axiomatisierung zu interpretieren. 1930 bewies Zermelo, dass (Modelle zweiter Ordnung) von ZFC zweiter Ordnung Kardinalitäten und Potenzsätze korrekt berechnen. ^[28] Insbesondere wenn M ein Modell für ZFC zweiter Ordnung ist und wenn mˆ ∈ M ist, dann ist M ⊨ „mˆ genau dann unzählbar“, wenn {m | M ⊨ m ∈ m∈} ist wirklich unzählig. Daher entsteht Skolems Paradoxon nicht im Kontext zweiter Ordnung (Zermelo 1930; Shapiro 1991).

Dieser zweite Punkt zeigt, dass Skolems Paradoxon verschwindet, wenn unsere Logik stark genug ist. Der dritte Punkt zeigt, dass eine Schwächung unserer Logik einen ähnlichen Effekt hat. In Tennant und McCarty 1987 zeigen Tennant und McCarty, dass Standardbeweise des Löwenheim-Skolem-Theorems in der konstruktivistischen Mengenlehre versagen, und sie argumentieren, dass das Theorem selbst wahrscheinlich konstruktiv ungültig ist. ^[29] Dies bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, Skolems Paradoxon im Rahmen der konstruktivistischen Mathematik zu generieren. Für Konstruktivisten wie für diejenigen, die bereit sind, Axiomatisierungen zweiter Ordnung der Mengenlehre zu akzeptieren, entsteht Skolems Paradoxon einfach nicht.

Zusammen heben diese beiden letzten Punkte hervor, wie zentral die klassische Logik erster Ordnung für Skolems Paradoxon ist. Aus mathematischer Sicht sollte dies nicht allzu überraschend sein. Lindstrom hat gezeigt, dass die Löwenheim-Skolem-Theoreme eine Schlüsselrolle bei der Charakterisierung der Logik erster Ordnung selbst spielen (Lindström 1966; Lindström 1969; Ebbinghaus 2007). Angesichts dessen sollte es nicht überraschen, dass das Rätsel, das am engsten mit diesen Theoremen verbunden ist, auch ziemlich eng mit den Besonderheiten der Situation erster Ordnung verbunden ist. Obwohl das Paradoxon, wie wir gesehen haben, keinen einfachen mathematischen Widerspruch darstellt, hilft es uns, die Natur und die Grenzen der klassischen Logik erster Ordnung zu verstehen.

Dies bringt uns zu einem letzten Punkt. Die obige Diskussion erklärt, warum diejenigen von uns, die bereit sind, eine naiv realistische Haltung gegenüber der Sprache der Mengenlehre einzunehmen - z. B. diejenigen von uns, die keine Bedenken gegen Ausdrücke wie „die gewöhnliche englische Interpretation von Ω (x)“haben -, sich keine Sorgen machen sollten von Skolems Paradoxon. Es ist wichtig zu betonen, dass diese Analyse auch erklärt, warum Skolems Paradoxon keine Widersprüche in verschiedene Formen der axiomatisierten Mengenlehre einführt, selbst wenn diese Axiomatisierungen selbst formalistisch oder modelltheoretisch verstanden werden. Aus beweistheoretischer Sicht gibt es beispielsweise einen Unterschied zwischen nicht relativierter Quantifizierung und Quantifizierung, die explizit auf eine Formel in unserer Sprache relativiert wurde (wobei diese Formel aus intuitiver Sicht eine Formel ist, diedient dazu, die Domäne des zählbaren Modells von ZFC „herauszusuchen“). Es gibt also keinen a priori Grund zu der Annahme, dass ein Satz mit nicht relativierten Quantifizierern mit dem vollständig relativierten Gegenstück dieses Satzes in Konflikt steht.^[30] In ähnlicher Weise gibt es aus modelltheoretischer Sicht einen Unterschied zwischen Quantifizierern, die sich über den gesamten Bereich eines Modells erstrecken, und Quantifizierern, die sich nur über die „Elemente“eines bestimmten Mitglieds des Modells erstrecken (wo wiederum Dieses Mitglied ist eines, von dem das größere Modell „denkt“, dass es ein Modell von ZFC ist. Obwohl der naive Realismus der Abschnitte 2.1–2.4 für Expository-Zwecke nützlich ist, ist er für die zugrunde liegende Analyse von Skolems Paradoxon nicht wesentlich.

3. Philosophische Fragen

Im letzten Abschnitt wurde erklärt, warum Skolems Paradoxon kein Problem für die Mathematik darstellt. Dies hat die Philosophen natürlich nicht davon abgehalten zu argumentieren, dass das Paradoxon ein Problem für die Philosophie darstellt. In diesem Abschnitt untersuchen wir verschiedene Versuche, philosophische Schlussfolgerungen aus der Mathematik um Skolems Paradoxon abzuleiten. Zuvor sind jedoch zwei Warnhinweise angebracht. Erstens sind viele der provokanteren Diskussionen über Skolems Paradoxon ziemlich kurz und enthalten kaum mehr als suggestive Kommentare, die im Vorbeigehen abgegeben wurden. Daher muss ein Großteil der Diskussion dieser Kommentare etwas mutmaßlich sein. Zweitens haben sich viele kritische Diskussionen über Skolems Paradoxon darauf konzentriert, die Mathematik des Paradoxons sorgfältig durchzuarbeiten und dann zu erklären, warum das Paradoxon nicht funktioniert. Es ist ein echter mathematischer Widerspruch. Da dieses Material bereits in Abschnitt 2 behandelt wurde, werden wir in diesem Abschnitt nicht mehr auf diese Themen eingehen.

3.1 Ansichten von Skolem

In der Arbeit von 1922, in der er ursprünglich Skolems Paradoxon vorstellte, verwendete Skolem das Paradoxon, um für zwei philosophische Schlussfolgerungen zu argumentieren: Diese Mengenlehre kann nicht als „Grundlage für die Mathematik“dienen, und diese axiomatisierende Mengenlehre führt zu einer „Relativität der satztheoretischen Begriffe“”(Skolem 1922). Diese Behauptungen und Skolems Argumente dafür haben in der Literatur beträchtliche Aufmerksamkeit erregt. Leider ist Skolems Papier ziemlich komprimiert, und so ist es schwierig, genau zu bestimmen, wie hoch diese Behauptungen eigentlich sein sollten. Gegenwärtig gibt es drei Interpretationen von Skolems Papier, die in der philosophischen Literatur eine gewisse Aktualität haben.

Beginnen wir mit Skolems Behauptung, dass die axiomatisierende Mengenlehre zu einer Relativität satztheoretischer Begriffe führt. Eine Möglichkeit, diese Behauptung zu verstehen, besteht darin, sie vor dem Hintergrund einer algebraischen oder modelltheoretischen Konzeption der Axiomatisierung zu betrachten. Nach dieser Auffassung dienen die Axiome der Mengenlehre dazu, grundlegende satztheoretische Begriffe wie Menge, Zugehörigkeit und satztheoretisches Universum zu charakterisieren oder vielleicht sogar implizit zu definieren. Ein satztheoretisches Universum ist also einfach ein Modell für die Axiome der Mengenlehre, eine Menge ist einfach ein Element in einem satztheoretischen Universum, und die Zugehörigkeit bezieht sich nur auf die binäre Beziehung, die ein bestimmtes Universum zur Interpretation des Symbols „∈“verwendet.” Auf dieser Vorstellung von Axiomatisierung alsoDie Axiome der Mengenlehre sollten nicht als Versuche angesehen werden, ein zuvor gegebenes „beabsichtigtes Modell“der Mengenlehre zu beschreiben oder sogar teilweise zu beschreiben. Stattdessen sind die beabsichtigten Modelle der Mengenlehre einfach diejenigen Modelle, die zufällig unsere anfängliche Sammlung von satztheoretischen Axiomen erfüllen.^[31]

Wir sollten hier betonen, dass diese algebraische Konzeption der Axiomatisierung den Mathematikern, die zu der Zeit arbeiteten, als Skolem seine Arbeit von 1922 schrieb, ziemlich vertraut gewesen wäre. Skolem selbst wurde in Schröders algebraischer Logikschule ausgebildet, daher wäre dies für ihn die natürliche Art gewesen, über Axiome nachzudenken. Aber auch Leute, die nicht in Schröders Schule ausgebildet wurden, hätten die Vorstellung vertraut gefunden. Es ist die Konzeption, die hinter Hilberts berühmter Axiomatisierung der Geometrie steckt (über die Hilbert angeblich etwas notorisch behauptete, dass wir Punkte, Linien und Ebenen durch Tische, Stühle und Bierkrüge ersetzen können, solange die letzteren Objekte in der richtigen Art stehen von Beziehungen). Es's auch die Konzeption, die hinter den Ergebnissen des 19. Jahrhunderts steckt, dass Arithmetik und Analyse kategorischen Axiomatisierungen (zweiter Ordnung) zugeordnet werden können. Schließlich und vor allem ist es das Konzept der Axiomatisierung, das Skolem Zermelo in dem gerade diskutierten Artikel zuschreibt, und daher ist es das Konzept der Axiome von Zermelo, das Skolem in erster Linie kritisiert.^[32]

Angesichts dieser algebraischen Konzeption der Axiomatisierung appelliert Skolem an die Löwenheim-Skolem-Theoreme, zu argumentieren, dass den Axiomen der Mengenlehre die Ressourcen fehlen, um den Begriff der Unzählbarkeit zu bestimmen. Bei jeder Axiomatisierung erster Ordnung der Mengenlehre und jeder Formel Ω (x), die den Begriff der Unzählbarkeit erfassen soll, zeigen die Löwenheim-Skolem-Theoreme, dass wir ein zählbares Modell M finden können, das unsere Axiome erfüllt. Wie in Abschnitt 1 können wir daher ein Element mˆ ∈ M finden, so dass M ⊨ Ω (mˆ) aber {m | M.⊨ m ∈ mˆ} ist nur zählbar. Solange also die grundlegenden satztheoretischen Begriffe einfach durch Betrachtung der Modelltheorie der Axiomatisierungen erster Ordnung der Mengenlehre charakterisiert werden, werden sich viele dieser Begriffe - und insbesondere die Begriffe Zählbarkeit und Unzählbarkeit - als solche herausstellen unvermeidlich relativ. ^[33]

Dies liefert also den Inhalt von Skolems Behauptung, dass die axiomatisierende Mengenlehre zu einer Relativität von satztheoretischen Begriffen führt. Hier ist es wichtig, diese Behauptung von einer trivialeren Behauptung zu unterscheiden, die Skolem möglicherweise macht. Aus einer Perspektive führt die algebraische Konzeption der Axiomatisierung zu einer offensichtlichen Form der Relativität: Die Elemente, die in einem Modell als Mengen gelten, zählen möglicherweise nicht als Mengen in einem anderen Modell, die Zugehörigkeitsrelation eines Modells kann sich von der Zugehörigkeitsrelation eines anderen Modells unterscheiden Modell, und dieser letztere Unterschied in den Mitgliedschaftsbeziehungen kann gelten, selbst wenn die beiden Modelle zufällig dieselbe Domäne teilen. Bei diesem trivialen Begriff der Relativitätstheorie stellt sich daher fast alles als relativ heraus, selbst einfache Begriffe wie "x ist die leere Menge" oder "x ist ein Singleton". Nach alldem,Ein Objekt kann in einem Modell ein "Singleton" sein, während es in einem anderen Modell ein "Dublett" ist, oder es kann in einem Modell "die leere Menge" sein, während es vollständig aus der Domäne eines anderen Modells weggelassen wird.

Es ist wichtig zu betonen, dass Skolems eigener Begriff der Relativitätstheorie ausgefeilter ist. Lassen Sie uns zugeben, dass das spezifische Element, das als „leere Menge“dient, nicht konstant bleibt, wenn wir von einem Modell der Mengenlehre zu einem anderen wechseln - wobei die leere Menge im ersten Modell möglicherweise zu einem Singleton im zweiten wird. Trotzdem können wir immer noch eine Formel in der Sprache der Mengenlehre verwenden, um den Begriff „x ist die leere Menge“auf im Wesentlichen absolute Weise zu erfassen. In jedem Modell unserer Axiome erfüllt ein Element mˆ ∈ M genau dann die offene Formel „∀ yy ∉ x“, wenn die Menge {m | M.⊨ m ∈ mˆ} ist wirklich leer. Daher gibt es zumindest einen Sinn, in dem wir den Begriff „x ist die leere Menge“noch aus dem algebraischen Rahmen heraus erfassen können. Und dieser Punkt erstreckt sich weiter - ein ähnliches Argument würde für Begriffe wie „x ist ein Singleton“oder „x hat siebzehn Mitglieder“gelten. Selbst bei der algebraischen Konzeption der Axiomatisierung gibt es daher einige satztheoretische Begriffe, die wir noch ziemlich genau bestimmen können. Was die Löwenheim-Skolem-Theoreme zeigen, ist, dass wir, egal wie reich unsere satztheoretischen Axiome (erster Ordnung) sein mögen, diese Art von Technik nicht verwenden können, um den Begriff „x ist unzählig“zu bestimmen. Dies ist das Ergebnis, das hinter allen Reden von Skolem über „Relativitätstheorie“steckt, und es ist ein Ergebnis, das eine echte Schwäche des algebraischen Ansatzes zur satztheoretischen Axiomatisierung hervorhebt.^[34]

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Ergebnis dieser Diskussion Folgendes ist: Wenn wir die Axiome der Mengenlehre rein algebraisch betrachten, werden sich viele grundlegende satztheoretische Begriffe - einschließlich der Begriffe Zählbarkeit und Unzählbarkeit - als relativ herausstellen. In Skolems Worten: „Die Axiomatisierung der Mengenlehre führt zu einer Relativität der satztheoretischen Begriffe, und diese Relativitätstheorie ist untrennbar mit jeder gründlichen Axiomatisierung verbunden“(Skolem 1922, S. 296). Dies lässt natürlich immer noch die Frage offen, ob diese Begriffe sozusagen absolut relativ sind - ob es eine andere, nicht algebraische und nicht gründliche Art gibt, unsere Axiome zu verstehen, die nicht zu einer solchen führt Relativitätstheorie, über die wir gerade gesprochen haben. Wenn wir uns dieser letzteren Frage zuwenden, werden die verschiedenen Interpretationen von Skolem 's Papier beginnt auseinander zu fallen.

Die traditionellste Interpretation des Papiers sieht in Skolem einen direkten Angriff auf die Mengenlehre. Skolem beginnt seine Arbeit mit der Feststellung, dass die klassischen satztheoretischen Paradoxien dazu führen sollten, dass wir dem informellen Verständnis der Mengenlehre des „naiven Denkens mit Mengen“skeptisch gegenüberstehen, um Skolems eigenen Ausdruck zu verwenden. Vor diesem Hintergrund besteht unsere einzige wirkliche Option darin, auf eine Form der axiomatisierten Mengenlehre zurückzugreifen, und der einzig respektable Weg, unsere Axiome zu verstehen, ist algebraisch (da ein intuitives Verstehen bedeuten würde, in unsere zuvor diskreditierte Naivität zurückzufallen). Skolems Paradoxon zeigt jedoch, dass satztheoretische Begriffe relativ zur algebraischen Konzeption der Axiomatisierung sind. Diese Begriffe sind also wirklich relativ. Zusamenfassend:Die klassischen Paradoxe zeigen, dass die algebraische Konzeption der Mengenlehre die beste Konzeption ist, die wir haben, und so zeigt Skolems Paradoxon, dass satztheoretische Begriffe unvermeidlich relativ sind. Diese traditionelle Lesart von Skolem ist in der Folklore weit verbreitet; Varianten davon werden in Hart 1970, McIntosh 1979, Muller 2005 und Bellotti 2006 diskutiert.

Die zweite Interpretation konzentriert sich auf Skolems Behauptung, dass die Mengenlehre keine angemessene Grundlage für die Mathematik bieten kann. Insbesondere ist Skolem der Ansicht, dass der Mengenlehre die Ressourcen fehlen, um eine Grundlage für die gewöhnliche Arithmetik zu schaffen. Nach seiner Ansicht ist die Arithmetik „klar, natürlich und nicht fragwürdig“, während die Mengenlehre selbst weitaus problematischer ist. Um zu zeigen, dass die Mengenlehre problematisch ist, durchläuft Skolem eine Reihe verschiedener Interpretationsweisen der Mengenlehre - naive Mengenlehre, axiomatisierte Mengenlehre, die beweistheoretisch ausgelegt wurde, axiomatisierte Mengenlehre, die algebraisch ausgelegt wurde usw. - und argumentiert, dass jedes dieser Verständnis der Mengenlehre ist für grundlegende Zwecke unzureichend. In dieser Lesart spielt Skolems Paradoxon also nur eine bescheidene Rolle in Skolems Gesamtargument. Es dient dazu, einige Probleme mit einer bestimmten Konzeption der Mengenlehre (der algebraischen Konzeption) hervorzuheben, spielt jedoch keine Rolle in Skolems Argumenten gegen andere Konzeptionen der Mengenlehre. Darüber hinaus zeigen diese anderen Argumente nicht, dass die verschiedenen nicht-algebraischen Konzepte der Mengenlehre zu irgendeiner Art von Relativitätstheorie führen (obwohl sie natürlich andere Probleme haben, die sie für fundamentalistische Zwecke ungeeignet machen)..andere Probleme haben, die sie für fundamentalistische Zwecke ungeeignet machen).andere Probleme haben, die sie für fundamentalistische Zwecke ungeeignet machen).^[35] Versionen dieser fundamentalistischen Lesart von Skolems Artikel finden sich in George 1985 und Benacerraf 1985; siehe Jané 2001 für einige Kritikpunkte dieser Interpretationslinie.

Die endgültige Interpretation von Skolems Argumentation stammt aus einem kürzlich erschienenen Artikel von Ignacio Jané (Jané 2001). Janés Lesart stimmt mit der traditionellen Interpretation überein, wonach Skolem einen ziemlich allgemeinen Angriff auf die Mengenlehre und insbesondere auf die Vorstellung einer absolut unzähligen Menge darstellt. Aber es stimmt mit der fundamentalistischen Interpretation darin überein, dass dieser Angriff stückweise durchgeführt werden muss, wobei Skolems Paradoxon selbst nur eine bescheidene Rolle in einem Punkt des Angriffs spielt. Jané glaubt sehr grob, dass Skolem zu zeigen versucht, dass es keinen rigorosen Weg gibt, den Begriff einer unzähligen Menge zunächst in die Mathematik einzuführen. Die satztheoretischen Paradoxe zeigen, dass wir Cantors Theorem nicht naiv zum Nennwert nehmen sollten - also zwingt uns Cantors Beweis selbst nicht dazu, unzählige Mengen zu akzeptieren. Skolem 's Paradox zeigt, dass die Annahme eines algebraischen Verständnisses der satztheoretischen Axiome uns auch nicht zwingt, unzählige Mengen zu akzeptieren, da wir diese Axiome immer so interpretieren können, dass sie auf ein Modell anwendbar sind, das nur zählbar ist.

Natürlich gibt es, wie Jané bemerkt, eine Reihe von Strategien, mit denen wir dieser Anwendung von Skolems Paradoxon ausweichen könnten: Wir könnten unzählige Axiome verwenden, um unsere Modelle zu unzähligen Domänen zu zwingen, wir könnten uns auf den Satz von Löwenheim-Skolem nach oben berufen um zu zeigen, dass Zermelos Axiome auch unzählige Modelle haben (siehe Abschnitt 1), oder wir könnten zu einer Version zweiter Ordnung von Zermelos Axiomen übergehen und dann beweisen, dass diese Axiome nur von Modellen mit unzähligen Domänen erfüllt werden können (siehe Abschnitt 2.5). Leider setzt jede dieser Strategien voraus, dass wir den Begriff einer unzähligen Menge bereits im Griff haben, z. B. um zunächst eine unzählige Menge von Axiomen zu charakterisieren, den Satz von Löwenheim-Skolem nach oben zu formulieren oder diesen ZFC zweiter Ordnung zu beweisen hat nur unzählige Modelle. So,Keine dieser Strategien kann überhaupt verwendet werden, um unzählige Mengen in die Mathematik einzuführen. Jedenfalls nimmt Jané Skolem zum Streiten.

Dies sind also die drei Hauptinterpretationen von Skolems Artikel in der Literatur. Ohne Stellung zu nehmen, welche dieser Interpretationen Skolems eigene Absichten am besten erfasst, stellen wir fest, dass die meisten Zeitgenossen von Skolem ihn so interpretierten, dass sie so etwas wie das oben beschriebene „traditionelle“Argument gaben, und dass ihre Antworten auf Skolems Paradox diese Interpretation widerspiegelten. Zermelo selbst akzeptierte die algebraische Konzeption seiner Axiome, bestand dann aber darauf, dass diese Axiome in Begriffen zweiter Ordnung interpretiert werden sollten und dass sie, so interpretiert, nicht Skolems Paradoxon zum Opfer fallen (Zermelo 1930; Taylor 1993; Ebbinghaus 2003)). In ähnlicher Weise schlug Tarski vor, dass Skolem 's Das Paradoxon könnte entschärft werden, indem „∈“in einigen Versionen der Typentheorie als logische Konstante behandelt wird (siehe die am Ende von Skolem 1958 veröffentlichten Bemerkungen). Obwohl beide Vorschläge es Mathematikern ermöglichen würden, Skolems Paradoxon zu vermeiden, sind beide darauf angewiesen, Teile leistungsfähiger mathematischer Maschinen zu akzeptieren, die Skolem - bei jeder Lektüre seiner Arbeit - mit ziemlicher Sicherheit hätte ablehnen wollen. Angesichts der philosophischen Absichten von Skolem wären diese zeitgenössischen Reaktionen auf sein Paradoxon daher nicht sehr bedrohlich gewesen (siehe Skolem 1955 und Skolem 1958 für einige von Skolems eigenen Überlegungen zu solchen Reaktionen).beide hängen davon ab, dass sie mächtige mathematische Maschinen akzeptieren, die Skolem - bei jeder Lektüre seiner Arbeit - mit ziemlicher Sicherheit hätte ablehnen wollen. Angesichts der philosophischen Absichten von Skolem wären diese zeitgenössischen Reaktionen auf sein Paradoxon daher nicht sehr bedrohlich gewesen (siehe Skolem 1955 und Skolem 1958 für einige von Skolems eigenen Überlegungen zu solchen Reaktionen).beide hängen davon ab, dass sie mächtige mathematische Maschinen akzeptieren, die Skolem - bei jeder Lektüre seiner Arbeit - mit ziemlicher Sicherheit hätte ablehnen wollen. Angesichts der philosophischen Absichten von Skolem wären diese zeitgenössischen Reaktionen auf sein Paradoxon daher nicht sehr bedrohlich gewesen (siehe Skolem 1955 und Skolem 1958 für einige von Skolems eigenen Überlegungen zu solchen Reaktionen).

3.2 Skolemitische Skepsis

Im Laufe der Jahre gab es einen kleinen, aber stetigen Strom von Philosophen und Logikern, die das, was wir als traditionelle Interpretation von Skolems Papier bezeichnet haben, als philosophisch überzeugend empfunden haben, dh als eigenständiges philosophisches Argument und nicht nur als Interpretation von Skolems Papier überzeugend. Ihre Ansicht, die Michael Resnik als „Skolemite“-Ansicht bezeichnet hat, besagt, dass die Löwenheim-Skolem-Theoreme wirklich zeigen, dass satztheoretische Begriffe relativ sind. In der Tat sind Skolemiten oft bereit, ein Stück weiter zu gehen und zu behaupten, dass, obwohl eine bestimmte Menge „relativ zu den Ausdrucksmitteln eines Axiomensystems“unzählbar sein mag, jede Menge aus einer „absoluten“Perspektive zählbar ist (Kneale und Kneale 1962; Goodstein 1963; Wang 1964; Fine 1968; Thomas 1968, 1971).

In diesem Abschnitt isolieren wir die Schlüsselidee hinter diesen Skolemite-Behauptungen und betrachten dann einige der Antworten darauf, die in der neueren Literatur erschienen sind. Wir beginnen mit dem Skolemite-Argument selbst. Dieses Argument besteht grob aus drei Schritten. Erstens wird argumentiert, dass die algebraische Konzeption der Mengenlehre die einzige respektable Konzeption ist, die zeitgenössische Mathematiker und Philosophen anwenden können. Zweitens folgt Skolem mit der Argumentation, dass die algebraische Konzeption der Mengenlehre zu einer Relativität der satztheoretischen Begriffe führt. Schließlich erweitert es Skolems Argument, die am Ende des letzten Absatzes erwähnte starke Form der Relativitätstheorie zu verteidigen, dh die, unter der sich jede Menge als zählbar herausstellt, wenn sie aus einer „absoluten“Perspektive betrachtet wird.

Für unsere Zwecke wurde der zweite Schritt in diesem Argument im Zusammenhang mit unserer Diskussion über Skolem bereits ausführlich genug betrachtet. Deshalb fassen wir hier einfach die wichtigsten Punkte zusammen. Auf der algebraischen Konzeption der Mengenlehre werden grundlegende satztheoretische Begriffe charakterisiert, indem die Modelltheorie der Axiomatisierungen erster Ordnung der Mengenlehre betrachtet wird. Begriffe, die beim Übergang von Modell zu Modell im Sinne von „fest“, die wir im letzten Abschnitt erörtert haben, fest bleiben, haben eine „absolute“Bedeutung. Begriffe, die sich beim Übergang von Modell zu Modell unterscheiden, haben nur eine „relative“Bedeutung. Vor diesem Hintergrund zeigen die Löwenheim-Skolem-Theoreme, dass die Begriffe Zählbarkeit und Unzählbarkeit tatsächlich variieren, wenn wir von Modell zu Modell wechseln. In der algebraischen Konzeption der Mengenlehre sind diese Begriffe daher nur „relativ“. ^[36]

Dies bringt uns zu den Schritten 1 und 3 im Skolemite-Argument. In Schritt 1 weisen verschiedene Versionen dieses Arguments die größte Variabilität auf. In einigen Fällen wird Schritt 1 einfach vorausgesetzt, so dass es schwierig ist, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie das zugrunde liegende Argument wirklich ablaufen soll (Kneale und Kneale 1962; Goodstein 1963; Wang 1964). In anderen Fällen wird vorgeschlagen, dass jede Ablehnung der algebraischen Konzeption - und insbesondere jede Bewegung, einfach Ausdrücke wie „alle Mengen“oder „wirklich unzählbar“zum Nennwert zu verwenden - auf eine inakzeptabel naive Form von zurückgreift "Platonismus" (Fine 1968; Thomas 1968, 1971; Klenk 1976). In noch anderen Fällen folgen Skolemiten Skolems Führung und appellieren an die satztheoretischen Paradoxien, um ihre Ablehnung des Platonismus zu stärken. Sie schlagen dann vor, dass die Aufgabe des Platonismus die algebraische Konzeption der Axiomatisierung als die einzig gangbare Alternative lässt (Klenk 1976).

Hier gibt es eine andere Strategie: Einige Autoren haben die Position der Skolemiten verteidigt, indem sie andere Rätsel zur Interpretation der mathematischen Sprache verwendet haben - dh andere Rätsel als Skolems Paradoxon -, um den ersten Übergang vom Platonismus zur algebraischen Konzeption zu motivieren. So hat Klenk zum Beispiel argumentiert, dass wir eines der klassischen Rätsel von Benacerraf - das in Benacerraf 1965 vorgestellt wurde - in eine solche Argumentation umwandeln können (Klenk 1976). ^[37]In ähnlicher Weise hat Wright an Wittgensteinsche Überlegungen bezüglich der Beziehung zwischen Bedeutung und Gebrauch appelliert, um eine begrenzte Skolemite-Position zu motivieren (Wright 1985). Schließlich haben mehrere Autoren vorgeschlagen, dass die gesamte Entwicklung der Mengenlehre des 20. Jahrhunderts zugunsten des algebraischen Ansatzes spricht - schließlich war die gesamte Geschichte des Subjekts eine Abkehr von naiven Ansätzen zur Mengenlehre und zur formalen Axiomatisierung (und insbesondere Axiomatisierung erster Ordnung). Siehe Klenk 1976 für diese letzte Art von Analyse.

Wenden Sie sich nun dem dritten Schritt des Skolemite-Arguments zu. Der diesem dritten Schritt zugrunde liegende mathematische Satz ist klar. Sei φ (x) eine Formel, die eine eindeutige Menge definieren soll, z. B. "x ist die Potenzmenge von ω" oder "x ist die Menge der reellen Zahlen". ^[38] Dann können wir ein Modell M ⊨ ZFC und ein Element m ∈ M finden, so dass M ⊨ φ (m) und {m '∈ M | M.⊨ m '∈ m} ist nur zählbar. Wenn wir also zugeben wollen, dass alles, was es braucht, um beispielsweise die Potenzmenge von ω zu sein, darin besteht, die relevante Definitionsformel in einem Modell der Mengenlehre zu erfüllen, können wir die Behauptung verstehen, dass mindestens eine Instanz vorliegt der Potenzmenge von ω ist "wirklich" zählbar. Wenn wir bereit sind, die weitere Annahme zu treffen, dass nur eine Bijektion für eine solche Instanz der Potenzmenge von ω erforderlich ist, um die Potenzmenge selbst "absolut" zählbar zu machen, können wir den starken Anspruch des Skolemiten auf absolute Zählbarkeit verstehen. Natürlich folgt keiner dieser beiden letzten Schritte im engeren Sinne aus der algebraischen Konzeption der Axiomatisierung; aber es sind beide Bewegungen, die ein Befürworter der algebraischen Konzeption durchaus als kongenial empfinden könnte.

Dies gibt uns also die Grundstruktur der verschiedenen Skolemite-Argumente. Bevor wir uns einigen Antworten auf diese Argumente zuwenden, die in der neueren Literatur erschienen sind, ist es wichtig, klar zu machen, welche Rolle Skolems Paradoxon selbst in diesen Argumenten spielen kann und nicht. Manchmal scheint es, als ob einige Skolemiten glauben, dass die Löwenheim-Skolem-Theoreme selbst zeigen, dass es ein Problem mit unserer gewöhnlichen Konzeption von Mengen gibt: Die Theoreme zeigen also, dass satztheoretische Begriffe relativ sind und die Relativitätstheorie mit unserer gewöhnlichen Konzeption unvereinbar ist von Mengen, und so muss unsere gewöhnliche Vorstellung von Mengen aufgegeben werden (Kneale und Kneale 1962; Goodstein 1963). Aus Abschnitt 2 sollte jedoch klar sein, dass diese Argumentation keine Erfolgschance hat. Die Analyse in Abschnitt 2 zeigt, dass diejenigen von uns, die bereit sind, eine naiv realistische Haltung gegenüber der Mengenlehre einzunehmen, oder diejenigen, die differenziertere Positionen einnehmen, die auf der iterativen Konzeption von Mengen und / oder einer Form von Sekunde beruhen - Ordnung Strukturalismus - wird keine Probleme mit Skolems Paradox haben. Daher kann uns das Paradoxon selbst nicht zwingen, unsere gewöhnliche Vorstellung von Mengen aufzugeben.

Stattdessen muss der erfolgreiche Skolemite dem am Anfang dieses Abschnitts beschriebenen grundlegenden Ansatz folgen. Er beginnt mit einem unabhängigen Argument für die algebraische Konzeption der Mengenlehre, dh einem Argument, das dazu führen würde, dass wir die gewöhnliche Konzeption von Mengen zugunsten der algebraischen Konzeption aufgeben, und (entscheidend) mit einem Argument, das sich selbst nicht auf verwandte Fragen bezieht zu Skolems Paradoxon. Sobald dieses vorläufige Argument vollständig ist, kann der Skolemit die algebraische Konzeption von Mengen (und natürlich die Löwenheim-Skolem-Theoreme) verwenden, um die in den Schritten 2 und 3 seiner Aussagen gemachten Behauptungen über die satztheoretische Relativitätstheorie zu verteidigen Streit.

Zwei weitere Kommentare zu diesem Ansatz sind angebracht. Zunächst sollten wir beachten, dass dieser Ansatz dem Skolemiten eine Antwort auf die Art von Argumenten liefert, die wir in Abschnitt 2 vorgebracht haben. Insbesondere ermöglicht er ihm, unsere allzu naive Verwendung von Ausdrücken wie „das gewöhnliche englische Verständnis von '∈', '' die realen Mitglieder von mˆ '', 'Quantifizierer, die sich über das gesamte satztheoretische Universum erstrecken' usw. Angesichts eines unabhängigen Arguments gegen die gewöhnliche Konzeption von Mengen wird der Skolemit nicht allzu beeindruckt sein von a "Lösung" für Skolems Paradoxon, die die naive Verwendung dieser Art von Ausdrücken aktiviert. Siehe Thomas 1968, 1971; Klenk 1976.

Zweitens sollten wir beachten, dass dieser Ansatz zwar erfordert, dass der Skolemite mit einem unabhängigen Argument gegen unsere gewöhnliche Konzeption von Mengen beginnt, die Löwenheim-Skolem-Theoreme selbst jedoch nicht völlig überflüssig machen muss. Immerhin ist es immer noch ein Theorem, dass satztheoretische Begriffe wie Zählbarkeit und Unzählbarkeit relativ zur algebraischen Konzeption herauskommen. Dies ist nicht etwas, was mit allen satztheoretischen Begriffen passiert - z. B. "x ist die leere Menge" oder "x hat siebzehn Mitglieder" - und es ist nicht etwas, das einfach aus der algebraischen Konzeption der Axiomatisierung herausfällt.

Davon abgesehen ist dies ein Ort, an dem der Skolemite ziemlich vorsichtig sein muss. Sofern die in Schritt 1 seiner Argumentation angesprochenen Überlegungen nicht ziemlich eng mit den Details der algebraischen Konzeption verknüpft sind - und auf eine Weise, die diese Konzeption als positives Verständnis der Mengenlehre wirklich attraktiv macht -, ist das größere Argument des Skolemiten mit einem gewissen bedroht Art von rhetorischer Trivialität. Denn sobald der Skolemite die Ressourcen hat, um uns zur algebraischen Konzeption der Mengenlehre zu bewegen - wie in Schritt 1 seiner Argumentation -, dann hat er auch die Ressourcen, um unsere gewöhnliche Konzeption von Mengen direkt zu untergraben und dies zu tun, ohne Skolems zu bringen Paradox selbst in die Diskussion. Wenn das richtig ist, dann der Skolemite 'Das größere Argument könnte durchaus bedeuten, gewöhnliche satztheoretische Begriffe als „relativ“in einem rhetorischen Kontext zu kritisieren, in dem der Skolemit bereits im Verlauf der Verteidigung des ersten Schritts seiner Argumentation weitaus stärkere Kritik an diesen Begriffen geäußert hat. Das wäre mehr als ein bisschen umständlich.^[39]

Um diese Art von Unbeholfenheit zu vermeiden, denken wir, dass der Skolemit seine Argumentation weniger als Kritik an unseren gewöhnlichen satztheoretischen Begriffen als vielmehr als konstruktive Analyse der algebraischen Konzeption der Mengenlehre formulieren sollte. Das heißt, er sollte sich in erster Linie darauf konzentrieren, die algebraische Konzeption der Mengenlehre als unabhängig plausible Konzeption der Mengenlehre zu verteidigen (Schritt 1), und dann die satztheoretische Relativitätstheorie als einfach neue und überraschende Konsequenz dieser positiven Konzeption (Schritte) darstellen 2–3). Diese argumentative Strategie lässt den Löwenheim-Skolem-Theoremen Raum, echte philosophische Arbeit zu leisten, z. B. wie vor zwei Absätzen beschrieben. Es gibt auch Schritt 1 einen engeren und konstruktiveren Fokus. In dieser Lesart dient Schritt 1 hauptsächlich dazu, die positiven Tugenden der algebraischen Konzeption hervorzuheben;Die Kritik an gewöhnlichen satztheoretischen Begriffen ist (bestenfalls) ein zweitrangiges Anliegen.^[40]

Dies bringt uns zu den Kritikpunkten des Skolemite-Arguments, die in der neueren Literatur aufgetaucht sind. Drei allgemeine Formen der Kritik sind erwähnenswert. Erstens haben einige Autoren auf das Skolemite-Argument reagiert, indem sie die Mathematik um die Löwenheim-Skolem-Theoreme einfach langsam und sorgfältig ausgepackt haben, um zu zeigen, dass diese Theoreme selbst für ein recht naives Verständnis der Mengenlehre keine Probleme bereiten (Resnik 1966; Benacerraf) 1985; Bays 2007a). Während diese Art der Antwort gegen die vereinfachte Version des Skolemite-Arguments, das wir vor sechs Absätzen besprochen haben, wirksam ist, tut sie sehr wenig gegen die differenzierteren Argumente, die wir derzeit in Betracht ziehen, dh Argumente, die mit einer unabhängigen Kritik an einer solchen Naivität beginnen Verständnis. ^[41]Angesichts dessen und da wir diese Art von Antwort bereits in Abschnitt 2 ausführlich besprochen haben, werden wir hier nicht mehr darauf eingehen.

Zweitens haben mehrere Autoren auf das Skolemite-Argument reagiert, indem sie die algebraische Konzeption der Mengenlehre direkt kritisierten und ein gewöhnlicheres und intuitiveres Verständnis der satztheoretischen Sprache verteidigten (Myhill 1967; Resnik 1969; Hart 1970; Benacerraf 1985). Es gibt drei Punkte, die wir hier hervorheben sollten. Erstens ist es schwer zu erkennen, wie die algebraische Konzeption eine allgemeine Darstellung der mathematischen Sprache liefern könnte, da die Konzeption selbst eine intuitive Hintergrundtheorie vorauszusetzen scheint, in der unsere modelltheoretischen Ergebnisse formuliert und bewiesen werden können (z. B. die Löwenheim-Skolem-Theoreme)). Dieses Problem wird noch verschärft, wenn wir uns auf den dritten Schritt des Skolemite-Arguments konzentrieren:da dieser Schritt sowohl eine absolute Darstellung der natürlichen Zahlen als auch eine absolute Darstellung der Aufzählung zu erfordern scheint, um seine Konzeption der „absoluten Zählbarkeit“zu formulieren (siehe Resnik 1969; Benacerraf 1985; und Shapiro 1991; siehe Thomas 1971; Klenk 1976; und Bellotti 2006 für einige Bedenken bezüglich dieser Argumentation).

Beachten Sie hier, dass diese Anfangspunkte gegen eine völlig allgemeine Kritik des mathematischen Realismus zu sprechen scheinen, um die Menschen zur algebraischen Konzeption von Axiomen zu drängen. An der Oberfläche würde schließlich jede hinreichend allgemeine Kritik am Realismus auf die eigene Modelltheorie des Skolemiten ebenso zutreffen wie auf die klassische Mengenlehre. Es ist daher zweifelhaft, ob der Skolemite beispielsweise einfache Sorgen über den „Platonismus“oder unseren epistemischen Zugang zu mathematischen Objekten wirklich ansprechen kann, um eine ausgewachsene Skolemite-Position zu motivieren. Kurz gesagt: Die Tatsache, dass Skolemite-Argumente wesentliche mathematische Theoreme aktivieren, scheint den Skolemite zu zwingen, zu akzeptieren, dass einige Teile der Mathematik nicht der Skolemite-Relativitätstheorie unterliegen. (Zusätzlich zu den Referenzen im letzten Absatz siehe Bays 2001; Bellotti 2005;und Bays 2007b zur Diskussion dieser Art von Punkt im Kontext von Putnams modelltheoretischem Argument.)

Natürlich lässt dieses erste Argument die Möglichkeit offen, dass die Mengenlehre ein Sonderfall ist - obwohl einige Zweige der Mathematik, wie die Zahlentheorie und die Analyse, absolut verstanden werden sollten, sollte die Mengenlehre wie die Gruppentheorie und die Topologie immer noch sein algebraisch verstanden. Leider gibt es eine Reihe offensichtlicher Unterschiede zwischen der Praxis der Mengenlehre und der von klareren algebraischen Fächern wie der Gruppentheorie. So neigen Mathematiker beispielsweise dazu, die Axiome der Mengenlehre als weniger fest zu behandeln als die der Gruppentheorie oder Topologie. In der Mengenlehre werfen Mathematiker manchmal die Frage auf, ob die ZFC-Axiome korrekt sind, dh sie sprechen so, als gäbe es einen intuitiven Mengenbegriff, anhand dessen die ZFC-Axiome überprüft und als mangelhaft befunden werden könnten. In der Gruppentheorie und Topologie dagegenEs macht einfach keinen Sinn, von „intuitiven Begriffen“zu sprechen, die von dem in den jeweiligen Axiomen festgelegten Begriff abweichen könnten.^[42] In ähnlicher Weise diskutieren Mengen-Theoretiker manchmal, ob wir den Standard-Axiomen der Mengen-Theorie neue Axiome hinzufügen sollten, z. B. große Kardinal-Axiome oder Axiome wie V = L oder auch nur Axiome wie Con (ZFC). Im Gegensatz dazu würde niemand davon träumen, die Axiome der Gruppentheorie oder -topologie zu ergänzen. In diesem Sinne ist ein algebraischer Ansatz zur Mengenlehre eine Revision der satztheoretischen Praxis in einer Weise, wie dies bei einem algebraischen Ansatz zur Gruppentheorie nicht der Fall ist.

Selbst wenn wir eine algebraische Konzeption der Mengenlehre akzeptieren - vielleicht weil wir uns stärker für eine strukturalistische Philosophie der Mathematik engagieren -, ist es unklar, warum wir uns bei dieser Verpflichtung auf Axiomatisierungen der Mengenlehre erster Ordnung beschränken müssen. Schließlich werden viele der erfolgreichsten Beispiele des algebraischen Ansatzes zur Axiomatisierung - z. B. das Ergebnis des 19. Jahrhunderts, dass Arithmetik und Analyse kategorisch axiomatisiert werden können - mithilfe einer Hintergrundlogik zweiter Ordnung aktiviert. Und wie wir in Abschnitt 2 festgestellt haben, führen Versionen zweiter Ordnung von ZFC nicht zu Skolems Paradoxon. Daher reicht es Skolemiten nicht aus, einen algebraischen Ansatz zur Axiomatisierung der Mengenlehre zu verteidigen. Sie müssen zeigen, dass ein algebraischer Ansatz erster Ordnung der richtige Weg ist. Siehe Hart 1970 und Shapiro 1991 für Entwicklungen dieser Argumentationslinie.

Soviel also zur allgemeinen Kritik an der algebraischen Konzeption der Axiomatisierung und ihrer Rolle im Skolemite-Argument. Wir wenden uns nun einem gezielteren Einwand gegen den dritten Schritt dieses Arguments zu. Lassen Sie uns aus Gründen der Argumentation zugeben, dass der Skolemit gezeigt hat, dass unsere satztheoretischen Begriffe relativ sind und dass es für jede Art von Menge, die wir mit einer Formel definieren können, eine Instanz dieser Art von Menge gibt, die nur zählbar ist. Es gibt also eine zählbare Instanz des Potenzsatzes von ω, eine zählbare Instanz der reellen Zahlen usw. ^[43]Es ist jedoch unklar, warum dies zeigt, dass jeder Satz „absolut“zählbar ist. Denn genau wie das Löwenheim-Skolem-Theorem zeigt, dass wir zählbare Instanzen all dieser Mengen finden können, zeigt das Upward-Löwenheim-Skolem-Theorem, dass wir auch unzählige Instanzen finden können.

In Anbetracht dessen haben eine Reihe von Kritikern vorgeschlagen, dass Skolemiten zwei erklärenden Belastungen ausgesetzt sind und dass es bisher keinem Skolemiten gelungen ist, diese Belastungen zu bewältigen. Zunächst muss der Skolemit erklären, wie wir Mengen über verschiedene Modelle hinweg identifizieren können, dh warum wir die verschiedenen Objekte, die „x ist die Potenzmenge von ω“in verschiedenen Modellen der Mengenlehre erfüllen, als „dieselbe Menge“betrachten sollten.” Beachten Sie, dass eine solche Identifizierung unerlässlich ist, wenn der Skolemit mit einem Beweis der Zählbarkeit eines dieser Objekte beginnen und diesen Beweis dann verwenden möchte, um für die absolute Zählbarkeit aller anderen zu argumentieren (Resnik 1966). Zweitens muss der Skolemit seine Präferenz für zählbare Mengen erklären. Selbst wenn der Skolemite zählbare und unzählbare „Instanzen“eines bestimmten Satzes identifizieren kann,er muss erklären, warum diese Identifizierung zu der Schlussfolgerung führt, dass alle Mengen „absolut zählbar“sind, und nicht zu der Schlussfolgerung, dass alle Mengen „absolut unzählbar“sind (Resnik 1966; Benacerraf 1985).

Dies sind also die Hauptkritikpunkte an der Position der Skolemiten, die in der Literatur aufgetaucht sind. Um sie gründlicher zu behandeln, müssten wir uns leider ziemlich eingehend mit Fragen befassen, die beispielsweise den Status unseres informellen Verständnisses der satztheoretischen Sprache, die Legitimität der Quantifizierung zweiter Ordnung und die mit mathematischen Objekten verbundenen Identitätsbedingungen betreffen strukturalistische Philosophien der Mathematik. Die Erforschung dieser Probleme würde uns ziemlich weit von Skolems Paradoxon selbst entfernen. Für einen aktuellen Überblick über einige der relevanten Literatur hier siehe Bellotti 2006.

3.3 Putnams modelltheoretisches Argument

In den letzten Jahren ist die am meisten diskutierte Version von Skolems Paradoxon in (einer Version von) Hilary Putnams sogenanntem "modelltheoretischen Argument gegen den Realismus" erschienen. Putnams allgemeines Ziel im modelltheoretischen Argument ist es zu zeigen, dass unsere Sprache semantisch unbestimmt ist - dass es keine Tatsache gibt, worauf sich die Begriffe und Prädikate unserer Sprache beziehen. Im Fall der Mengenlehre möchte er daher zeigen, dass es kein einziges satztheoretisches Universum gibt, über das sich unsere Quantifizierer erstrecken, und keine einzige Beziehung, auf die sich das Wort „Zugehörigkeit“bezieht. In Putnams eigenen Begriffen gibt es kein einziges „beabsichtigtes Modell“für die Sprache der Mengenlehre.

Auf den ersten Seiten seiner Arbeit von 1980, "Models and Reality", argumentiert Putnam, dass es mindestens ein beabsichtigtes Modell für die Sprache der Mengenlehre gibt, das das satztheoretische Axiom V = L erfüllt. ^[44] Um dies zu zeigen, geht Putnam zunächst davon aus, dass es nur zwei Dinge gibt, die bei der Festlegung des beabsichtigten Modells für die satztheoretische Sprache eine Rolle spielen könnten. Erstens gibt es das, was Putnam "theoretische Einschränkungen" nennt. Dazu gehören die Standardaxiome der Mengenlehre sowie Prinzipien und Theorien aus anderen Wissenschaftszweigen. Zweitens gibt es „betriebliche Einschränkungen“. Dies sind nur die verschiedenen empirischen Beobachtungen und Messungen, die wir im Rahmen wissenschaftlicher Untersuchungen durchführen.

Angesichts dieser Annahmen argumentiert Putnam, dass das Finden eines beabsichtigten Modells, das V = L erfüllt, lediglich das Finden eines Modells von ZF + V = L erfordert, das die relevanten theoretischen und betrieblichen Einschränkungen erfüllt. Seine Strategie, dieses Modell zu finden, beruht auf dem folgenden Satz:

Satz: ZF plus V = L hat ein ω-Modell, das eine gegebene zählbare Menge reeller Zahlen enthält.

Hier soll die Tatsache, dass dieses Modell ZFC erfüllt, sicherstellen, dass es alle theoretischen Einschränkungen erfüllt, die sich aus der Mengenlehre selbst ergeben, während der Reichtum von ZFC sicherstellt, dass das Modell auch über die Ressourcen verfügt, um unsere besten wissenschaftlichen Theorien zu codieren (und um alle theoretischen Einschränkungen zu erfüllen, die aus der Naturwissenschaft stammen). Schließlich stellt die Tatsache, dass dieses Modell eine beliebige Menge von reellen Zahlen enthält, sicher, dass es alle verschiedenen Beobachtungen und Messungen codieren kann, die unsere „Beobachtungsbeschränkungen“darstellen. ^[45]Solange Putnam zu Recht denkt, dass die beabsichtigten Modelle der Mengenlehre ausschließlich durch die formale Struktur unserer wissenschaftlichen Theorien - einschließlich unserer expliziten satztheoretischen Axiome - und durch die physikalischen Messungen, die wir zufällig durchführen, festgelegt sind, dann dies Der Satz wird ein beabsichtigtes Modell erzeugen, in dem V = L wahr wird.

Diese Version des modelltheoretischen Arguments hat drei Verbindungen zu Skolems Paradoxon. Erstens präsentiert Putnam selbst das Argument als eine natürliche Entwicklung des Paradoxons. Zu Beginn seiner Arbeit liefert Putnam eine kurze Skizze von Skolems Paradoxon, und er schlägt dann vor, dass seine Analyse von V = L darauf beruht, dass er Skolems Argumente aufgreift und „sie in die Richtung erweitert, in die er [Skolem] zu weisen schien“(p 1). Zweitens und wie aus den in Fußnote 44 zitierten Passagen hervorgeht, passen Putnams allgemeine Schlussfolgerungen gut zu neueren skolemitischen Verständnissen von Skolems Paradoxon, siehe z. B. seiner Schlussfolgerung, dass V = L keinen „bestimmten Wahrheitswert“hat (S. 5) oder dass Skolems „Relativitätstheorie satztheoretischer Begriffe“sich auf eine Relativitätstheorie des Wahrheitswertes von „V = L“erstreckt (S. 8). Schließlich und vor allem:Der Beweis von Putnams Theorem dreht sich entscheidend um die Löwenheim-Skolem-Theoreme. (Sehr grob beginnt Putnam damit, den abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem-Satz auf L anzuwenden, um zu beweisen, dass sein Satz in L gilt; dann verwendet er die Absolutheit von Shoenfield, um den Satz wieder auf V zu reflektieren.)^[46]

Putnams Argumentation hat in der Literatur eine Reihe von Kritikpunkten erhalten. In technischer Hinsicht hat Bays argumentiert, dass Putnams Verwendung des abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem-Theorems unzulässig ist, da Standardsysteme der Mengenlehre es uns nicht erlauben, dieses Theorem auf eine richtige Klasse wie L. anzuwenden, selbst wenn wir die Details belassen Abgesehen von Putnams Beweisen zeigen gödeläische Überlegungen, dass Putnams Theorem in ZFC überhaupt nicht bewiesen werden kann (da das Theorem die Konsistenz von ZFC beinhaltet). Wenn Putnam bereit ist, eine stärkere Hintergrundtheorie zu verwenden, um seinen Satz zu beweisen - z. B. ZFC + „es gibt einen unzugänglichen Kardinal“-, kann er sich dieser Art von Kritik natürlich entziehen. In diesem Fall ist jedoch unklar, warum das Modell, das sich aus Putnams Theorem ergibt, immer noch unsere theoretischen Einschränkungen erfüllen sollte. Nach alldem,Jeder, der die neuen Axiome akzeptiert, die in Putnams überarbeitetem Beweis verwendet werden, wird theoretische Einschränkungen haben, die etwas über ZFC + V = Le.g. hinausgehen. Ihre theoretischen Einschränkungen könnten durchaus das Axiom "Es gibt einen unzugänglichen Kardinal" beinhalten. Siehe Bays 2001 für die ursprüngliche Formulierung dieses Einwandes durch Bays; siehe Velleman 1998 und Gaifman 2004 für einige alternative Formulierungen; siehe Bellotti 2005 und Bays 2007b für eine kritische Diskussion; und siehe Kapitel 3 (insbesondere § 3.3.3) von Hafner 2005 zur Erörterung eines ähnlichen Punktes bezüglich Putnams Verwendung der Transitivität.ursprüngliche Formulierung dieses Einwandes; siehe Velleman 1998 und Gaifman 2004 für einige alternative Formulierungen; siehe Bellotti 2005 und Bays 2007b für eine kritische Diskussion; und siehe Kapitel 3 (insbesondere § 3.3.3) von Hafner 2005 zur Erörterung eines ähnlichen Punktes bezüglich Putnams Verwendung der Transitivität.ursprüngliche Formulierung dieses Einwandes; siehe Velleman 1998 und Gaifman 2004 für einige alternative Formulierungen; siehe Bellotti 2005 und Bays 2007b für eine kritische Diskussion; und siehe Kapitel 3 (insbesondere § 3.3.3) von Hafner 2005 zur Erörterung eines ähnlichen Punktes bezüglich Putnams Verwendung der Transitivität.

Mehrere Autoren haben eine Spannung in der Art und Weise festgestellt, wie Putnams Argument mit dem Begriff der Endlichkeit umgeht. Einerseits muss Putnam diesen Begriff verwenden, um sein Modell als ω-Modell zu charakterisieren und (sogar) die formalen Definitionen einer Sprache erster Ordnung und der Zufriedenheitsrelation erster Ordnung zu verstehen. ^[47]Andererseits kann Putnam Gegnern seiner Argumentation nicht erlauben, diesen Begriff zu verwenden, um zu spezifizieren, was ihrer Meinung nach ein Modell beabsichtigt. Wenn seine Gegner diesen Begriff verwenden könnten, könnten sie den Begriff definieren, dass ein Modell „begründet“ist, und dies würde ausreichen, um die durch Putnams Theorem erzeugten Modelle auszuschließen. In diesem Sinne scheint Putnams Argumentation eine unmotivierte Asymmetrie zwischen den Arten von technischen Maschinen, die er selbst benutzt, und den Arten von Maschinen, die er seinen Kritikern zur Verfügung stellt, zu aktivieren. Siehe Bays 2001 und Bellotti 2005 für Entwicklungen dieses Punktes; siehe § 3.4 von Hafner 2005 für einige kritische Überlegungen.

Auf der rein philosophischen Seite haben viele Autoren Putnams Annahme kritisiert, dass es ausreicht, nur eine Formalisierung erster Ordnung unserer theoretischen Einschränkungen zu erfüllen, um ein Modell „beabsichtigt“zu machen. So hat Hacking beispielsweise argumentiert, dass wir uns wirklich einer Formulierung zweiter Ordnung der Mengenlehre verpflichten sollten und dass Putnams Schlüsselsatz für solche Formulierungen nicht gilt (Hacking 1983). Andere haben argumentiert, dass das beabsichtigte Modell für die Mengenlehre transitiv sein muss und dass es wiederum keinen Grund zu der Annahme gibt, dass das von Putnams Theorem erzeugte Modell transitiv ist (Bays 2001). Schließlich und wie im letzten Absatz erwähnt, haben mehrere Autoren vorgeschlagen, dass ein beabsichtigtes Modell für die Mengenlehre zumindest begründet sein sollte, aber es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass Putnam 'Das eigene Modell ist begründet (Bellotti 2005).

Putnams Antwort auf diese Art von Einwand ist interessant. Sehr grob schlägt Putnam vor, dass alle Bedingungen für beabsichtigte Modelle, die andere Philosophen vorschlagen könnten - z. B. die im letzten Absatz erwähnten -, selbst in Begriffen erster Ordnung formalisiert und als neue theoretische Einschränkungen behandelt werden sollten. Wenn diese neuen Einschränkungen durch Putnams Argument zurückgeführt werden, kann er erneut ein Modell generieren, das diese Einschränkungen „erfüllt“. Indem Putnam einfach eine besonders flexible Lesart des Ausdrucks „theoretische Einschränkungen“anwendet, stellt er sicher, dass nahezu alle Bedingungen für beabsichtigte Modelle einfach in sein ursprüngliches Argument zurückgeführt werden können (Putnam 1980; Putnam 1983, vii - xii). ^[48]

Dieses Argument - das normalerweise als "nur mehr Theorie" bezeichnet wird - hat in der Literatur große Beachtung gefunden. Die häufigste Antwort auf das Argument besteht darin, zwischen der Beschreibung der Merkmale eines Modells, die dieses Modell beabsichtigen, und dem Hinzufügen neuer Sätze für dieses Modell zu unterscheiden. Anders ausgedrückt, es geht darum, zwischen einer Änderung der Semantik, unter der unsere Axiome interpretiert werden, zu unterscheiden, z. B. indem die Klasse der Strukturen, die als Modelle für unsere Sprache gelten, eingeschränkt wird und / oder der Begriff der Zufriedenheit gestärkt wird, der Sätze mit Modellen verbindet, und einfach neue hinzugefügt werden Axiome, die mit derselben alten Semantik interpretiert werden sollen. In der Antwort wird dann weiter argumentiert, dass Vorschläge wie die vor zwei Absätzen erörterten, z. Dass beabsichtigte Modelle transitiv oder fundiert sein oder ZFC zweiter Ordnung erfüllen sollten, sollte so verstanden werden, dass sie eher auf die Beschreibungsseite dieser Unterscheidung als auf die Seite des „Hinzufügens von Sätzen“fallen (obwohl bei letzterem Putnams nur theoretischeres Argument entschlossener ist besteht darauf, sie zu setzen).

Putnam wiederum hat argumentiert, dass diese Art der Antwort die Frage gegen sein Gesamtargument aufwirft. Putnams Argument betrifft schließlich die Frage, ob unsere mathematische Sprache eine bestimmte Bedeutung hat, und die Antwort, die wir betrachten, scheint einfach anzunehmen, dass sie eine solche Bedeutung hat, wenn die Antwort Sätze wie "transitiv", "begründet" verwendet. "Oder" vollständiger Potenzsatz von M ", um den Begriff" beabsichtigtes Modell "zu beschreiben. Kurz gesagt: Solange es um die Bestimmtheit der mathematischen Sprache geht, stellt sich die Frage, ob diese Sprache bei der Beschreibung des beabsichtigten Modells der Mengenlehre frei verwendet werden kann. Zumindest versucht Putnam zu argumentieren.

Wie oben erwähnt, hat dieser Aspekt von Putnams Argumentation eine riesige Literatur hervorgebracht. Siehe Devitt 1984, Kapitel 11; Lewis 1984; Taylor 1991; Van Cleve 1992; Hale and Wright 1997; Chambers 2000; Buchten 2001; und Bays 2008 für einige repräsentative Kritikpunkte an Putnams Argumentation. Siehe Putnam 1983, vii - xii und Putnam 1989 für Putnams Antwort. Siehe Anderson 1993; Douven 1999; Haukioja 2001; und Kroon 2001 für einige neuere Verteidigungen dieses Aspekts von Putnams Argumentation.

4. Fazit

Wir schließen diesen Eintrag mit einer kurzen Zusammenfassung von zwei der Hauptpunkte, die wir hervorheben wollten. Erstens gibt es aus rein mathematischer Sicht keinen Konflikt zwischen Cantors Theorem und den Löwenheim-Skolem-Theoremen. Es gibt eine technische Lösung für Skolems Paradoxon, die erklärt, warum die Löwenheim-Skolem-Theoreme weder für naive Formen des satztheoretischen Realismus noch für verschiedene Formen der axiomatisierten Mengenlehre Probleme bereiten. Daher gibt es keine Chance, die Löwenheim-Skolem-Theoreme für sich allein zu verwenden, um wesentliche Skolemite-Schlussfolgerungen zu ziehen. Natürlich gibt es noch einige interessante technische Probleme, die in der Nachbarschaft von Skolems Paradoxon auftreten. Zum Beispiel können wir untersuchen, wie sich das Paradoxon im Kontext bestimmter Modelle erster Ordnung auswirkt.wir können untersuchen, inwieweit verschiedene Arten von Logik nicht erster Ordnung für das Paradoxon anfällig sind; und wir können versuchen, die genauen Merkmale der Logik erster Ordnung zu isolieren, die es dem Paradox ermöglichen, auf sie anzuwenden. Jedes dieser Themen ist eindeutig mit Skolems Paradoxon verbunden und wirft Fragen zur Beziehung zwischen Modelltheorie und Mengenlehre auf, die es wert sind, untersucht zu werden. Aber Skolems Paradoxon ist für sich genommen keine Bedrohung für die klassische Mengenlehre. Skolems Paradoxon ist für sich genommen keine Bedrohung für die klassische Mengenlehre. Skolems Paradoxon ist für sich genommen keine Bedrohung für die klassische Mengenlehre.

Zweitens, wenn wir zu Skolems Paradoxon mit vorhergehenden Zweifeln an der klassischen Mengenlehre kommen - z. B. den Arten von Zweifeln, die hinter einigen der differenzierteren Rekonstruktionen von Skolems ursprünglichem Argument liegen, den Arten von Zweifeln, die hinter den plausibleren Versionen von Schritt 1 liegen Im Skolemite-Argument oder in den Zweifeln an der semantischen Determiniertheit, die hinter Putnams modelltheoretischem Argument stehen, können wir möglicherweise Skolems Paradoxon zu einer interessanten philosophischen Schlussfolgerung führen. Natürlich wird es hier immer noch Herausforderungen geben: Wir müssen den Status der Hintergrundtheorien berücksichtigen, in denen wir die Löwenheim-Skolem-Theoreme beweisen, wir müssen die besondere Bedeutung von Axiomatisierungen erster Ordnung der Mengenlehre erklären,und wir müssen möglicherweise erklären, wie wir Elemente in verschiedenen Modellen der Mengenlehre identifizieren können. Im Prinzip werden solche hoch entwickelten Verwendungen von Skolems Paradoxon jedoch nicht durch die technische Lösung des im letzten Absatz erwähnten Paradoxons ausgeschlossen. Diese Tatsache sollte auch nicht allzu überraschend sein: Wenn wir in unsere Analyse von Skolems Paradoxon genügend Philosophie einfließen lassen, sollten wir damit rechnen, zumindest ein wenig Philosophie herauszubringen.

Literaturverzeichnis

Anderson, D., 1993, „Was ist das modelltheoretische Argument?“, The Journal of Philosophy, 93: 311–22.
Badesa, C., 2004, Die Geburt der Modelltheorie, Princeton: Princeton University Press.
Bays, T., 2001, „Über Putnam und seine Modelle“, The Journal of Philosophy, 98: 331–50.
–––, 2007a, „Die Mathematik von Skolems Paradoxon“, in Jacquette 2007, S. 615-648.
–––, 2007b, „Mehr zu Putnams Modellen: Eine Antwort auf Bellotti“, Erkenntnis, 67: 119–135.
–––, 2008, „Zwei Argumente gegen den Realismus“, The Philosophical Quarterly, 58: 193–213.
Bellotti, L., 2005, „Putnam and Constructibility“, Erkenntnis, 62: 395–409.
–––, 2006, „Skolem, das Skolem-Paradoxon und die informelle Mathematik“, Theoria, 72: 177–220.
Benacerraf, P., 1965, "Was die Zahlen nicht sein könnten", in Philosophy of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, S. 272-294.
–––, 1985, „Skolem und der Skeptiker“, Proceedings of the Aristotelian Society, 59: 85–115.
Chambers, T., 2000, „Eine schnelle Antwort auf Putnams Paradoxon“, Mind, 109: 195–197.
Devitt, M., 1984, Realism & Truth, Princeton: Princeton University Press.
Douven, I., 1999, „Putnams modelltheoretisches Argument rekonstruiert“, The Journal of Philosophy, 96: 479–90.
Ebbinghaus, HD, Flum, J. und Thomas, W., 1994, Mathematical Logic, Amsterdam: Springer.
Ebbinghaus, HD, 2003, „Zermelo: Bestimmtheit und das Universum definierbarer Mengen“, History and Philosophy of Logic, 24: 197–219.
–––, 2007, „Löwenheim-Skolem-Theoreme“, in Jacquette 2007, S. 587–614.
Fine, A., 1968, „Quantifizierung über die reellen Zahlen“, Philosophical Studies, 19: 27–31.
Fraenkel, A., Bar-Hillel, Y. und Levy, A., 1984, Grundlagen der Mengenlehre, Amsterdam: Nordholland.
Gaifman, H., 2004, "Nicht-Standard-Modelle in einer breiteren Perspektive", in Nicht-Standard-Modellen der Arithmetik und Mengenlehre, A. Enayat und R. Kossak, (Hrsg.), New York: American Mathematical Society, pp 1–22.
Garcia-Carpintero, M., 1996, „Das modelltheoretische Argument: Eine weitere Drehung der Schraube“, Erkenntnis, 44: 305–316.
George, A., 1985, „Skolem und die Löwenheim-Skolem-Theoreme“, History and Philosophy of Logic, 6: 75–89.
Giaquinto, M., 2002, Die Suche nach Gewissheit, Oxford: Oxford University Press.
Goodstein, RL, 1963, „Die Bedeutung von Unvollständigkeitssätzen“, British Journal for the Philosophy of Science, 14: 208–220.
Hacking, I., 1983, Representing and Intervening, Cambridge: Cambridge University Press.
Hafner, J., 2005, Von der Metamathematik zur Philosophie: Eine kritische Bewertung von Putnams modelltheoretischem Argument, Ph. D. Diplomarbeit, UC Berkeley.
Hale, B. und Wright, C., 1997, "Putnam's Model Theoretic Argument gegen den metaphysischen Realismus", in Ein Begleiter der Sprachphilosophie, B. Hale und C. Wright, (Hrsg.), Oxford: Blackwell, pp. 427–457.
Hallett, M., 1994, „Putnam und das Skolem-Paradoxon“, in Reading Putnam, P. Clark und B. Hale (Hrsg.), Oxford: Oxford University Press, S. 66–97.
Hart, W., 1970, „Skolems Versprechen und Paradoxe“, The Journal of Philosophy, 67: 98–109.
Haukioja, J., 2001, „Nicht so schnell: Eine Antwort an Chambers“, Mind, 110: 699–702.
Jacquette, D., (Hrsg.), 2007, Philosophy of Logic, London: Elsevier.
Jané, I., 2001, „Reflexionen über Skolems Relativität von satztheoretischen Konzepten“, Philosophia Mathematica, 3: 129–153.
Jech, T., 1978, Mengenlehre, San Diego: Academic Press.
Kleene, S., 1967, Mathematical Logic, New York: John Wiley & Sons.
Klenk, V., 1976, „Intended Models and the Löwenheim-Skolem Theorem“, The Journal of Philosophical Logic, 5: 475–489.
Kneale, W. und Kneale, M., 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.
Kroon, F., 2001, „Chambers on Putnam's Paradox“, Mind, 110: 703–708.
Kunnen, K., 1980, Set Theory, Amsterdam: Nordholland.
Levin, M., 1997, „Putnam on Reference and Constructible Sets“, British Journal for the Philosophy of Science, 48: 55–67.
Lewis, D., 1984, „Putnam's Paradox“, Australasian Journal of Philosophy, 62: 221–236.
Lindström, P., 1966, „Prädikatenlogik erster Ordnung mit verallgemeinerten Quantifizierern“, Theoria, 32: 186–195.
–––, 1969, „Über Erweiterungen der Elementarlogik“, Theoria, 35: 1–11.
Löwenheim, L., 1915, „Über Möglichkeiten in der Berechnung von Verwandten“, in van Heijenoort 1967, S. 228–251.
McIntosh, C., 1979, „Skolems Kritik an der Mengenlehre“, Nous, 13: 313–334.
Muller, F., 2005, "Deflating Skolem", Synthese, 143: 223–253.
Myhill, J., 1967, „Über die ontologische Bedeutung des Löwenheim-Skolem-Theorems“, in Contemporary Readings in Logical Theory, I. Copi und J. Gould, (Hrsg.), New York: Macmillan, S. 40–51.
Putnam, H., 1980, „Models and Reality“, Putnam 1983, S. 1–25.
–––, 1983, Realismus und Vernunft, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1989, „Modelltheorie und die 'Faktualität' der Semantik“, in Reflections on Chomsky, A. George, (Hrsg.), Cambridge: Blackwell, S. 213–231.
Resnik, M., 1966, „Über Skolems Paradoxon“, The Journal of Philosophy, 63: 425–438.
–––, 1969, „Mehr über Skolems Paradoxon“, Noûs, 3: 185–196.
Shapiro, S., 1991, Stiftungen ohne Fundamentalismus, Oxford: Oxford University Press.
Shoenfield, J., 67, Mathematical Logic, Natick, MA.: Association for Symbolic Logic.
Skolem, T., 1922, „Einige Bemerkungen zur axiomitisierten Mengenlehre“, in van Heijenoort 1967, S. 290–301.
–––, 1955, „Eine kritische Bemerkung zur Grundlagenforschung“, in Skolem 1970, S. 581–586.
–––, 1958, „Une Relativisation des Notions Mathematiques Fondementales“, in Skolem 1970, S. 587–600.
–––, 1970, Ausgewählte Werke in Logic, Oslo: Uiversitetsforlaget.
Taylor, B., 1991, „Just More Theory“: Ein Manöver in Putnams modelltheoretischem Argument für Antirealismus “, Australasian Journal of Philosophy, 69: 152–166.
Taylor, G., 1993, „Zermelo, Reduktionismus und die Philosophie der Mathematik“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 539–563.
Tennant, N. und McCarty, C., 1987, „Skolems Paradoxon und Konstruktivismus“, The Journal of Philosophical Logic, 16: 165–202.
Thomas, W., 1968, „Platonismus und das Skolem-Paradoxon“, Analysis, 28: 193–196.
–––, 1971, „Im Namen des Skolemiten“, Analysis, 31: 177–186.
Van Cleve, J. 1992, „Semantic Supervenience and Referential Indeterminacy“, The Journal of Philosophy, 89: 344–361.
van Dalen, D., 1997, Logik und Struktur, Amsterdam: Springer.
van Heijenoort, J. (Hrsg.), 1967, From Frege to Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
Velleman, D., 1998, "Review of Levin 1997", Mathematical Reviews, 98c: 1364.
Wang, H., 1964, Ein Überblick über die mathematische Logik, Amsterdam: Nordholland.
Wright, C., 1985, „Skolem und der Skeptiker“, Proceedings of the Aristotelian Society, 59: 116–137.
Zermelo, E., 1930, „Über Grenzzahlen und Megenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre“, Fundamenta Mathematicae, 16: 29–47.

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