Die Revisionstheorie Der Wahrheit

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

Dies ist eine Datei im Archiv der Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Die Revisionstheorie der Wahrheit

Erstveröffentlichung am 15. Dezember 1995; inhaltliche Überarbeitung Fr 28. Juli 2006

Betrachten Sie den folgenden Satz:

(1) ist nicht wahr.

(1)

Es ist seit langem bekannt, dass der Satz (1) ein Paradoxon erzeugt, das sogenannte Lügnerparadoxon: Es scheint unmöglich, konsequent zu behaupten, dass (1) wahr ist, und unmöglich konsequent zu behaupten, dass (1) nicht wahr ist. (Einzelheiten siehe Abschnitt 1 unten.) Angesichts eines solchen Paradoxons könnte man dem Begriff der Wahrheit oder zumindest den Aussichten, eine wissenschaftlich respektable Darstellung der Wahrheit zu geben, skeptisch gegenüberstehen. Alfred Tarskis große Leistung bestand darin, zu zeigen, wie man - entgegen dieser Skepsis - eine formale Definition der Wahrheit für eine breite Klasse formalisierter Sprachen geben kann. Tarski zeigte jedoch nicht, wie man eine Definition der Wahrheit für Sprachen (wie Englisch) gibt, die ihre eigenen Wahrheitsprädikate enthalten. Er dachte, dass dies nicht möglich sei, gerade wegen des Paradoxons des Lügners. Er rechnete damit, dass jede Sprache mit ihrem eigenen Wahrheitsprädikat inkonsistent sein würde, solange sie den Regeln der klassischen Standardlogik gehorchte und die Fähigkeit hatte, sich auf ihre eigenen Sätze zu beziehen.

In Anbetracht der engen Verbindung zwischen Bedeutung und Wahrheit wird allgemein angenommen, dass jede Semantik für eine Sprache L, dh jede Bedeutungstheorie für L, eng mit einer Wahrheitstheorie für L verwandt sein wird: In der Tat wird allgemein angenommen, dass etwas wie eine tarskische Wahrheitstheorie für L wird ein zentraler Teil einer Semantik für L sein. Die Unmöglichkeit, eine Tarsksche Wahrheitstheorie für Sprachen mit ihren eigenen Wahrheitsprädikaten zu geben, bedroht daher das Projekt, eine Semantik für Sprachen mit ihren eigenen Wahrheitsprädikaten zu geben.

Wir mussten bis zur Arbeit von Kripke 1975 und von Martin & Woodruff 1975 auf einen systematischen formalen Vorschlag einer Semantik für Sprachen mit ihren eigenen Wahrheitsprädikaten warten. Der Grundgedanke ist einfach: Nehmen Sie die beleidigenden Sätze wie (1) als weder wahr noch falsch. Insbesondere Kripke zeigt, wie dieser Gedanke für eine Vielzahl von Sprachen umgesetzt werden kann, wobei eine Semantik mit drei Werten verwendet wird: wahr, falsch und keiner. ^[1] Man kann mit Sicherheit sagen, dass kripkische Ansätze den tarskischen Pessimismus als neue Orthodoxie über Sprachen mit ihren eigenen Wahrheitsprädikaten ersetzt haben.

Einer der Hauptkonkurrenten der dreiwertigen Semantik ist die von Hans Herzberger und Anil Gupta unabhängig konzipierte und erstmals in Herzberger 1982a und 1982b, Gupta 1982 und Belnap 1982 - den ersten Monographien - vorgestellte Revisionstheorie der Wahrheit (RTT) Zu diesem Thema gehören Yaqūb 1993 und der locus classicus Gupta & Belnap 1993. Das RTT soll die Art der Argumentation modellieren, zu der der Lügnersatz in einem zweiwertigen Kontext führt. Die zentrale Idee ist die Idee eines Revisionsprozesses: ein Prozess, mit dem wir Hypothesen über den Wahrheitswert eines oder mehrerer Sätze revidieren. Der Zweck dieses Artikels ist es, die Revisionstheorie der Wahrheit zu skizzieren. Wir gehen wie folgt vor:

• 1. Semiformale Einführung

• 2. Rahmen des Problems

  • 2.1 Wahrheitssprachen
  • 2.2 Bodenmodelle
  • 2.3 Das Paradox des Lügners (wieder)

• 3. Grundbegriffe der RTT

  • 3.1 Revisionsregeln
  • 3.2 Revisionssequenzen

• 4. Den Formalismus interpretieren

  • 4.1 Die Bedeutung von T.
  • 4.2 Das 'iff' in den T-Bedingungen
  • 4.3 Das paradoxe Denken
  • 4.4 Die Bedeutungsthese
  • 4.5 Die Supervenienz der Semantik
  • 4.6 Yaqūbs Interpretation des Formalismus

• 5. Weitere Fragen

  • 5.1 Dreiwertige Semantik
  • 5.2 Änderungen des RTT
  • 5.3 Revisionstheorie für zirkular definierte Konzepte
  • 5.5 Anwendungen
  • 5.5 Eine offene Frage
• Literaturverzeichnis
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Semiformale Einführung

Schauen wir uns den obigen Satz (1) genauer an:

(1) ist nicht wahr.

(1)

Es wird nützlich sein, die paradoxe Argumentation explizit zu machen. Nehmen wir zunächst an, dass

(1) ist nicht wahr.

(2)

Es scheint ein intuitives Prinzip in Bezug auf die Wahrheit zu sein, dass wir für jeden Satz p das sogenannte T-Biconditional haben

'p' ist wahr, wenn p.

(3)

(Hier verwenden wir 'iff' als Abkürzung für 'genau dann, wenn'.) Insbesondere sollten wir haben

'(1) ist nicht wahr' ist wahr, wenn (1) nicht wahr ist.

(4)

Somit erhalten wir aus (2) und (4)

'(1) ist nicht wahr' ist wahr.

(5)

Dann können wir die Identität anwenden,

(1) = '(1) ist nicht wahr.'

(6)

zu dem Schluss kommen, dass (1) wahr ist. Dies alles zeigt, dass wenn (1) nicht wahr ist, dann ist (1) wahr. In ähnlicher Weise können wir auch argumentieren, dass (1) nicht wahr ist, wenn (1) wahr ist. (1) scheint also sowohl wahr als auch nicht wahr zu sein: daher das Paradoxon. Wie oben erwähnt, wird bei der dreiwertigen Herangehensweise an das Paradoxon der Lügnersatz (1) weder als wahr noch als falsch angesehen. Wie oder sogar ob dieser Schritt die oben genannten Überlegungen blockiert, ist umstritten. Das RTT ist nicht dazu gedacht, das Denken der oben genannten Art zu blockieren, sondern es zu modellieren - oder das meiste davon. ^[2] Wie oben erwähnt, ist die zentrale Idee die Idee eines Revisionsprozesses: ein Prozess, mit dem wir Hypothesen über den Wahrheitswert eines oder mehrerer Sätze revidieren.

Betrachten Sie die Argumentation bezüglich des Lügnersatzes (1) oben. Angenommen, wir nehmen an, dass (1) nicht wahr ist. Dann könnten wir mit einer Anwendung der relevanten T-Bedingung unsere Hypothese wie folgt überarbeiten:

Hypothese:	(1) ist nicht wahr.
T-biconditional:	'(1) ist nicht wahr' ist wahr, wenn (1) nicht wahr ist.
Deshalb:	'(1) ist nicht wahr' ist wahr.
Bekannte Identität:	(1) = '(1) ist nicht wahr'.
Fazit:	(1) ist wahr.
Neue überarbeitete Hypothese:	(1) ist wahr.

Wir könnten den Überarbeitungsprozess fortsetzen, indem wir unsere Hypothese wie folgt erneut überarbeiten:

Neue Hypothese:	(1) ist wahr.
T-biconditional:	'(1) ist nicht wahr' ist wahr, wenn (1) nicht wahr ist.
Deshalb:	'(1) ist nicht wahr' ist nicht wahr.
Bekannte Identität:	(1) = '(1) ist nicht wahr'.
Fazit:	(1) ist nicht wahr.
Neue neue überarbeitete Hypothese:	(1) ist nicht wahr.

Während der Überarbeitungsprozess hin und her wechselt, wechseln wir zwischen der Annahme, dass der Lügnersatz wahr und nicht wahr ist.

Beispiel 1.1

Es ist sehenswert, wie diese Art der Überarbeitung in einem Fall mit mehreren Sätzen funktioniert. Wenden wir die Überarbeitungsidee auf die folgenden drei Sätze an:

(8) ist wahr oder (9) ist wahr.	(7)
(7) ist wahr.	(8)
(7) ist nicht wahr.	(9)

Informell könnten wir wie folgt argumentieren. Entweder ist (7) wahr oder (7) ist nicht wahr. Somit ist entweder (8) wahr oder (9) wahr. Somit ist (7) wahr. Somit ist (8) wahr und (9) ist nicht wahr und (7) ist immer noch wahr. Wenn wir den Prozess noch einmal wiederholen, erhalten wir erneut, dass (8) wahr ist, (9) nicht wahr ist und (7) wahr ist. Betrachten Sie formeller jede anfängliche Hypothese h ₀ über die Wahrheitswerte von (7), (8) und (9). Entweder sagt h ₀, dass (7) wahr ist, oder h ₀ sagt, dass (7) nicht wahr ist. In beiden Fällen können wir die T-Bedingung verwenden, um unsere überarbeitete Hypothese h ₁ zu generieren: Wenn h ₀ sagt, dass (7) wahr ist, dann sagt h ₁, dass '(7) wahr ist', dh dass (8) ist wahr; und wenn h ₀sagt, dass (7) wahr ist, dann sagt h ₁, dass '(7) nicht wahr ist' wahr ist, dh dass (9) wahr ist. Also sagt h ₁, dass entweder (8) wahr ist oder (9) wahr ist. Also sagt h ₂, dass '(8) wahr ist oder (9) wahr ist' wahr ist. Mit anderen Worten, h ₂ sagt, dass (7) wahr ist. Unabhängig davon, mit welcher Hypothese h ₀ wir beginnen, führen zwei Iterationen des Revisionsprozesses zu einer Hypothese, dass (7) wahr ist. In ähnlicher Weise führen drei oder mehr Iterationen des Revisionsprozesses zu der Hypothese, dass (7) wahr ist, (8) wahr ist und (9) falsch ist - unabhängig von unserer ursprünglichen Hypothese. In Abschnitt 3 werden wir dieses Beispiel in einem formaleren Kontext überdenken.

Zu beachten ist, dass in Beispiel 1.1 der Revisionsprozess stabile Wahrheitswerte für alle drei Sätze liefert. Der Begriff eines Satzes, der in allen Revisionssequenzen stabil wahr ist, wird ein zentraler Begriff für die RTT sein. Die revisionstheoretische Behandlung steht in diesem Fall im Gegensatz zum dreiwertigen Ansatz: Bei den meisten Möglichkeiten zur Umsetzung der dreiwertigen Idee erweisen sich alle drei Sätze (7), (8) und (9) als keine wahr noch falsch. ^[3] In diesem Fall erfasst die RTT die korrekte informelle Argumentation wohl besser als der dreiwertige Ansatz: Die RTT weist den Sätzen (7), (8) und (9) die ihnen zugewiesenen Wahrheitswerte zu durch die informelle Begründung am Anfang des Beispiels.

2. Rahmen des Problems

2.1 Wahrheitssprachen

Das Ziel der RTT ist es, einen Bericht über unser oft instabiles und oft paradoxes Denken über die Wahrheit zu geben - ein zweiwertiger Bericht, der Sätzen stabile klassische Wahrheitswerte zuweist, wenn intuitives Denken stabile klassische Wahrheitswerte zuweisen würde. Wir werden eine formale Semantik für eine formale Sprache präsentieren: Wir möchten, dass diese Sprache sowohl ein Wahrheitsprädikat als auch die Ressourcen hat, um auf ihre eigenen Sätze zu verweisen.

Betrachten wir eine Sprache erster Ordnung L mit konnektiven &, ∨ und ¬, Quantifizierern ∀ und ∃, dem Gleichheitszeichen =, Variablen und einem Bestand an Namen, Funktionssymbolen und Beziehungssymbolen. Wir werden sagen, dass L eine Wahrheitssprache ist, wenn es ein unterschiedliches Prädikat T und Anführungszeichen 'und' hat, die zur Bildung von Anführungszeichen verwendet werden: Wenn A ein Satz von L ist, dann ist 'A' ein Name. Sei Sent _L = {A: A ist ein Satz von L}.

2.2 Bodenmodelle

Anders als das Wahrheitsprädikat gehen wir davon aus, dass unsere Sprache vollständig klassisch interpretiert wird. Wir werden also das T- freie Fragment einer Wahrheitssprache L durch ein Grundmodell darstellen, dh eine klassische Interpretation des T- freien Fragments von L. Durch die T -freien Fragment von L verstehen wir die Sprache erster L ^-, die denselben Namen, Funktionssymbole und Beziehung Symbole wie L, mit Ausnahme der einstellige Prädikat hat T. Da L ^- die gleichen Namen wie L hat, einschließlich der gleichen Anführungszeichen, hat L ^- für jeden Satz A von L einen Anführungszeichennamen 'A'. Somit ist ∀ x T x kein Satz von L ^-, sondern '∀ x T x 'ist ein Name von L ^- und ∀ x (x =' ∀ x T x ') ist ein Satz von L ^-. Anhand eines Grundmodells werden wir die Aussichten für eine zufriedenstellende Interpretation von T prüfen. Das offensichtlichste Desiderat ist, dass das Grundmodell, das um eine Interpretation von T erweitert wurde, Tarskis T-Biconditionals erfüllt, dh die Biconditionals der Form

T  'A' iff A.

für jedes A ∈ Gesendete _L. Um die Dinge genau zu machen, sei ein Grundmodell für L ein klassisches Modell M = <D, I> für das T- freie Fragment von L, das Folgendes erfüllt:

1. D ist eine nicht leere Diskursdomäne;

2. Ich bin eine Funktion zuzuweisen

   1. zu jedem Namen von L ein Mitglied von D;
   2. zu jedem n-fachen Funktionssymbol von L eine Funktion von D ⁿ bis D; und
   3. zu jedem anderen n-fachen Beziehungssymbol als T von L eine Funktion von D ⁿ zu einem der beiden Wahrheitswerte in der Menge { t, f }; ^[4]
3. Gesendet _L ∈ D; und
4. I ('A') = A für alle A ∈ Sent _L.

Die Klauseln (1) und (2) spezifizieren einfach, was es für M ist, ein klassisches Modell des T- freien Fragments von L zu sein. Die Absätze (3) und (4) stellen sicher, dass L, wenn es interpretiert wird, über seine eigenen Sätze sprechen kann. Wenn ein Grundmodell M für L und ein Name, ein Funktionssymbol oder ein Beziehungssymbol X gegeben sind, können wir uns I (X) als Interpretation oder, um einen Begriff von Gupta und Belnap auszuleihen, die Bedeutung von X vorstellen. Gupta und Belnap charakterisieren die Bedeutung eines Ausdrucks oder Konzepts in einer Welt w als "abstraktes Etwas, das alle Informationen über alle Erweiterungsbeziehungen des Ausdrucks [oder Konzepts] in w enthält". Wenn wir T x als 'x ist wahr' interpretieren wollen, dann möchten wir bei einem Grundmodell M eine geeignete Bedeutung oder einen geeigneten Bereich von Bedeutungen für finden T.

2.3 Das Paradox des Lügners (wieder)

Wir könnten versuchen, T eine klassische Bedeutung zuzuweisen, indem wir M für alle von L, einschließlich T, zu einem klassischen Modell M '= <D', I '> erweitern. Denken Sie daran, dass wir möchten, dass M 'die T-Bedingungen erfüllt: Der naheliegendste Gedanke hier ist, das' iff 'als die standardmäßige wahrheitsbedingte Bedingung zu verstehen. Leider kann nicht jedes Bodenmodell M = <D, I> auf ein solches M 'erweitert werden. Betrachten Sie eine Wahrheitssprache L mit einem Namen λ und ein Grundmodell M = <D, I>, so dass I (λ) = ¬ T λ. Und nehmen wir an, dass M 'eine klassische Erweiterung von M auf ganz L ist. Da M 'eine Erweiterung von M ist, sind ich und ich uns über alle Namen von L einig. So

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Die Sätze T λ und T  '¬ T λ' haben also den gleichen Wahrheitswert in M '. Also die T-Bedingung

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

ist falsch in M '. Dies ist eine Formalisierung des Paradoxons des Lügners, wobei der Satz ¬ T λ der Satz des beleidigenden Lügners ist.

In einer Semantik für Sprachen, die in der Lage sind, ihre eigenen Wahrheitskonzepte auszudrücken, wird T im Allgemeinen keine klassische Bedeutung haben; und das 'iff' in den T-Biconditionals wird nicht als das klassische Biconditional gelesen. Wir greifen diese Vorschläge in Abschnitt 4 unten auf.

3. Grundbegriffe der RTT

3.1 Revisionsregeln

In Abschnitt 1 haben wir informell den zentralen Gedanken der RTT skizziert, nämlich dass wir die T-Biconditionals verwenden können, um eine Revisionsregel zu generieren - eine Regel zur Revision einer Hypothese über die Erweiterung des Wahrheitsprädikats. Hier werden wir diesen Begriff formalisieren und ein Beispiel aus Abschnitt 1 durcharbeiten.

Im Allgemeinen sei L eine Wahrheitssprache und M ein Grundmodell für L. Eine Hypothese ist eine Funktion h: D → { t, f }. Eine Hypothese wird in der Tat eine hypothetische klassische Interpretation für T sein. Lassen Sie uns mit einem Beispiel arbeiten, das sowohl das Paradoxon des Lügners als auch Beispiel 1.1 aus Abschnitt 1 erfasst. Wir werden das Beispiel formal, aber auf halbformale Weise begründen, um von einer hypothetischen Erweiterung von T zu einer anderen überzugehen.

Beispiel 3.1

Es sei angenommen, dass L enthält vier nicht-Zitat Namen, α, β, γ und λ und ohne Vergleich außer T. Angenommen, M = <D, I> ist wie folgt:

D.	=	Gesendet L.
I (α)	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	T α
I (γ)	=	¬ T α
I (λ)	=	¬ T λ

Es wird bequem zu vermieten sein

EIN	sei der Satz	T β ∨ T γ
B.	sei der Satz	T α
C.	sei der Satz	¬ T α
X.	sei der Satz	¬ T λ

So:

D.	=	Gesendet L.
I (α)	=	EIN
I (β)	=	B.
I (γ)	=	C.
I (λ)	=	X.

Angenommen, die Hypothese h _{0 geht davon aus}, dass A falsch ist, B wahr ist, C falsch ist und X wahr ist. So

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Nun werden wir uns auf der Grundlage der Hypothese h ₀ auf einige semiformale Überlegungen einlassen. Unter den vier Sätzen, A, B, C und X, h ₀ puts nur B in der Verlängerung von T. Aus h ₀ schließen wir also

¬ T α	da der Referent von α nicht in der Erweiterung von T liegt
T β	da der Referent von β in der Erweiterung von T liegt
¬ T γ	da der Referent von γ nicht in der Erweiterung von T liegt
¬ T λ	da der Referent von λ nicht in der Erweiterung von T liegt.

Die T-Bedingungen für die vier Sätze A, B, C und X sind wie folgt:

(T A)	A ist wahr, wenn T β ∨ T γ ist
(T B)	B ist wahr, wenn T α
(T C)	C ist wahr, wenn ¬ T α
(T X)	X ist wahr, wenn ¬ T λ

Aus h ₀ schließen wir also

A ist wahr

B ist nicht wahr

C ist wahr

X ist wahr

Dies ergibt unsere neue Hypothese h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Lassen Sie uns unsere Hypothese noch einmal überarbeiten. Nun werden wir uns auf der Grundlage der Hypothese h ₁ auf einige semiformale Überlegungen einlassen. Hypothese H ₁ setzt ein, C und X, aber nicht B, in der Verlängerung des T. Aus h ₁ schließen wir also

T α	da der Referent von a in der Erweiterung von T steht
¬ T β	da der Referent von β in der Erweiterung von T liegt
T γ	da der Referent von γ nicht in der Erweiterung von T liegt
T λ	da der Referent von λ nicht in der Erweiterung von T liegt

Erinnern Sie sich an die T-Bedingung für die vier oben angegebenen Sätze A, B, C und X. Aus h ₁ und diesen T-Bedingungen schließen wir daraus

A ist wahr

B ist wahr

C ist nicht wahr

X ist nicht wahr

Dies ergibt unsere neue neue Hypothese h ₂:

h 2 (A)	=	t
h 2 (B)	=	t
h 2 (C)	=	f
h 2 (X)	=	f

□

Lassen Sie uns das in Beispiel 3.1 durchgeführte semiformale Denken formalisieren. Zuerst stellten wir die Hypothese auf, dass bestimmte Sätze in der Erweiterung von T waren oder nicht. Betrachten Sie die gewöhnliche klassische Modelltheorie. Angenommen, unsere Sprache hat ein Prädikat G und einen Namen a und wir haben ein Modell M = <D, I>, das den Referenten von a in die Erweiterung von G einfügt:

I (G) (I (α)) = t

Dann schließen wir klassisch, dass der Satz Ga in M wahr ist. Es wird nützlich sein, eine Notation für den klassischen Wahrheitswert eines Satzes S in einem klassischen Modell M zu haben. Wir werden Val _M (S) schreiben. In diesem Fall ist Val _M (Ga) = t. In Beispiel 3.1 haben wir nicht mit einem klassischen Modell der gesamten Sprache L begonnen, sondern nur mit einem klassischen Modell des T- freien Fragments von L. Aber dann haben wir eine Hypothese hinzugefügt, um ein klassisches Modell von ganz L zu erhalten. Verwenden wir die Notation M + h für das klassische Modell von L, das Sie erhalten, wenn Sie M erweitern, indem Sie T über die Hypothese h eine Erweiterung zuweisen. Sobald Sie dem Prädikat T eine Erweiterung zugewiesen habenkönnen Sie die Wahrheitswerte der verschiedenen Sätze von L berechnen. Das heißt, wir können für jeden Satz S von L berechnen

Val _{M + h} (S)

In Beispiel 3.1 haben wir mit der Hypothese h ₀ wie folgt begonnen:

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Dann haben wir wie folgt berechnet:

Val M + h 0 (T α)	=	f
Val M + h 0 (T β)	=	t
Val M + h 0 (T & ggr;)	=	f
Val M + h 0 (T λ)	=	f

Und dann kamen wir zu folgendem Schluss:

Val M + h 0 (A)	=	Val M + h 0 (T & bgr; ≤ T & ggr;) = t
Val M + h 0 (B)	=	Val M + h 0 (¬ T α) = f
Val M + h 0 (C)	=	Val M + h 0 (T α) = t
Val M + h 0 (X)	=	Val M + h 0 (¬ T λ) = t

Diese Schlussfolgerungen führten zu unserer neuen Hypothese, h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Beachten Sie, dass im Allgemeinen

h ₁ (S) = Val _{M + h 0 (S).}

Wir sind nun bereit, die Revisionsregel zu definieren, die durch ein Bodenmodell M = <D, I> gegeben ist. Im Allgemeinen sei bei einer Hypothese h M + h = <D, I '> das Modell von L, das mit M auf dem T- freien Fragment von L übereinstimmt und das so ist, dass I' (T) = h. M + h ist also nur ein klassisches Modell für ganz L. Für jedes Modell M + h von ganz L und jeden Satz A, wenn L, sei Val _{M + h} (A) der gewöhnliche klassische Wahrheitswert von A in M + h.

Definition 3.2

Angenommen, L ist eine Wahrheitssprache und M = <D, I> ist ein Grundmodell für L. Die Revisionsregel τ _M ist die Funktionszuordnung von Hypothesen zu Hypothesen wie folgt:

τ M (h) (d)

=

{

t, wenn d ∈ D ein Satz von L ist und Val M + h (d) = t f, sonst

Die 'sonst'-Klausel sagt uns, dass wenn d kein Satz von L ist, wir nach einer Anwendung der Revision an der Hypothese festhalten, dass d nicht wahr ist. ^[5] Beachten Sie, dass in Beispiel 3.1 h ₁ = τ _M (h ₀) und h ₂ = τ _M (h ₁) ist. Wir werden oft das tiefgestellte 'M' löschen, wenn der Kontext klar macht, um welches Grundmodell es sich handelt.

3.2 Revisionssequenzen

Nehmen wir Beispiel 3.1 und sehen, was passiert, wenn wir die Anwendung der Revisionsregel wiederholen.

Beispiel 3.3 (Beispiel 3.2 Fortsetzung)

Recall dass L vier nicht-Zitat Namen enthält, α, β, γ und λ und ohne Vergleich außer T. Denken Sie auch daran, dass M = <D, I> wie folgt ist:

D.	=	Gesendet L.
I (α)	=	EIN	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B.	=	T α
I (γ)	=	C.	=	¬ T α
I (λ)	=	X.	=	¬ T λ

Die folgende Tabelle zeigt, was bei wiederholter Anwendung der Revisionsregel τ _M auf die Hypothese h ₀ aus Beispiel 3.1 passiert. In dieser Tabelle schreiben wir τ anstelle von τ _M:

S.	h 0 (S)	τ (h 0) (S)	τ 2 (h 0) (S)	τ 3 (h 0) (S)	τ 4 (h 0) (S)	…
EIN	f	t	t	t	t	…
B.	t	f	t	t	t	…
C.	f	t	f	f	f	…
X.	f	t	f	t	f	…

Also erzeugt h ₀ eine Revisionssequenz (siehe Definition 3.7 unten). Und A und B sind in dieser Revisionssequenz stabil wahr (siehe Definition 3.6 unten), während C stabil falsch ist. Der Lügnersatz X ist nicht überraschend weder stabil wahr noch stabil falsch: Der Lügnersatz ist instabil. Eine ähnliche Berechnung würde zeigen, dass A unabhängig von der ursprünglichen Hypothese stabil wahr ist: Somit ist A kategorisch wahr (siehe Definition 3.8).

Bevor wir eine genaue Definition einer Revisionssequenz geben, geben wir ein Beispiel, in dem wir den Revisionsprozess über die endlichen Stufen h, τ ¹ (h), τ ² (h), τ ³ (h) usw. hinaus durchführen möchten auf.

3.4 Beispiel

sei angenommen, dass L enthält nonquote Namen & agr; ₀, α ₁, α ₂, α ₃, … und unäre Prädikate G und T. Nun werden wir ein Bodenmodell M = <D, I> spezifizieren, wobei sich der Name α ₀ auf eine Tautologie bezieht und wo

der Name α ₁ bezieht sich auf den Satz T α ₀

der Name α ₂ bezieht sich auf den Satz T α ₁

der Name a ₃ bezieht sich auf den Satz T a ₂

Formal lassen A ₀ der Satz seiner T α ₀ ∨ ¬ T α ₀, und für jeden n ≥ 0, seien A _{n + 1} der Satz seiner T α _n. Somit ist A ₁ der Satz T & agr; ₀ und A ₂ ist der Satz T & agr; ₁ und A ₃ ist der Satz T & agr; ₂ und so weiter. Unser Bodenmodell M = <D, I> lautet wie folgt:

D.	=	Gesendet L.
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iff	A = A n für einige n

Somit ist die Erweiterung von G die folgende Menge von Sätzen: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = {(T α ₀ ∨ T α ₀), T α ₀, T a ₁, T. a ₂, T a ₃,…}. Schließlich sei B der Satz ∀ x (Gx ⊃ T x). Sei h jede Hypothese, für die wir für jede natürliche Zahl n haben,

h (A _n) = h (B) = f.

Die folgende Tabelle zeigt, was bei wiederholter Anwendung der Revisionsregel τ _M auf die Hypothese h passiert. In dieser Tabelle schreiben wir τ anstelle von τ _M:

S.	h (S)	t (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	τ 4 (h) (S)	…
A 0	f	t	t	t	t	…
A 1	f	f	t	t	t	…
A 2	f	f	f	t	t	…
A 3	f	f	f	f	t	…
A 4	f	f	f	f	f	…
B.	f	f	f	f	f	…

An die 0 - ^ten Stufe, die jeweils einem _n außerhalb der hypothetisierten Verlängerung des T. Aber von der n - ^ten Stufe ab, A _n ist in der vorausgesetzten Erweiterung von T. Für jedes n wird schließlich stabil angenommen, dass der Satz A _n wahr ist. Trotzdem gibt es keine endliche Stufe, in der angenommen wird, dass alle A _n wahr sind: Infolgedessen bleibt der Satz B = ∀ x (Gx ⊃ T x) in jeder endlichen Stufe falsch. Dies schlägt vor, den Prozess wie folgt zu erweitern:

S.	h (S)	τ (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	…	ω	ω + 1	ω + 2	…
A 0	f	t	t	t	…	t	t	t	…
A 1	f	f	t	t	…	t	t	t	…
A 2	f	f	f	t	…	t	t	t	…
A 3	f	f	f	f	…	t	t	t	…
A 4	f	f	f	f	…	t	t	t	…
B.	f	f	f	f	…	f	t	t	…

Wenn wir also der Revisionsprozess ablaufen über die finite Stufen erlauben, dann der Satz B = ∀ x Gx ⊃ T x) ist stabil wahr aus der ω + 1 ^st Stufe ab. □

In Beispiel 3.4 lautet das intuitive Urteil, dass nicht nur jedes A _n einen stabilen Wahrheitswert von t erhalten sollte, sondern auch der Satz B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Die einzige Möglichkeit, dies sicherzustellen, besteht darin, den Revisionsprozess über die endlichen Stufen hinaus durchzuführen. Wir werden also Revisionssequenzen betrachten, die sehr lang sind: Eine Revisionssequenz hat nicht nur eine ^th- Stufe für jede endliche Zahl n, sondern eine η- ^te Stufe für jede Ordnungszahl η. (Der nächste Absatz soll dem Leser helfen, mit Ordnungszahlen nicht vertraut zu sein.)

Eine Möglichkeit, sich die Ordnungszahlen vorzustellen, ist wie folgt. Beginnen Sie mit den endlichen natürlichen Zahlen:

0, 1, 2, 3,…

Fügen Sie eine Zahl ω hinzu, die größer ist als alle diese, aber nicht der unmittelbare Nachfolger einer von ihnen:

0, 1, 2, 3,…, ω

Und dann nimm den Nachfolger von ω, seinen Nachfolger und so weiter:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3…

Fügen Sie dann eine Zahl ω + ω oder ω × 2 hinzu, die größer ist als alle diese Zahlen (und wiederum nicht der unmittelbare Nachfolger von irgendwelchen), und beginnen Sie von vorne und wiederholen Sie diesen Vorgang immer wieder:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) + 1, (ω × 2) + 2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

Am Ende addieren wir eine Ordnungszahl ω × ω oder ω ²:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω ², ω ² +1,…

Die Ordnungszahlen haben die folgende Struktur: Jede Ordnungszahl hat einen unmittelbaren Nachfolger, der als Nachfolger-Ordnungszahl bezeichnet wird. und für jede unendlich aufsteigende Folge von Ordnungszahlen gibt es eine Grenzordnungszahl, die größer ist als alle Mitglieder der Folge und die nicht der unmittelbare Nachfolger eines Mitglieds der Folge ist. Somit sind die folgenden Ordnungszahlen: 5, 178, & ohgr; + 12, (& ohgr; × 5) + 56, & ohgr; ² + 8; und das Folgende sind Grenzordnungszahlen: ω, ω × 2, ω ², (ω ² + ω) usw. Bei einer Grenzordnungszahl η ist eine Folge S von Objekten eine η-lange Folge, wenn es ein Objekt S _δ für gibt jede Ordnungszahl δ <η. Wir werden die Klasse der Ordnungszahlen als Ein bezeichnen. Jede Folge S von Objekten ist eine lange Folge, wenn es ein Objekt S _{δ gibt} für jede Ordnungszahl δ.

Bei der Beurteilung, ob ein Satz einen stabilen Wahrheitswert erhält, berücksichtigt die RTT Folgen von Hypothesen der Länge On. Nehmen wir also an, dass S eine On-Long-Folge von Hypothesen ist, und lassen Sie ζ und η über Ordnungszahlen liegen. Offensichtlich, um für S den Revisionsprozess darzustellen, müssen wir die ζ + 1 ^st Hypothese von der ζ erzeugt werden ^Th durch die Revisionsregel Hypothese. Wir bestehen also darauf, dass S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ) ist. Aber was sollen wir in einem Grenzstadium tun? Das heißt, wie sollen wir S _η (δ) setzen, wenn η eine Grenzordnungszahl ist? Es ist klar, dass jedes Objekt, das bis zu diesem Zeitpunkt stabil wahr [falsch] ist, zu diesem Zeitpunkt wahr [falsch] sein sollte. Betrachten Sie daher Beispiel 3.2. Der Satz A ₂gilt zum Beispiel bis zur ω- ^ten Stufe; also setzen wir A ₂ im ω- ^ten Stadium auf wahr. Für Objekte, die sich bis zu diesem Stadium nicht stabilisieren, verfolgen Gupta und Belnap 1993 eine liberale Politik: Wenn sich beim Erstellen einer Revisionssequenz S der Wert des Objekts d ∈ D bis zum Erreichen des Grenzstadiums η nicht stabilisiert hat, dann können Sie S _η (δ) so einstellen, dass es beliebig von t oder f ist. Bevor wir die genaue Definition einer Revisionssequenz geben, fahren wir mit Beispiel 3.3 fort, um eine Anwendung dieser Idee zu sehen.

Beispiel 3.5 (Beispiel 3.3 Fortsetzung)

Recall dass L vier nicht-Zitat Namen enthält, α, β, γ und λ und ohne Vergleich außer T. Denken Sie auch daran, dass M = <D, I> wie folgt ist:

D.	=	Gesendet L.
I (α)	=	EIN	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B.	=	T α
I (γ)	=	C.	=	¬ T α
I (λ)	=	X.	=	¬ T λ

Die folgende Tabelle zeigt, was bei wiederholter Anwendung der Revisionsregel τ _M auf die Hypothese h ₀ aus Beispiel 3.1 passiert. Für jede Ordnungszahl η geben wir die η- ^te Hypothese durch S _{η an} (Unterdrückung des Index M auf τ). Somit wird S ₀ = h ₀, S ₁ = & tgr; (h ₀), S ₂ = & tgr; ² (h ₀), S ₃ = & tgr; ³ (h ₀) und S & ohgr _;, die & _ohgr; ^-te Hypothese, auf irgendeine Weise bestimmt von den Hypothesen, die dazu führen. Also beginnend mit h ₀ Ab Beispiel 3.3 beginnt unsere Revisionssequenz wie folgt:

S.	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…
EIN	f	t	t	t	t	…
B.	t	f	t	t	t	…
C.	f	t	f	f	f	…
X.	f	t	f	t	f	…

Was passiert im ω- ^ten Stadium? A und B sind bis zur ω- ^ten Stufe stabil wahr, und C ist bis zur ω- ^ten Stufe stabil falsch. Im ω- ^ten Stadium müssen wir also Folgendes haben:

S.	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…	S ω (S)
EIN	f	t	t	t	t	…	t
B.	t	f	t	t	t	…	t
C.	f	t	f	f	f	…	f
X.	f	t	f	t	f	…	?

Der Eintrag für S _ω (X) kann jedoch entweder t oder f sein. Mit anderen Worten erzeugt die Anfangshypothese h ₀ mindestens zwei Revisionssequenzen. Jede Revisionssequenz S, deren Anfangshypothese h _{0 ist}, muss S _ω (A) = t, S _ω (B) = t und S _ω (C) = f haben. Es gibt jedoch eine Revisionssequenz S mit h ₀ als Anfangshypothese und mit S _ω (X) = t; und es gibt eine Revisionssequenz S 'mit h ₀ als Anfangshypothese und mit S _ω'(X) = f. □

Wir sind jetzt bereit, den Begriff einer Revisionssequenz zu definieren:

Definition 3.6

Angenommen, L ist eine Wahrheitssprache und M = <D, I> ist ein Grundmodell. Angenommen, S ist eine On-Long-Folge von Hypothesen. Dann sagen wir, dass d ∈ D in S iff für eine Ordnungszahl θ, die wir haben, stabil t [ f] ist

S _ζ (d) = t [ f] für jede Ordnungszahl ζ ≥ θ.

Angenommen, S ist eine η-lange Folge von Hypothesen für eine Grenzordnungszahl η. Dann sagen wir, dass d ∈ D in S iff für eine Ordnungszahl θ <η, die wir haben, stabil t [ f] ist

S _ζ (d) = t [ f] für jede Ordnungszahl ζ, so dass ζ ≥ θ und ζ <η.

Wenn S eine On-Long-Folge von Hypothesen ist und η eine Grenzordnungszahl ist, dann ist S | _η ist das Anfangssegment von S bis zu, aber ohne η. Beachten Sie, dass S | _η ist eine η-lange Folge von Hypothesen.

Definition 3.7

Angenommen, L ist eine Wahrheitssprache und M = <D, I> ist ein Grundmodell. Angenommen, S ist eine On-Long-Folge von Hypothesen. S ist eine Revisionssequenz für M iff

• S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ) für jedes ζ ζ Ein und
• für jede Grenzordnungszahl η und jedes d ∈ D, wenn d in S | stabil t [ f] ist _η, dann ist S _η (d) = t [ f].

Definition 3.8

Angenommen, L ist eine Wahrheitssprache und M = <D, I> ist ein Grundmodell. Wir sagen, dass der Satz A in M kategorisch wahr [falsch] ist, wenn A in jeder Revisionssequenz für M stabil t [ f] ist. Wir sagen, dass A in M kategorisch ist, wenn A in M entweder kategorisch wahr oder kategorisch falsch ist.

Wir veranschaulichen diese Konzepte nun anhand eines Beispiels. Das Beispiel zeigt auch ein neues Konzept, das anschließend definiert wird.

Beispiel 3.9

Angenommen, L ist eine Wahrheitssprache, die nicht zitierte Namen β, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃, … und unäre Prädikate G und T enthält. Sei B der Satz

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Sei A ₀ der Satz ∃ x (Gx & ¬ T x). Und für jedes n ≥ 0 sei A _{n + 1} der Satz T α _n. Betrachten Sie das folgende Bodenmodell M = <D, I>

D.	=	Gesendet L.
I (β)	=	B.
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iff	A = A n für einige n

Somit ist die Erweiterung von G die folgende Menge von Sätzen: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = { T α ₀, T α ₁, T α ₂, T α ₃,…}. Sei h eine Hypothese, für die wir haben, h (B) = f und für jede natürliche Zahl n,

h (A _n) = f.

Und sei S eine Revisionssequenz, deren Anfangshypothese h ist, dh S ₀ = h. Die folgende Tabelle zeigt einige der Werte von S _γ (C) für die Sätze C ∈ {B, A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…}. In der oberen Zeile geben wir nur die Ordnungszahl an, die die Phase des Überarbeitungsprozesses darstellt.

0

1

2

3

…

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

…

ω × 2

(ω × 2) +1

(ω × 2) +2

…

B.

f

f

f

f

…

f

t

t

t

…

t

t

t

…

A 0

f

t

t

t

…

t

f

t

t

…

t

f

t

…

A 1

f

f

t

t

…

t

t

f

t

…

t

t

f

…

A 2

f

f

f

t

…

t

t

t

f

…

t

t

t

…

A 3

f

f

f

f

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

A 4

f

f

f

f

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

Es lohnt sich, das Verhalten des Satzes B und des Satzes A _{0 gegenüberzustellen}. Von der ω + 1 ^st Stufe auf, B, stabilisiert als wahr. Tatsächlich ist B in jeder Revisionssequenz für M stabil wahr. Somit ist B in M kategorisch wahr. Der Satz A ₀ stabilisiert sich jedoch nie ganz: Es ist normalerweise wahr, aber innerhalb weniger endlicher Stufen einer Grenzordnungszahl kann der Satz A ₀ falsch sein. Unter diesen Umständen sagen wir, dass A ₀ nahezu stabil wahr ist (siehe Definition 3.10 unten). Tatsächlich ist A ₀ in jeder Revisionssequenz für M nahezu stabil wahr. □

Beispiel 3.9 veranschaulicht nicht nur den Begriff der Stabilität in einer Revisionssequenz, sondern auch den Begriff der nahezu Stabilität, den wir jetzt definieren:

Definition 3.10.

Angenommen, L ist eine Wahrheitssprache und M = <D, I> ist ein Grundmodell. Angenommen, S ist eine On-Long-Folge von Hypothesen. Dann sagen wir, dass d ∈ D in S iff für eine Ordnungszahl θ, die wir haben, nahezu stabil t [ f] ist

für jedes ζ ≥ θ gibt es eine natürliche Zahl n, so dass für jedes m ≥ n S _{ζ + m} (d) = t [ f] ist.

Gupta und Belnap 1993 charakterisieren den Unterschied zwischen Stabilität und nahezu Stabilität wie folgt: „Der Stabilitätsvereinfacher erfordert, dass sich ein Element [in unserem Fall ein Satz] auf einen Wert x [in unserem Fall einen Wahrheitswert] einstellt, nachdem einige anfängliche Schwankungen bis zu sagen [eine Ordnungszahl η]… Im Gegensatz dazu erlaubt die Nahe-Stabilität auch Schwankungen nach η, aber diese Schwankungen müssen auf endliche Bereiche unmittelbar nach den Grenz-Ordnungszahlen beschränkt werden “(S. 169). Gupta und Belnap 1993 führen zwei Wahrheitstheorien ein, T ^* und T ^#, basierend auf Stabilität und nahezu Stabilität. Die folgenden Sätze 3.12 und 3.13 veranschaulichen einen Vorteil des Systems T ^#, dh des Systems, das auf nahezu Stabilität basiert.

Definition 3.11

Angenommen, L ist eine Wahrheitssprache und M = <D, I> ist ein Grundmodell. Wir sagen, dass ein Satz A in M durch T ^* gültig ist, wenn A in jeder Revisionssequenz stabil wahr ist. Und wir sagen, dass ein Satz A in M durch T ^# gültig ist, wenn A in jeder Revisionssequenz nahezu stabil wahr ist.

Satz 3.12

Angenommen, L ist eine Wahrheitssprache und M = <D, I> ist ein Grundmodell. Dann ist für jeden Satz A von L das Folgende in M durch T ^# gültig:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Satz 3.13

Es gibt eine Wahrheitssprache L und ein Grundmodell M = <D, I> und einen Satz A von L, so dass das Folgende in M durch T ^* nicht gültig ist:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Gupta und Belnap 1993, Abschnitt 6C, stellen ähnliche Vorteile von T fest ^# gegenüber T ^{* fest}. Beispielsweise validiert T ^# die folgenden semantischen Prinzipien, T ^* jedoch nicht:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta und Belnap bleiben unverbindlich, welche von T ^# und T ^* (und eine weitere Alternative, die sie definieren, T ^c) vorzuziehen ist.

4. Den Formalismus interpretieren

Die wichtigsten formalen Begriffe der RTT sind der Begriff einer Revisionsregel (Definition 3.2), dh eine Regel zur Revision von Hypothesen; und eine Revisionssequenz (Definition 3.7), eine Sequenz von Hypothesen, die gemäß der entsprechenden Revisionsregel erstellt wurden. Mit diesen Begriffen können wir anhand eines Grundmodells angeben, wann ein Satz in einer bestimmten Revisionssequenz stabil oder nahezu stabil wahr oder falsch ist. Somit könnten wir zwei Wahrheitstheorien definieren, T ^* und T ^#, basierend auf Stabilität und nahezu Stabilität. Die letzte Idee ist, dass jede dieser Theorien ein Urteil darüber liefert, welche Sätze der Sprache unter Berücksichtigung eines Grundmodells kategorisch durchsetzbar sind.

Beachten Sie, dass wir revisionstheoretische Begriffe verwenden könnten, um ziemlich feinkörnige Unterscheidungen zwischen Sätzen zu treffen: Einige Sätze sind in jeder Revisionssequenz instabil; andere sind in jeder Revisionssequenz stabil, obwohl sie in einigen stabil wahr und in anderen stabil falsch sind; und so weiter. Daher können wir revisionstheoretische Ideen verwenden, um eine detaillierte Analyse des Status verschiedener Sätze und der Beziehungen verschiedener Sätze zueinander zu erhalten.

Erinnern Sie sich an den Vorschlag am Ende von Abschnitt 2:

In einer Semantik für Sprachen, die in der Lage sind, ihre eigenen Wahrheitskonzepte auszudrücken, wird T im Allgemeinen keine klassische Bedeutung haben; und das 'iff' in den T-Biconditionals wird nicht als das klassische Biconditional gelesen.

Gupta und Belnap füllen diese Vorschläge folgendermaßen aus.

4.1 Die Bedeutung von T

Erstens legen sie nahe, dass die Bedeutung von T bei einem gegebenen Grundmodell M die Revisionsregel τ _M selbst ist. Wie im vorhergehenden Absatz erwähnt, können wir eine detaillierte Analyse der Status und Wechselbeziehungen von Sätzen auf der Grundlage von Begriffen geben, die direkt und natürlich aus der Revisionsregel τ _M generiert wurden. Somit ist τ _M ein guter Kandidat für die Bedeutung von T, da es „ein abstraktes Etwas zu sein scheint, das alle Informationen über alles [von T enthält] Extensionsbeziehungen" in M enthält. (Siehe Gupta und Belnaps Charakterisierung der Bedeutung eines Ausdrucks in Abschnitt 2 oben.)

4.2 Das 'iff' in den T-Bedingungen

Gupta und Belnaps verwandter Vorschlag bezüglich des 'iff' in den T-Biconditionals lautet, dass dieses 'iff' nicht das klassische Biconditional ist, sondern das charakteristische Biconditional, das zur Definition eines zuvor undefinierten Konzepts verwendet wird. 1993 präsentieren Gupta und Belnap die Revisionstheorie der Wahrheit als Sonderfall einer Revisionstheorie zirkulär definierter Konzepte. Angenommen, L ist eine Sprache mit einem unären Prädikat F und einem binären Prädikat R. Stellen Sie sich ein neues Konzept vor, das durch ein Prädikat G ausgedrückt wird und durch eine Definition wie diese eingeführt wird:

Gx = _df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ y (Ryx & Gx).

Angenommen, wir beginnen mit einem Diskursbereich D und einer Interpretation des Prädikats F und des Beziehungssymbols R. Die revisionstheoretische Behandlung der so zirkulär eingeführten Konzepte durch Gupta und Belnap ermöglicht es, kategorische Urteile für bestimmte d ∈ D darüber zu fällen, ob d G erfüllt oder nicht. Andere Objekte sind relativ zu G instabil: Wir können kategorisch weder behaupten, dass d G erfüllt, noch dass d G nicht erfüllt. Im Falle der Wahrheit nehmen Gupta und Belnap die Menge der T-Biconditionals der Form an

T  'A' = df A.

(10)

zusammen, um die Definition des Begriffs der Wahrheit zu geben. Es ist ihre Behandlung von '= _df ' (das 'iff' der Einführung des Definitionskonzepts) zusammen mit den T-Bedingungen der Form (10), die die Revisionsregel τ _M bestimmen.

4.3 Das paradoxe Denken

Erinnern Sie sich an den Lügnersatz (1) vom Anfang dieses Artikels:

(1) ist nicht wahr

(1)

In Abschnitt 1 haben wir behauptet, dass die RTT darauf ausgelegt ist, die Art der paradoxen Argumentation in Bezug auf (1) zu modellieren, anstatt sie zu blockieren. In Fußnote 2 haben wir jedoch festgestellt, dass die RTT Widersprüche in diesen Situationen vermeidet. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu sehen. Erstens, während die RTT das Biconditional unterstützt

(1) ist wahr, wenn (1) nicht wahr ist,

Das relevante "iff" ist nicht die materielle Bedingung, wie oben erläutert. Daraus folgt nicht, dass sowohl (1) als auch (1) nicht wahr sind. Zweitens ist zu beachten, dass wir aus keiner Hypothese schließen können, dass sowohl (1) als auch (1) nicht wahr sind. Wenn wir fest daran denken, dass revisionstheoretisches Denken eher hypothetisch als kategorisch ist, werden wir aus der Existenz eines Satzes wie (1) oben keine Widersprüche schließen.

4.4 Die Bedeutungsthese

Die Vorschläge von Gupta und Belnap bezüglich der Bedeutung von T und der Interpretation des 'iff' in den T-Biconditionals passen gut zu zwei eng verwandten Intuitionen, die in Gupta & Belnap 1993 artikuliert wurden. Die erste Intuition, die lose ausgedrückt wird, lautet: „Das T. -Biconditionals sind analytisch und legen die Bedeutung von 'true' fest (S. 6). Genauer ausgedrückt wird es zur „Signifikanz-These“(S. 31): „Die T-Biconditionals legen die Bedeutung der Wahrheit in jeder Welt fest [wo eine Welt durch ein Grundmodell dargestellt wird].“^[6] Angesichts der revisionstheoretischen Behandlung der Definition 'iff' und eines Grundmodells M fixieren die T-Biconditionals (10), wie erwähnt, die vorgeschlagene Bedeutung von T, dh die Revisionsregel τ _M..

4.5 Die Supervenienz der Semantik

Die zweite Intuition ist die Überwachung der Bedeutung der Wahrheit. Dies ist ein Nachkomme von M. Kremers 1988 vorgeschlagener Supervenience of Semantics. Die Idee ist einfach: Welche Sätze unter den Begriff Wahrheit fallen, sollte durch (1) die Interpretation des nicht-semantischen Vokabulars und (2) die empirischen Fakten festgelegt werden. In nicht kreisförmigen Fällen ist diese Intuition besonders stark: Die Standardinterpretation von „Schnee“und „Weiß“und die empirische Tatsache, dass Schnee weiß ist, reichen aus, um festzustellen, dass der Satz „Schnee ist weiß“unter den Begriff Wahrheit fällt. Die Überlegenheit der Bedeutung der Wahrheit ist die These, dass die Bedeutung der Wahrheit, was auch immer sie ist, durch das Grundmodell M festgelegt wird. Das RTT erfüllt dieses Prinzip eindeutig.

Es ist sehenswert, wie eine Wahrheitstheorie gegen dieses Prinzip verstoßen könnte. Betrachten Sie den Wahrsager-Satz, dh den Satz, der von sich selbst sagt, dass er wahr ist:

(11) ist wahr

(11)

Wie oben erwähnt, erlaubt Kripkes dreiwertige Semantik drei Wahrheitswerte, wahr (t), falsch (f) und weder (n). Bei einem Grundmodell M = <D, I> für eine Wahrheitssprache L sind die Kandidateninterpretationen von T dreiwertige Interpretationen, dh Funktionen h: D → {  t, f, n  }. Bei einer dreiwertigen Interpretation von T und einem Schema zur Bewertung des Wahrheitswertes zusammengesetzter Sätze hinsichtlich ihrer Teile können wir einen Wahrheitswert Val _{M + h} (A) = t, f angeben oder nfür jeden Satz A von L. Der zentrale Satz der dreiwertigen Semantik ist, dass es für jedes Grundmodell M eine dreiwertige Interpretation h von T gibt, so dass wir für jeden Satz A Val _{M + h} (T  'A') = Val haben _{M + h} (A). ^[7] Wir werden eine solche Interpretation von T als akzeptable Interpretation bezeichnen. Unser Punkt hier ist folgender: Wenn es einen Wahrsager wie in (11) gibt, dann gibt es nicht nur eine akzeptable Interpretation von T; Es gibt drei: eine, nach der (11) wahr ist, eine, nach der (11) falsch ist, und eine, nach der (11) keine ist. Somit gibt es keine einzige "richtige" Interpretation von T. bei einem Grundmodell M. Somit scheint die dreiwertige Semantik die Supervenienz der Semantik zu verletzen. ^[8]

Die RTT weist dem Wahrsager keinen Wahrheitswert zu (11). Es gibt vielmehr eine Analyse der Art von Argumentation, mit der man sich in Bezug auf den Wahrsager befassen könnte: Wenn wir mit einer Hypothese h beginnen, nach der (11) wahr ist, dann bleibt nach Überarbeitung (11) wahr. Und wenn wir mit einer Hypothese h beginnen, nach der (11) nicht wahr ist, dann bleibt (11) bei Revision nicht wahr. Und das ist alles, was uns der Begriff der Wahrheit hinterlässt. Angesichts dieses Verhaltens von (11) sagt uns die RTT, dass (11) weder kategorisch wahr noch kategorisch falsch ist, aber dies unterscheidet sich erheblich von einem Urteil, dass (11) weder wahr noch falsch ist.

4.6 Yaqūbs Interpretation des Formalismus

Wir stellen eine alternative Interpretation des revisionstheoretischen Formalismus fest. Yaqūb 1993 stimmt mit Gupta und Belnap überein, dass die T-Bedingungen eher definitive als materielle Bedingungen sind und dass der Begriff der Wahrheit daher zirkulär ist. Aber Yaqūb interpretiert diese Zirkularität auf unterschiedliche Weise. Er argumentiert, dass

Da die Wahrheitsbedingungen einiger Sätze einen wesentlichen, nicht reduzierbaren Bezug zur Wahrheit beinhalten, können diese Bedingungen nur in einer Welt erhalten oder scheitern, die bereits eine Erweiterung des Wahrheitsprädikats enthält. Damit der Revisionsprozess eine Erweiterung des Wahrheitsprädikats bestimmen kann, muss daher eine anfängliche Erweiterung des Prädikats gesetzt werden. Dies ergibt sich aus Zirkularität und Bivalenz. (1993, 40)

Wie Gupta und Belnap, setzt Yaqub keine privilegierte Erweiterung für T. Und wie Gupta und Belnap sieht er die Revisionssequenzen von Erweiterungen von T, wobei jede Sequenz durch eine anfängliche hypothetische Erweiterung erzeugt wird, als "fähig, die verschiedenen Arten problematischer und unproblematischer Sätze der betrachteten Sprachen aufzunehmen (und zu diagnostizieren)" (1993) 41). Im Gegensatz zu Gupta und Belnap schließt er aus diesen Überlegungen, dass „die Wahrheit in einer zweiwertigen Sprache nicht übergeordnet ist“(1993, 39). In einer Fußnote erklärt er: Damit die Wahrheit überragend ist, muss der Wahrheitsstatus jedes Satzes „vollständig durch nicht-semantische Tatsachen bestimmt“werden. Yaqūb verwendet den Begriff der Bedeutung eines Konzepts nicht explizit. Aber Yaqūb scheint der Behauptung verpflichtet zu sein, dass die Bedeutung von T - dh das, was den Wahrheitsstatus jedes Satzes bestimmt - ist durch eine bestimmte Revisionssequenz selbst gegeben. Und keine Revisionssequenz wird durch die nicht-semantischen Tatsachen bestimmt, dh nur durch das Bodenmodell: Eine Revisionssequenz wird bestenfalls durch ein Bodenmodell und eine Anfangshypothese bestimmt. ^[9]

5. Weitere Fragen

5.1 Dreiwertige Semantik

Wir haben in unserer obigen Erörterung der Überlegenheit der Bedeutung der Wahrheit nur die geringste Darstellung der dreiwertigen Semantik gegeben. Bei gegebener Wahrheitssprache L und einem Grundmodell M haben wir eine akzeptable dreiwertige Interpretation von T als Interpretation h definiert: D → {  t, f, n  }, so dass Val _{M + h} (T 'A') = Val _{M. + h} (A) für jeden Satz A von L. Im Allgemeinen wird ein Bodenmodell M gegeben, gibt es viele annehmbaren Interpretationen von T. Nehmen wir an, dass jede dieser Interpretationen tatsächlich eine wirklich akzeptable Interpretation ist. Dann verletzt die dreiwertige Semantik die Überlegenheit der Bedeutung von T..

Nehmen wir andererseits an, dass wir für jedes Grundmodell M eine privilegierte akzeptable Interpretation als die korrekte Interpretation von T isolieren können. Gupta und Belnap präsentieren eine Reihe von Überlegungen gegen die so konzipierte dreiwertige Semantik. (Siehe Gupta & Belnap 1993, Kapitel 3.) Ein Hauptargument ist, dass der zentrale Satz, dh dass es für jedes Grundmodell eine akzeptable Interpretation gibt, nur dann gilt, wenn die zugrunde liegende Sprache auf bestimmte Weise ausdrücklich verarmt ist: zum Beispiel die Der dreiwertige Ansatz schlägt fehl, wenn die Sprache einen Zusammenhang mit der folgenden Wahrheitstabelle hat:

EIN	~ A.
t	f
f	t
n	t

Der einzige Negationsoperator, den der dreiwertige Ansatz verarbeiten kann, hat die folgende Wahrheitstabelle:

EIN	¬ A.
t	f
f	t
n	t

Aber betrachten Sie den Lügner, der von sich selbst sagt, dass es "nicht" wahr ist, in diesem letzteren Sinne von "nicht". Gupta und Belnap drängen auf die Behauptung, dass dieser Satz „nicht mehr intuitiv paradox ist“(1993, 100). Der behauptete Vorteil der RTT ist ihre Fähigkeit, das Verhalten von wirklich paradoxen Sätzen zu beschreiben: Der echte Lügner ist unter semantischer Bewertung instabil: „Unabhängig davon, wie wir seinen Wert annehmen, widerlegt die semantische Bewertung unsere Hypothese.“Die dreiwertige Semantik kann nur mit dem „schwachen Lügner“umgehen, dh einem Satz, der sich nur schwach negiert, aber nicht garantiert paradox ist: „Hier gibt es Erscheinungen des Lügners, aber sie täuschen.“

5.2 Änderungen des RTT

Wir stellen drei Möglichkeiten zur Änderung des RTT fest. Erstens könnten wir Einschränkungen auferlegen, welche Hypothesen akzeptabel sind. Zum Beispiel führen Gupta und Belnap 1993 eine Theorie T ^c der Wahrheit ein, die auf konsistenten Hypothesen basiert: Eine Hypothese h ist konsistent, wenn die Menge {A: h (A) = t } eine vollständig konsistente Menge von Sätzen ist. Die relativen Vorzüge von T ^*, T ^# und T ^c werden in Gupta & Belnap 1993, Kapitel 6, diskutiert.

Zweitens könnten wir eine restriktivere Grenzwertpolitik einführen als Gupta und Belnap. Erinnern Sie sich an die in Abschnitt 3 gestellte Frage: Wie sollen wir S _η (d) setzen, wenn η eine Grenzordnungszahl ist? Wir gaben eine teilweise Antwort: Jedes Objekt, das bis zu diesem Stadium stabil wahr [falsch] ist, sollte zu diesem Zeitpunkt wahr [falsch] sein. Wir haben auch festgestellt, dass Gupta und Belnap 1993 für ein Objekt d ∈ D, das sich nicht bis zum Stadium η stabilisiert, erlauben, S _η (d) entweder als t oder f zu setzen. In einem ähnlichen Kontext weisen Herzberger 1982a und 1982b den instabilen Objekten den Wert f zu. Und Gupta schlug ursprünglich in Gupta 1982 vor, dass instabile Elemente jeden Wert erhalten, den sie bei der anfänglichen Hypothese S _{0 erhalten haben}.

Diese ersten beiden Möglichkeiten zur Änderung der RTT schränken praktisch den Begriff einer Revisionssequenz ein, indem sie Einschränkungen auferlegen, welche unserer Revisionssequenzen wirklich als akzeptable Revisionssequenzen gelten. Die Einschränkungen sind in gewissem Sinne lokal: Die erste Einschränkung wird erreicht, indem Einschränkungen festgelegt werden, welche Hypothesen verwendet werden können, und die zweite Einschränkung wird erreicht, indem Einschränkungen für das festgelegt werden, was bei Grenzwertbestimmungen geschieht. Eine dritte Option wäre, mehr globale Einschränkungen festzulegen, bei denen mutmaßliche Revisionssequenzen als akzeptabel gelten. Yaqūb 1993 schlägt tatsächlich eine Grenzregel vor, nach der akzeptable Urteile über instabile Sätze in einer Grenzstufe η von Urteilen in anderen Grenzstufen abhängen. Yaqūb argumentiert, dass diese Einschränkungen es uns ermöglichen, bestimmte „Artefakte“zu vermeiden. Angenommen, ein Bodenmodell M = <D, I>hat zwei unabhängige Lügner, indem er zwei Namen α und β hat, wobei I (α) = ¬ T α und I (β) = ¬ T β. Yaqūb argumentiert, dass es ein bloßes „Artefakt“der Revisionssemantik ist, das naiv präsentiert wird, dass es Revisionssequenzen gibt, in denen der Satz ¬ T α ≡ ¬ T β stabil wahr ist, da die beiden Lügner unabhängig sind. Seine globalen Einschränkungen wurden entwickelt, um solche Sequenzen auszuschließen. (Siehe Chapuis 1996 für weitere Diskussion.)

5.3 Revisionstheorie für zirkular definierte Konzepte

Wie in unserer Diskussion in Abschnitt 4 des 'iff' in den T-Biconditionals angegeben, präsentieren Gupta und Belnap die RTT als Sonderfall einer Revisionstheorie zirkulär definierter Konzepte. Um das Beispiel aus Abschnitt 4 noch einmal zu überdenken. Angenommen, L ist eine Sprache mit einem unären Prädikat F und einem binären Prädikat R. Betrachten Sie ein neues Konzept, das durch ein Prädikat G ausgedrückt wird, das durch eine Definition D wie folgt eingeführt wird:

Gx = _df A (x, G)

wobei A (x, G) die Formel ist

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Ein Grundmodell ist in diesem Zusammenhang ein klassisches Modell M = <D, I> der Sprache L: Wir beginnen mit einem Diskursbereich D und einer Interpretation des Prädikats F und des Beziehungssymbols R. Wir möchten M auf eine Interpretation der Sprache L + G erweitern. In diesem Zusammenhang wird eine Hypothese als hypothetische Erweiterung des neu eingeführten Konzepts G betrachtet. Formal ist eine Hypothese einfach eine Funktion h: D → { t, f }. Unter der Annahme einer Hypothese h nehmen wir M + h als das klassische Modell M + h = <D, I '>, wobei I' F und R auf die gleiche Weise wie I interpretiert und I '(G) = h. Bei einer hypothetischen Interpretation h von G erzeugen wir eine neue Interpretation von G wie folgt: und das Objekt d ∈ D befindet sich in der neuen Erweiterung von G, nur für den Fall, dass die definierende Formel A (x, G) für d im Modell M gilt + h. Formal verwenden wir das Grundmodell M und die Definition D, um eine Revisionsregel δ _{D, M} zu definieren, die Hypothesen auf Hypothesen abbildet, dh hypothetische Interpretationen von G auf hypothetische Interpretationen von G. Insbesondere können wir für jede Formel B mit einer freien Variablen x und d ∈ D den Wahrheitswert Val _{M + h, d} (B) auf die Standardweise definieren. Dann,

δD _{, M} (h) (d) = Val _{M + h, d} (A)

Wenn eine Revisionsregel δ _{D, M gegeben ist}, können wir den Begriff einer Revisionssequenz verallgemeinern, die nun eine Sequenz hypothetischer Erweiterungen von G anstelle von T ist. Wir können die Vorstellung verallgemeinern, dass ein Satz B relativ wahr, nahezu stabil usw. relativ zu einer Revisionssequenz ist. Gupta und Belnap führen die Systeme S ^* und S ^# analog zu T ^* und T ^# wie folgt ein: ^[10]

Definition 5.1.

• Ein Satz B gilt für die Definition D im Grundmodell M im System S ^* (Notation M ⊨ _{*, D} B), wenn B relativ zu jeder Revisionssequenz für die Revisionsregel δ _{D, M} stabil wahr ist.
• Ein Satz B gilt für die Definition D im Grundmodell M im System S ^# (Notation M ⊨ _{#, D} B), wenn B relativ zu jeder Revisionssequenz für die Revisionsregel δ _{D, M} nahezu stabil wahr ist.
• Ein Satz B gilt für die Definition D im System S ^* (Notation ⊨ _{*, D} B), wenn für alle klassischen Grundmodelle M M ⊨ _{*, D} B gilt.
• Ein Satz B gilt für die Definition D im System S ^# (Notation ⊨ _{#, D} B), wenn für alle klassischen Grundmodelle M M ⊨ _{#, D} B gilt.

Eine der offenen Fragen von Gupta und Belnap ist, ob es für diese Systeme einen vollständigen Kalkül gibt: Das heißt, ob für jede Definition D einer der beiden folgenden Sätze rekursiv axiomatisierbar ist: {B: ⊨ _{*, D} B} und {B: ⊨ _{#, D} B}. Kremer 1993 beweist, dass die Antwort nein ist: Er zeigt, dass es eine Definition D gibt, so dass jede dieser Sätze von Sätzen eine Komplexität von mindestens Π ¹ _{2 aufweist}, wodurch die Komplexität von S ^* und S ^# untergeordnet wird. (Antonelli 1994b und 2002 zeigen, dass dies auch eine Obergrenze ist.)

Kremers Beweis nutzt eine enge Beziehung zwischen zirkularen Definitionen, die revisionstheoretisch verstanden werden, und zirkulären Definitionen, die als induktive Definitionen verstanden werden: Die Theorie der induktiven Definitionen ist seit einiger Zeit recht gut verstanden worden. Insbesondere beweist Kremer, dass jedes induktiv definierte Konzept revisionstheoretisch definiert werden kann. Die Ausdruckskraft und andere Aspekte der revisionstheoretischen Behandlung zirkulärer Definitionen sind Gegenstand vieler interessanter Arbeiten: siehe Welch 2001, Löwe 2001, Löwe und Welch 2001 sowie Kühnberger et al. 2005.

5.5 Anwendungen

Angesichts der allgemeinen revisionstheoretischen Behandlung von zirkulären Definitionen durch Gupta und Belnap, deren Behandlung der Wahrheit ein Sonderfall ist, würde man erwarten, dass revisionstheoretische Ideen auf andere Konzepte angewendet werden. Antonelli 1994a wendet diese Ideen auf nicht fundierte Mengen an: Eine nicht fundierte Menge X kann als kreisförmig angesehen werden, da wir für einige X ₀,…, X _n X ∈ X ₀ ∈… ∈ X _{n haben} ∈ X. Und Chapuis 2003 wendet revisionstheoretische Ideen auf rationale Entscheidungen an.

5.5 Eine offene Frage

Wir schließen mit einer offenen Frage zu T ^* und T ^#. Erinnern Sie sich an die obige Definition 3.11, die definiert, wann ein Satz A einer Wahrheitssprache L im Grundmodell M durch T ^* oder durch T ^# gültig ist. Wir werden sagen, dass A durch T ^* [alternativ durch T ^#] gültig ist, wenn A im Bodenmodell M durch T ^* [alternativ durch T ^#] für jedes Bodenmodell M gültig ist. Unsere offene Frage lautet: Wie komplex ist die Menge der Sätze, die für T ^* [ T ^#] gültig sind ?

Literaturverzeichnis

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Andere Internetquellen