Die Algebra Der Logischen Tradition

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Die Algebra der logischen Tradition

Erstveröffentlichung am 2. März 2009; inhaltliche Überarbeitung Fr 1. Mai 2009

Die von Boole in seiner Mathematical Analysis of Logic (1847) eingeführte Algebra der Logik sollte eine algorithmische Alternative (über eine geringfügige Modifikation der gewöhnlichen Algebra) zum traditionellen Katalogansatz der aristotelischen Logik darstellen. Nach drei Vierteln dieses Buches begann Boole jedoch, nachdem er seine Diskussion über die aristotelische Logik beendet hatte, die allgemeinen Werkzeuge zu entwickeln, die in seinen Denkgesetzen (1854) verwendet wurden, um die aristotelische Logik erheblich zu erweitern, indem er ein Argument zuließ viele Räumlichkeiten haben und viele Klassen einbeziehen. Um die unendlich vielen möglichen logischen Argumente dieser erweiterten Logik zu behandeln, präsentierte er Theoreme, die Schlüsselwerkzeuge für eine algorithmische Analyse bereitstellten (ein Katalog war nicht mehr möglich).

Von diesem Zeitpunkt an bis zur monumentalen Principia Mathematica (1910–1913) von Whitehead und Russell (basierend auf Freges inzwischen berühmtem Werk zur Logik) waren Versionen der Algebra der Logik die primäre Form der Logik. (Die Beiträge von Frege zur Logik stammen aus der Zeit von 1879 bis 1903; zu dieser Zeit hatten sie nur sehr geringen Einfluss.) Jevons (1864) änderte Booles Teiloperation der Vereinigung disjunkter Mengen in die moderne uneingeschränkte Vereinigung und beseitigte Booles zweifelhaften Gebrauch von nicht interpretierbarem Begriffe. Peirce (1880) beseitigte die aristotelische Ableitung bestimmter Aussagen aus universellen Aussagen, indem er die moderne Semantik für „Alle A ist B“angab. Außerdem erweiterte er die Algebra der Logik für Klassen auf die Algebra der Logik für binäre Beziehungen und führte allgemeine Summen und Produkte für die Quantifizierung ein. Schröder,unter Verwendung des von Peirce entwickelten Rahmens organisierte und konkretisierte er die Errungenschaften des 19. Jahrhunderts in der Algebra der Logik in seinem dreibändigen Meisterwerk Algebra der Logik (1890–1910); Insbesondere, wie Tarski bemerkte, "wurde Peirces Arbeit auf sehr gründliche und systematische Weise fortgesetzt und erweitert …"

Whitehead und Russell lehnten den Ansatz der Algebra der Logik mit seinen aus der gewöhnlichen Algebra entlehnten Gleichungsformulierungen und Notationen zugunsten eines von Frege entwickelten Ansatzes ab (ergänzt durch die Notation von Peano), nämlich logische Verknüpfungen, Beziehungssymbole und Quantifizierer zu verwenden. Hilbert griff bald den Ansatz von Principia auf, und die Algebra der Logik geriet in Ungnade, bis Tarski 1941 zu der in Schröders Algebra der Logik dargestellten Beziehungsalgebra von Peirce zurückkehrte.

Tarskis Artikel behandelte Beziehungsalgebren als eine gleichwertig definierte Klasse - eine solche Klasse hat neben der Sammlung aller binären Beziehungen in einem bestimmten Universum, die im 19. Jahrhundert berücksichtigt wurden, viele Modelle, ebenso wie es neben den untersuchten booleschen Algebren viele boolesche Algebren gibt die 1800er Jahre. In den Jahren 1948–1952 schuf Tarski zusammen mit seinen Schülern Chin und Thompson zylindrische Algebren als algebraische Logikbegleiter der Logik erster Ordnung, und 1956 führte Halmos zu demselben Zweck polyadische Algebren ein. Wie Halmos (1956) feststellte, konzentrierten sich diese neuen algebraischen Logiken in der Regel darauf, zu untersuchen, inwieweit sie Logik erster Ordnung und ihre universellen algebraischen Aspekte wie Axiomatisierungen und Struktursätze erfassen, boten jedoch wenig Einblick in die Natur der ersten Logik. Ordnungslogik, die ihre Schöpfung inspirierte.

• 1. 1847 - Die Anfänge der modernen Versionen der Algebra der Logik
• 2. 1854-Booles letzte Präsentation seiner Algebra der Logik
• 3. Jevons: Eine Algebra der Logik basierend auf Gesamtoperationen
• 4. Peirce: Die Algebra der Logik auf Subsumtion gründen
• 5. De Morgan und Peirce: Beziehungen und Quantifizierer in der Algebra der Logik
• 6. Huntington: Axiomatische Untersuchungen der Algebra der Logik
• 7. Stein: Modelle für die Algebra der Logik
• 8. Skolem: Quantifizierereliminierung und Entscheidbarkeit
• 9. Tarski und die Wiederbelebung der algebraischen Logik

1. 1847 - Die Anfänge der modernen Versionen der Algebra der Logik

Ende 1847 veröffentlichten Boole und De Morgan jeweils ein Buch über Logik-Booles mathematische Analyse der Logik (1847) und De Morgans formale Logik (1847). De Morgans Ansatz bestand darin, jeden Aspekt der aristotelischen Logik in seine kleinsten Komponenten zu zerlegen, Möglichkeiten zur Verallgemeinerung dieser Komponenten zu prüfen und dann in einigen Fällen ein logisches System unter Verwendung dieser Komponenten aufzubauen. Leider konnte er seine besten Ideen nie in ein bedeutendes System integrieren. Sein Weglassen eines Symbols für Gleichheit machte es unmöglich, eine Gleichungsalgebra der Logik zu entwickeln. Es scheint, dass die Synthese nicht De Morgans starke Suite war.

Boole näherte sich der Logik aus einer völlig anderen Perspektive, nämlich wie man die aristotelische Logik in das Gewand der symbolischen Algebra wirft. Die Verwendung der symbolischen Algebra war ein Thema, mit dem er durch seine Arbeit in Differentialgleichungen und durch die verschiedenen Arbeiten seines jungen Freundes und Mentors Gregory vertraut war, der versuchte, andere Themen wie die Geometrie in die Sprache der symbolischen Algebra zu überführen. Da die Anwendung der symbolischen Algebra auf Differentialgleichungen durch die Einführung von Differentialoperatoren erfolgt war, muss es für Boole selbstverständlich gewesen sein, nach Operatoren zu suchen, die im Bereich der aristotelischen Logik angewendet wurden. Er kam sofort auf die Idee, Auswahloperatoren zu verwenden. Beispielsweise würde ein Auswahloperator für die Farbe Rot die roten Elemente aus einer Klasse auswählen. In seinem Buch von 1854Boole erkannte, dass es einfacher war, Auswahloperatoren wegzulassen und direkt mit Klassen zu arbeiten. (Er behielt jedoch die Auswahloperatoren bei, um seine Behauptung zu rechtfertigen, dass seine Logikgesetze letztendlich nicht auf Beobachtungen bezüglich des Sprachgebrauchs beruhten, sondern tatsächlich tief in den Prozessen des menschlichen Geistes verwurzelt waren.) Von nun an in diesem Artikel, wenn Bei der Erörterung von Booles Buch von 1847 wurden die Auswahloperatoren durch die einfachere direkte Formulierung unter Verwendung von Klassen ersetzt. Die Auswahloperatoren wurden durch die einfachere direkte Formulierung unter Verwendung von Klassen ersetzt. Die Auswahloperatoren wurden durch die einfachere direkte Formulierung unter Verwendung von Klassen ersetzt.

Da symbolische Algebra nur die syntaktische Seite der gewöhnlichen Algebra war, brauchte Boole Möglichkeiten, die üblichen Operationen und Konstanten der Algebra zu interpretieren, um seine Algebra der Logik für Klassen zu erstellen. Die Multiplikation wurde als Schnittmenge interpretiert, was zu seinem einzigen neuen Gesetz führte, dem idempotenten Gesetz XX = X für die Multiplikation. Addition wurde als Vereinigung definiert, vorausgesetzt, es handelte sich um disjunkte Klassen; und Subtraktion als Klassendifferenz, vorausgesetzt, man subtrahiert eine Unterklasse von einer Klasse. In anderen Fällen waren die Additions- und Subtraktionsoperationen einfach undefiniert oder, wie Boole schrieb, nicht interpretierbar. Die üblichen Gesetze der Arithmetik sagten Boole, dass 1 das Universum und 1 - X das Komplement von X sein muss.

Der nächste Schritt in Booles System bestand darin, die vier Arten von kategorialen Sätzen in Gleichungen zu übersetzen. Beispiel: "Alles X ist Y" wird zu X = XY, und "Einige X ist Y" wird zu V = XY, wobei V ein neues Symbol ist. Um den Mittelbegriff in einem Syllogismus zu eliminieren, borgte Boole einen Eliminationssatz aus der gewöhnlichen Algebra, der jedoch für seine Algebra der Logik zu schwach war. Dies würde in seinem Buch von 1854 behoben. Boole stellte fest, dass er mit der obigen Übersetzung bestimmter Sätze (dh solcher mit existenziellem Import) nicht immer die gewünschten Schlussfolgerungen ableiten konnte, und fügte daher die Varianten X = VY, Y = VX und VX = VY hinzu. (Siehe den Eintrag auf Boole.)

Die symbolische Algebra des 19. Jahrhunderts umfasste viel mehr als nur die Algebra der Polynome, und Boole experimentierte, um herauszufinden, welche Ergebnisse und Werkzeuge für die Algebra der Logik gelten könnten. Zum Beispiel bewies er eines seiner Ergebnisse mit einer unendlichen Serienerweiterung. Seine Faszination für die Möglichkeiten der gewöhnlichen Algebra veranlasste ihn, Fragen wie: Wie wäre Logik, wenn das idempotente Gesetz durch das Gesetz X ³ = X ersetzt würde? Seine Nachfolger, insbesondere Jevons, würden die Operationen auf Klassen bald auf diejenigen beschränken, die wir heute verwenden, nämlich Vereinigung, Schnittmenge und Ergänzung.

Wie bereits erwähnt, kündigte Boole nach Abschluss der Ableitungen der traditionellen aristotelischen Syllogismen in seinem System drei Viertel seines kurzen Buches von 1847 an, dass seine Logikalgebra weitaus allgemeinere Anwendungen ermöglichen könne. Anschließend fügte er allgemeine Theoreme zur Entwicklung (Erweiterung) von Begriffen, zur Interpretation von Gleichungen und zur Verwendung einer langen Division hinzu, um eine Klasse in einer Gleichung in Bezug auf die anderen Klassen auszudrücken (mit hinzugefügten Nebenbedingungen).

Booles Theoreme, die 1854 fertiggestellt und perfektioniert wurden, lieferten Algorithmen zur Analyse unendlich vieler Argumentationsformen. Dies war der Todesstoß für die aristotelische Logik, in der Wissenschaftler jahrhundertelang Schwierigkeiten hatten, kluge Mnemoniken zu entwickeln, um sich einen sehr kleinen Katalog gültiger Konvertierungen und Syllogismen und ihrer verschiedenen Wechselbeziehungen zu merken.

De Morgans formale Logik wurde weitgehend ignoriert, vor allem, weil es sich um eine große Sammlung kleiner Fakten ohne signifikante Synthese handelte. Booles mathematische Analyse der Logik hatte mächtige Methoden, die die Aufmerksamkeit einiger Gelehrter wie De Morgan und Cayley auf sich zogen; aber sofort gab es ernsthafte Fragen über die Funktionsweise von Booles Algebra der Logik: Wie eng war sie mit der gewöhnlichen Algebra verbunden? Wie konnte Boole die Prozeduren seiner Algebra der Logik rechtfertigen? Rückblickend scheint es ziemlich sicher zu sein, dass Boole nicht wusste, warum sein System funktionierte. Seine Behauptung nach Gregory, dass es zur Rechtfertigung der Verwendung der gewöhnlichen Algebra ausreichte, das Kommutativgesetz XY = YX auf Multiplikation und das Verteilungsgesetz X (Y + Z) = XY + XZ zu überprüfen, ist eindeutig falsch. Es ist jedoch auch wahrscheinlich, dass er seine Ergebnisse in ausreichend vielen Fällen überprüft hatte, um seine Überzeugung, dass sein System korrekt war, zu untermauern.

2. 1854 - Booles letzte Präsentation seiner Algebra der Logik

In seinem zweiten Buch, The Laws of Thought, erweiterte Boole zunächst die Gesetze seiner Logikalgebra von 1847 (ohne ausdrücklich zu sagen, dass seine vorherige Liste von drei Axiomen unzureichend war) und machte einige Kommentare zur Inferenzregel (indem er dasselbe durchführte) Operation auf beiden Seiten einer Gleichung). Aber dann erklärte er beiläufig, dass die Grundlage seines Systems tatsächlich auf einem einzigen (neuen) Prinzip beruhte, nämlich dass es ausreichte, ein Argument zu überprüfen, indem geprüft wurde, ob es richtig war, wenn die Klassensymbole nur die Werte 0 und 1 annahmen, und das Operationen waren die üblichen arithmetischen Operationen. Nennen wir diese Boole-Regel 0 und 1. Es wurde keine aussagekräftige Begründung für die Übernahme dieser neuen Stiftung durch Boole gegeben, es wurde kein besonderer Name vergeben, und die spärlichen Verweise darauf im Rest des Buches wurden normalerweise eher ungeschickt angegeben.

Die Entwicklung der Algebra der Logik in den Gesetzen des Denkens verlief ähnlich wie in seinem Buch von 1847, mit geringfügigen Änderungen an seinem Übersetzungsschema und wobei die Auswahloperatoren durch Klassen ersetzt wurden. Es gibt einen neuen und sehr wichtigen Satz (der den Satz korrigiert, den er 1847 verwendet hatte), den Eliminierungssatz, der Folgendes besagt: gegeben eine Gleichung F (x, y, z,…) = 0 in den Klassensymbolen x, y, z usw. wird die allgemeinste Schlussfolgerung, die sich aus der Eliminierung bestimmter Klassensymbole ergibt, erhalten, indem (1) 0s und 1s in F (x, y, z, …) eingesetzt werden, damit die zu eliminierenden Symbole möglichst eliminiert werden Wege, dann (2) Multiplizieren dieser verschiedenen Substitutionsinstanzen miteinander und Setzen des Produkts gleich 0. Somit eliminiert das Eliminieren von y und z aus F (x, y, z) = 0 F (x, 0, 0) F (x, 0, 1) F (x, 1, 0) F (x, 1, 1) = 0.

Ansonsten erscheint die Behandlung von 1854 aus Sicht der Algebra der Logik manchmal weniger elegant als die des Buches von 1847, gibt jedoch einen viel umfassenderen Einblick darüber, wie Boole über die Grundlagen seiner Algebra der Logik denkt. Das letzte Kapitel über Logik, Kapitel XV, war ein Versuch, einen einheitlichen Beweis für die aristotelischen Konversionen und Syllogismen zu liefern. (Es ist merkwürdig, dass Boole vor Kapitel XV keine Beispiele für Argumente vorgelegt hat, die bestimmte Sätze betreffen.) Die Details von Kapitel XV sind ziemlich kompliziert, hauptsächlich wegen der Zunahme der Größe von Ausdrücken, wenn die Eliminierungs- und Entwicklungssätze angewendet werden. Boole überließ den größten Teil der Arbeit einfach dem Leser. Spätere Kommentatoren würden dieses Kapitel beschönigen, und niemand scheint seine Details durchgearbeitet zu haben.

Abgesehen von der Regel von 0 und 1 und dem Eliminierungssatz ist die Darstellung von 1854 hauptsächlich für Booles Versuche interessant, seine Algebra der Logik zu rechtfertigen. Er argumentierte, dass es in der symbolischen Algebra durchaus akzeptabel sei, Gleichungsabzüge mit Teiloperationen durchzuführen, genau wie bei Gesamtoperationen, solange die Begriffe in den Prämissen und die Schlussfolgerung interpretierbar seien. Er sagte, dies sei die Art und Weise, wie gewöhnliche Algebra mit dem nicht interpretierbaren √ - 1, der Quadratwurzel von −1, arbeitet. (Die geometrische Interpretation komplexer Zahlen wurde von Wessel, Argand und Gauss schon früh erkannt, aber erst mit den Veröffentlichungen von Gauss und Hamilton in den 1830er Jahren wurden Zweifel an der Akzeptanz komplexer Zahlen in der größeren mathematischen Gemeinschaft überwunden ist neugierig, dass Boole 1854 √ - 1 als nicht interpretierbar ansah.)

Es gab eine Reihe von Bedenken hinsichtlich Booles Herangehensweise an die Algebra der Logik:

1. Gab es eine sinnvolle Verbindung zwischen seiner Algebra der Logik und der Algebra der Zahlen, oder war es nur ein Zufall, dass sie sich so ähnlich waren?
2. Könnte man bestimmte Sätze in einer algebraischen Logik behandeln, die sich auf Gleichungen konzentriert?
3. War es wirklich akzeptabel, mit nicht interpretierbaren Begriffen in Gleichungsableitungen zu arbeiten?
4. Verwendete Boole die aristotelische Semantik (wo Klassensymbole nicht leer waren)?

3. Jevons: Eine Algebra der Logik basierend auf Gesamtoperationen

Jevons, der bei De Morgan studiert hatte, bot als erster eine Alternative zu Booles System an. 1863 schrieb er an Boole, dass Booles Additionsoperation sicherlich durch das natürlichere "inklusive" oder "(oder" Vereinigung ") ersetzt werden sollte, was zum Gesetz X + X = X führt. Boole lehnte diesen Vorschlag vollständig ab (er hätte sein auf gewöhnlicher Algebra basierendes System zerstört) und brach die Korrespondenz ab. Jevons veröffentlichte sein System in seinem 1864 erschienenen Buch Pure Logic. Mit "rein" meinte er, dass er jegliche Abhängigkeit von der Algebra der Zahlen ablegte - anstelle von Klassen, die mit Quantität assoziiert sind, würde er Prädikate verwenden, die mit Qualität assoziiert sind, und seine Gesetze würden direkt von (abgeleitet) total) grundlegende Operationen der Inklusiv-Disjunktion und Konjunktion. Aber er hat Boole behaltens Verwendung von Gleichungen als Grundform von Aussagen in seiner Algebra der Logik.

Durch die Übernahme von De Morgans Konvention, Groß- / Kleinbuchstaben als Ergänzung zu verwenden, war Jevons System nicht geeignet, Gleichungsaxiome für die moderne Boolesche Algebra bereitzustellen. Er verfeinerte jedoch sein System von Axiomen und Inferenzregeln, bis das Ergebnis im Wesentlichen das moderne System der Booleschen Algebra für Grundbegriffe war, dh Begriffe, bei denen die Klassensymbole als Konstanten und nicht als Variablen zu betrachten sind.

Anmerkung: Die moderne Gleichungslogik befasst sich mit universell quantifizierten Gleichungen (die im 19. Jahrhundert als Gesetze bezeichnet worden wären). In der Algebra der Logik des 19. Jahrhunderts könnte man „Alles X ist Y“als Gleichung X = XY übersetzen. Dies ist nicht als universell quantifizierter Ausdruck (∀ X) (∀ Y) (X = XY) anzusehen. X und Y sind als Konstanten zu behandeln. Begriffe, die nur Konstanten (keine Variablen) haben, werden als Grundbegriffe bezeichnet.

Durch die Durchführung dieser Analyse in der speziellen Umgebung einer Algebra von Prädikaten (oder äquivalent in einer Algebra von Klassen) spielte Jevons eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der modernen Gleichungslogik. Wie bereits erwähnt, gab Boole unzureichende Sätze von Gleichungsaxiomen für sein System an, ursprünglich beginnend mit den beiden Gesetzen, die Gregory und seinem idempotenten Gesetz geschuldet waren. Diese wurden von De Morgans Folgerungsregel begleitet, dass man dieselbe Operation (Booles grundlegende Operationen in seiner Algebra der Logik waren Addition, Subtraktion und Multiplikation) auf Gleichem ausführen und Gleiches erhalten könnte. Boole wechselte dann zu der mysteriösen (niemand wusste, warum es funktionieren sollte!), Einfachen und mächtigen Regel von 0 und 1.

Nachdem Jevons Booles grundlegende Operationen durch Gesamtoperationen ersetzt hatte, arbeitete er über einen Zeitraum von vielen Jahren an den Axiomen und Regeln für sein System. Einige Elemente der Gleichungslogik, die wir jetzt für selbstverständlich halten, brauchten eine beträchtliche Anzahl von Jahren, bis Jevons sie gelöst hatte:

Das Reflexionsgesetz (A = A). 1864 führte Jevons dies als Postulat auf (S. 11), und in § 24 bezeichnete er A = A als „nutzlosen identischen Satz“. In seiner Arbeit über Substitution von 1869 wurde es zum „Gesetz der Identität“. In den Principles of Science (1874) war es eines der drei „Grundgesetze des Denkens“.

Das symmetrische Gesetz (B = A folgt aus A = B). 1864 schrieb Jevons: "A = B und B = A sind die gleiche Aussage." Dies ist eine Position, die er beibehalten würde. 1874 schrieb er: "Ich werde die beiden Formen A = B und B = A betrachten, um genau dieselbe Identität auszudrücken, die unterschiedlich geschrieben ist."

Für eine endgültige Form seiner Algebra der Logik wenden wir uns den Gesetzen zu, die er in Principles of Science (1874) auf 40 Seiten verteilt hatte, nachdem er seine frühere Verwendung von + durch · | · ersetzt hatte, um sich offensichtlich weiter von jeglichem Auftreten von zu entfernen eine Verbindung mit der Algebra der Zahlen:

Kombinationsgesetze

A = AA = AAA = & c.	Gesetz der Einfachheit (S. 33)
AB = BA	Ein Gesetz der Kommutativität (S. 35)
A · | · A = A.	Gesetz der Einheit (S. 72)
A · | · B = B · | · A.	Ein Gesetz der Kommutativität (S. 72)
A (B · | · C) = AB · | · AC	(kein Name angegeben) (S. 76)

Gesetze des Denkens

A = A.	Gesetz der Identität (S. 74)
A a = o	Gesetz des Widerspruchs (S. 74)
A = AB · | · A b	Gesetz der Dualität (S. 74)

Für seine einzige Inferenzregel wählte Jevons sein Substitutionsprinzip - in modernen Begriffen war dies im Wesentlichen eine Kombination aus Bodenersatz und Transitivität. Er zeigte, wie man daraus die Transitivität der Gleichheit ableiten kann; er hätte auch Symmetrie ableiten können, tat es aber nicht. Das assoziative Gesetz fehlte - es war implizit im Fehlen von Klammern in seinen Ausdrücken enthalten.

Nur in seinen Studien zur deduktiven Logik (1880) erwähnte Jevons McColls Verwendung eines Akzents als Hinweis auf Negation. Nachdem er bemerkt hatte, dass McColls Akzent es einem ermöglichte, die Negation komplexer Begriffe in Klammern zu akzeptieren, fuhr er fort, dass er die Notation von De Morgan, die Notation, die er immer verwendet hatte, größtenteils als eleganter empfand.

4. Peirce: Die Algebra der Logik auf Subsumtion gründen

Peirce begann seine Forschungen zur Algebra der Logik in den späten 1860er Jahren und kam unabhängig zu dem Schluss, dass Jevons früher zu dem Schluss gekommen war, dass man Booles Teiloperation der Addition durch die Gesamtoperation der Vereinigung ersetzen musste. In seiner wichtigen Arbeit von 1880 „Über die Algebra der Logik“brach Peirce leise mit der aristotelischen Semantik von Klassen und führte die moderne Semantik ein, die es einem Klassensymbol ermöglichte, leer zu sein (und auch das Universum zu sein), und gab die Wahrheitswerte an der kategorialen Sätze, die wir heute verwenden. Zum Beispiel sagte er, dass der Satz "Alles A ist B" wahr ist, wenn A und B beide die leere Klasse sind. Die Umwandlung durch Einschränkung, dh das Argument "Alle A ist B", daher "Einige B ist A", war keine gültige Folgerung mehr. Peirce sagte nichts über die Gründe und Verdienste seiner Abkehr von der aristotelischen Semantik.

Peirce brach auch mit Booles und Jevons 'Verwendung der Gleichheit als grundlegendem Grundelement, indem er stattdessen "Subsumtion", dh die Unterklassenbeziehung, verwendete. Er gab die Teilordnungseigenschaften der Subsumtion an und definierte dann die Operationen von + und × als kleinste Obergrenze und größte Untergrenze - er nahm implizit an, dass solche Grenzen existieren - und listete die wichtigsten Gleichungseigenschaften der Algebren mit zwei binären Operationen auf, die wir Rufen Sie jetzt Gitter auf. Dann behauptete er, dass das Verteilungsgesetz folgte, sagte aber, der Beweis sei zu langwierig, um ihn aufzunehmen.

Ernst Schröder forderte Peirce auf, einen Beweis für das Verteilungsgesetz vorzulegen. Peirce (1885) gab zu, dass er keinen Beweis liefern konnte. Jahre später beschrieb Huntington (1904, S. 300–301) einen Teil des Inhalts eines Briefes vom Dezember 1903, den er von Peirce erhalten hatte und der behauptete, den fehlenden Beweis zu liefern. Offensichtlich war Peirce nach dem Tod von über die langen verlorenen Seiten gestolpert Schröder im Jahr 1902. Peirce erklärte Huntington, dass er ursprünglich angenommen hatte, Schröders Herausforderung sei begründet, und dass dieser offensichtliche Mangel seines Papiers „aufgrund der Grippe, mit der dieses Papier im Überfluss vorhanden ist, in die Liste der Fehler aufgenommen werden sollte,… Tatsächlich hat Peirces Beweis den Fehler nicht korrigiert, da das Verteilungsgesetz im Allgemeinen nicht in Gittern gilt;stattdessen brachte sein Beweis die Operation der Komplementation ein - er benutzte das Axiom "wenn a nicht im Komplement von b enthalten ist, dann haben a und b eine gemeinsame Untergrenze".

Inspiriert von Peirces Werk schrieb Schröder Ende des 19. Jahrhunderts ein enzyklopädisches dreibändiges Werk namens Algebra der Logik (1890–1910), das auf dem Subsumtionsrahmen mit der modernen Klassensemantik von Peirce aufbaut. Der erste Band befasste sich mit der Gleichungslogik von Klassen, wobei das Hauptergebnis Booles Eliminierungssatz von 1854 war. Drei ziemlich komplizierte Gegenbeispiele zu Peirces Behauptung der Verteilbarkeit erschienen in einem Anhang zu Band 3. Ich, von denen eine neunhundertneunzig Identitäten für Quasigruppen beinhaltete. Dieser Band wiederum inspirierte Dedekind (1897), eine elegante moderne abstrakte Darstellung von Gittern (die er Dualgruppen nannte) zu komponieren; In diesem Artikel präsentierte er ein Gegenelement mit fünf Elementen zu Peirces Behauptung des Verteilungsgesetzes.

Band II erweitert die Algebra der Logik für in Band I entwickelte Klassen, sodass existenzielle Anweisungen verarbeitet werden können. Erstens hat Schröder mit moderner Semantik bewiesen, dass man keine Gleichungen verwenden kann, um „Einige X ist Y“auszudrücken. Er bemerkte jedoch, dass man es leicht mit einer negierten Gleichung ausdrücken kann, nämlich XY ≠ 0. Band II, eine Untersuchung der Klassenrechnung unter Verwendung von Gleichungen und negierten Gleichungen, versuchte, dieselben Themen zu behandeln, die in Band 3 behandelt wurden. Insbesondere ich habe erhebliche Anstrengungen unternommen, um einen Eliminierungssatz zu finden. Nach der Behandlung mehrerer Sonderfälle empfahl Schröder dieses Thema als wichtiges Forschungsgebiet - die Suche nach einem Eliminierungssatz würde als Eliminierungsproblem bezeichnet.

5. De Morgan und Peirce: Beziehungen und Quantifizierer in der Algebra der Logik

De Morgan schrieb in den Jahren 1846 bis 1863 eine Reihe von sechs Veröffentlichungen mit dem Titel „Über den Syllogismus“. In seinen Bemühungen, den Syllogismus zu verallgemeinern, ersetzte De Morgan (1850) die Kopula „ist“durch eine allgemeine binäre Beziehung in der zweiten Veröffentlichung von die Serie. Indem er unterschiedliche binäre Beziehungen in den beiden Prämissen eines Syllogismus zuließ, wurde er veranlasst, die Zusammensetzung der beiden binären Beziehungen einzuführen, um die Schlussfolgerung des Syllogismus auszudrücken. In diesem Streben nach verallgemeinerten Syllogismen führte er verschiedene andere Operationen zu binären Beziehungen ein, einschließlich der umgekehrten Operation, und entwickelte ein Fragment eines Kalküls für diese Operationen. Sein Hauptpapier zu diesem Thema war das vierte (1860) in der Reihe mit dem Titel „Über den Syllogismus Nr. IV und über die Logik der Beziehungen“.

Inspiriert von De Morgans Papier von 1860 hob Peirce (1870) Booles Arbeit auf die Einstellung binärer Beziehungen auf - mit binären Beziehungen, die man neben Vereinigung, Schnittmenge und Ergänzung auch die natürlichen Operationen von Komposition und Konversation hatte. Wie De Morgan berücksichtigte Peirce auch eine Reihe anderer natürlicher Operationen in Bezug auf Beziehungen. Peirces Hauptartikel zu diesem Thema war "Über die Algebra der Logik" (1880). Durch die Verwendung von uneingeschränkten Gewerkschaften, die mit Σ bezeichnet sind, und uneingeschränkten Schnittpunkten, die mit Π bezeichnet sind, führte Peirce Quantifizierer in seine Algebra der Logik ein. De Morgan wird die Einführung des Beziehungskonzepts zugeschrieben, aber Peirce gilt als der wahre Schöpfer der Beziehungstheorie.

Schröder untersuchte die Algebra der Logik für binäre Beziehungen in Vol. III seiner Algebra der Logik. Ein Punkt, der ihn besonders faszinierte, war folgender: Wenn in dieser Algebra eine Gleichung E (x, y, z,…) = 0 gegeben ist, finden Sie die allgemeine Lösung für eines der Beziehungssymbole, beispielsweise für x, in Bezug auf die andere Beziehung Symbole. Er schaffte es bei einer bestimmten Lösung x = x ₀, um einen bemerkenswerten Term S (t, y, z,…) mit den folgenden Eigenschaften zu finden: (1) x = S (t, y, z,…) ergibt eine Lösung für E = 0 für jede Wahl der Beziehung t, und (2) jede Lösung x von E = 0 kann auf diese Weise erhalten werden, indem ein geeignetes t gewählt wird. Peirce war nicht beeindruckt von Schröders Beschäftigung mit dem Problem der Gleichungslösung und wies darauf hin, dass Schröders parametrische Lösung ein Scherz war - die Ausdruckskraft der Algebra der Logik für Beziehungen war so stark, dass durch die Bewertung des Ausdrucks S (t, y, z,…) man führte im wesentlichen die Schritte aus, um zu prüfen, ob E (t, y, z,…) = 0 ist; Wenn die Antwort ja wäre, würde S (t, y, z,…) den Wert t zurückgeben, andernfalls würde es den Wert x _{0 zurückgeben}.

6. Huntington: Axiomatische Untersuchungen der Algebra der Logik

Hilberts Darstellung der euklidischen Geometrie als axiomatisches Subjekt von 1899 (deren Beweise nicht von Zeichnungen abhingen) führte zu einer Welle des Interesses an der Untersuchung von Axiomensystemen in der Mathematik; insbesondere wollte man wissen, ob die Axiome unabhängig waren und welche Primitiven zu den elegantesten Systemen führten. Huntington war einer der ersten, der dieses Problem für die Algebra der Logik untersuchte. In seiner Arbeit von 1904 gab er drei Axiomatisierungen der Algebra der Logik an, zeigte, dass jeder Satz von Axiomen unabhängig war und dass sie äquivalent waren. 1933 kehrte er mit drei neuen Axiomensätzen zu diesem Thema zurück, von denen einer das folgende Drei-Gleichungssystem war:

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

(a '+ b') '+ (a' + b) '= a.

Kurz darauf vermutete Herbert Robbins, dass die dritte Gleichung durch die etwas einfachere ersetzt werden könnte

[(a + b) '+ (a + b') ']' = a.

Weder Huntington noch Robbins konnten dies beweisen, und später widerstand es den Bemühungen vieler anderer, einschließlich sogar Tarski und seiner talentierten Schule in Berkeley. Aufbauend auf den Teilergebnissen von Winker fand der von William McCune vom Argonne National Laboratory entworfene automatisierte Theorembeweiser EQP 1996 einen Beweis für die Robbins-Vermutung. Diese Leistung wurde im Neuen als „Computer Math Proof Shows Reasoning Power“geschrieben York Times, 10. Dezember 1996, von Gina Kolata.

Nach Huntington (1933) wurde der Begriff „Boolesche Algebra“von Sheffer (1913) in der Arbeit eingeführt, in der er zeigte, dass man eine Axiomatisierung der Booleschen Algebra mit fünf Gleichungen unter Verwendung der einzigen grundlegenden Operation des gemeinsamen Ausschlusses geben kann, die jetzt als bekannt ist der Sheffer-Schlaganfall. Whitehead und Russell behaupteten im Vorwort zur zweiten Ausgabe von Principia, dies sei der größte logische Fortschritt seit der Veröffentlichung von Principia. (Hilbert und Ackermann (1928) stellten dagegen fest, dass der Sheffer-Schlaganfall nur eine Kuriosität war.) Keiner von beiden erkannte, dass Schröder Jahrzehnte zuvor entdeckt hatte, dass das Dual des Sheffer-Schlaganfalls auch eine solche Operation war - Schröders Symbol für seine Operation war das eines zweischneidigen Schwertes.

In den 1930er Jahren stellte Garrett Birkhoff die grundlegenden Ergebnisse der Gleichungslogik fest, nämlich (1) Gleichungsklassen von Algebren sind genau die Klassen, die unter Homomorphismen, Subalgebren und direkten Produkten geschlossen sind, und (2) Gleichungslogik basiert auf fünf Regeln: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität, Ersatz und Substitution. In den 1940er Jahren beteiligte sich Tarski an dieser Entwicklung der Gleichungslogik; Das Thema entwickelte sich von den 1950er Jahren bis heute rasant.

7. Stein: Modelle für die Algebra der Logik

Die aristotelische Logik untersuchte bestimmte einfache Beziehungen zwischen Klassen, nämlich eine Unterklasse von und eine nicht leere Überschneidung mit. Sobald man jedoch einen axiomatischen Ansatz gewählt hatte, tauchte das Thema möglicher Modelle neben den offensichtlichen auf. Beltrami führte Ende der 1860er Jahre Modelle nichteuklidischer Geometrie ein. In den 1890er Jahren konstruierten Schröder und Dedekind Modelle der Axiome der Gittertheorie, um zu zeigen, dass das Verteilungsgesetz nicht folgte. Bei der Algebra der Klassen berücksichtigte Schröder jedoch nur die Standardmodelle, nämlich jeweils die Sammlung aller Unterklassen einer bestimmten Klasse.

Die Untersuchung allgemeiner Modelle der Axiome der Booleschen Algebra begann erst Ende der 1920er Jahre; es wurde bald in der Arbeit von Stone (1936, 1937) auf ein sehr hohes Niveau gebracht. Er interessierte sich für die Struktur von Ringen linearer Operatoren und erkannte, dass die zentralen Idempotenten, dh die Operatoren E, die mit allen anderen Operatoren im Ring unter Multiplikation pendelten (dh EL = LE für alle L im Ring) und die unter Multiplikation idempotent waren (EE = E), spielten eine wichtige Rolle. Auf natürliche Weise bildeten die zentralen Idempotenten eine Boolesche Algebra.

Die Verfolgung dieser Forschungsrichtung veranlasste Stone, nach der Struktur einer beliebigen Booleschen Algebra zu fragen. Diese Frage beantwortete er, indem er bewies, dass jede Boolesche Algebra isomorph zu einer Booleschen Algebra von Mengen ist. In seiner Arbeit über Boolesche Algebren bemerkte er eine gewisse Analogie zwischen Kerneln von Homomorphismen und den in der Ringtheorie untersuchten Idealen - dies veranlasste ihn, solchen Körnern den Namen „Ideal“zu geben. Nicht lange danach entdeckte er eine Übersetzung zwischen Booleschen Algebren und Booleschen Ringen; unter dieser Übersetzung entsprachen die Ideale einer Booleschen Algebra genau den Idealen des zugehörigen Booleschen Rings. Sein nächster wichtiger Beitrag bestand darin, eine Entsprechung zwischen Booleschen Algebren und bestimmten topologischen Räumen herzustellen, die jetzt als Boolesche Räume (oder Steinräume) bezeichnet werden. Diese Entsprechung würde sich später als wertvolles Werkzeug bei der Konstruktion exotischer Boolescher Algebren erweisen. Diese Ergebnisse von Stone sind immer noch ein Paradigma für Entwicklungen in der Algebra der Logik.

Inspiriert von der eher kurzen Behandlung von Aussagen erster Ordnung über Beziehungen in Vol. III der Algebra der Logik, Löwenheim (1915), zeigte, dass eine solche Aussage, wenn sie in einem unendlichen Bereich erfüllt werden kann, in einem denumerierbaren Bereich erfüllt werden kann. Skolem (1920) vereinfachte Löwenheims Beweis durch die Einführung von Skolem-Normalformen, und 1928 ersetzte Skolem seine Verwendung von Normalformen durch eine einfachere Idee, nämlich die sogenannten Skolem-Funktionen zu verwenden. Er benutzte diese Funktionen, um Sätze erster Ordnung in universelle Sätze umzuwandeln, dh in Sätze in Prenex-Form, wobei alle Quantifizierer universell sind (∀).

8. Skolem: Quantifizierereliminierung und Entscheidbarkeit

Skolem war stark von Schröders Algebra der Logik beeinflusst, beginnend mit seiner Doktorarbeit. Später interessierte er sich besonders für die Suche nach einem Eliminationssatz in der Klassenrechnung. In seiner Arbeit von 1919 stellte er einige Ergebnisse für Gitter fest, insbesondere zeigte er, dass man über die Gültigkeit universeller Hornsätze entscheiden kann (d. H. Universelle Sätze mit einer Matrix, die eine Disjunktion von negierten und nicht negierten Atomen ist, mit höchstens einem positives Atom) durch ein Verfahren, das wir jetzt als polynomiellen Zeitalgorithmus erkennen. Dieser Algorithmus basierte darauf, einen am wenigsten festen Punkt eines endlichen Teilgitters unter Produktionsregeln zu finden, die aus universellen Hornsätzen abgeleitet wurden. Obwohl dieses Ergebnis, das dem einheitlichen Wortproblem für Gitter entspricht, in derselben Veröffentlichung enthalten war wie Skolems berühmter Beitrag zu Löwenheim 's Satz, es wurde bis zu einer zufälligen Wiederentdeckung in den frühen 1990er Jahren vergessen. (Whitman (1941) gab eine andere Lösung für das begrenzte Problem der Gleichungsentscheidung für Gitter; es wurde allgemein als Lösung für das Wortproblem in Gittern bekannt.)

Skolem (1920) gab eine elegante Lösung für das von Schröder für die Klassenrechnung aufgeworfene Eliminierungsproblem, indem er zeigte, dass es gab, wenn man Prädikate hinzufügte, um „mindestens n Elemente“für jedes n = 1, 2,… auszudrücken, dann gab es Ein einfaches (aber oft langwieriges) Verfahren, um eine Formel erster Ordnung über Klassen in eine quantifiziererfreie Formel umzuwandeln. Dies zeigte insbesondere, dass die Theorie erster Ordnung der Klassenrechnung entscheidbar war. Dieses Ergebnis der Quantifizierereliminierung wurde von Mostowski (1952) verwendet, um Eigenschaften erster Ordnung direkter Potenzen und direkter Summen einzelner Strukturen zu analysieren, und dann von Feferman und Vaught (1959), um dasselbe für allgemeine direkte Summen und direkte Produkte von Strukturen zu tun.

Die Eliminierung von Quantifizierern wurde zu einer Hauptmethode in der mathematischen Logik, um die Entscheidbarkeit zu beweisen, und der Nachweis der Entscheidbarkeit wurde in Hilbert und Ackermann (1928) als Hauptproblem der mathematischen Logik angegeben. Dieses Ziel wurde in nachfolgenden Ausgaben wegen des berühmten Unentscheidbarkeitsergebnisses der Kirche fallen gelassen und Turing.

9. Tarski und die Wiederbelebung der algebraischen Logik

Tarski hat die Algebra der Beziehungen in seiner Arbeit „Über die Berechnung der Beziehungen“von 1941 wiederbelebt. Zuerst skizzierte er eine formale Logik, die darauf basiert, sowohl Elemente als auch Beziehungen zu quantifizieren, und wandte sich dann einer detaillierteren Untersuchung der quantifiziererfreien Formeln dieses Systems zu, die nur Beziehungsvariablen umfassten. Nachdem er eine Liste von Axiomen vorgelegt hatte, die offensichtlich in der Algebra der Beziehungen enthalten waren, wie sie in Schröders drittem Band dargestellt wurde, bewies er, dass diese Axiome es ermöglichten, quantifiziererfreie Beziehungsformeln auf Gleichungen zu reduzieren. So wurde sein Beziehungskalkül zum Studium einer bestimmten Gleichungstheorie, von der er feststellte, dass sie dieselbe Beziehung zum Studium aller binären Beziehungen auf Mengen hatte wie die Gleichungstheorie der Booleschen Algebra zum Studium aller Teilmengen von Mengen. Dies führte zu Fragen, die denen entsprechen, die bereits für Boolesche Algebren gestellt und gelöst wurden. War beispielsweise jedes Modell seiner Axiome für Beziehungsalgebren isomorph zu einer Algebra von Beziehungen auf einer Menge? Eine Frage war von Korselt beantwortet worden, nämlich, dass es in der Theorie der binären Beziehungen Sätze erster Ordnung gab, die nicht einer Gleichung in der Beziehungsrechnung entsprachen - daher hatte die Beziehungsrechnung definitiv eine schwächere Ausdruckskraft als die erste Ordnung Theorie der Beziehungen. Tatsächlich entspricht die Ausdruckskraft der Beziehungsalgebra genau der Logik erster Ordnung mit nur drei Variablen. Wenn man jedoch in Beziehungsalgebren (dem Beziehungskalkül) eine Mengenlehre formalisieren möchte, die so etwas wie das Paaraxiom hat, kann man viele Variablen auf drei Variablen reduzieren,und so ist es möglich, jede Aussage erster Ordnung einer solchen Theorie durch eine Gleichung auszudrücken. Monk (1964) hat bewiesen, dass es im Gegensatz zur Klassenrechnung keine endliche Gleichungsgrundlage für die Berechnung binärer Beziehungen gibt. Tarski und Givant (1987) zeigten, dass die Gleichungslogik von Beziehungsalgebren so ausdrucksstark ist, dass man darin eine Mengenlehre erster Ordnung durchführen kann.

Zylindrische Algebren, im Wesentlichen boolesche Algebren, die mit unären zylindrischen Operationen C _{x ausgestattet} sind und die existenziellen Quantifizierer (∃ x) erfassen sollen, wurden in den Jahren 1948–1952 von Tarski in Zusammenarbeit mit seinen Schülern Louise Chin und Frederick Thompson eingeführt (siehe Henkin, Tarski (1961)), um eine Algebra der Logik zu schaffen, die die Ausdruckskraft der Theorie der binären Beziehungen erster Ordnung erfasst. Die polyadische Algebra ist ein weiterer Ansatz für eine Algebra der Logik für Logik erster Ordnung - sie wurde von Halmos (1956) entwickelt. Der Schwerpunkt der Arbeit in diesen Systemen lag erneut darauf, inwieweit man die berühmten Ergebnisse von Stone for Boolean Algebra aus den 1930er Jahren vergleichen kann.

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Andere Internetquellen

• Algebraische Logikgruppe, Alfred Reyni Institut für Mathematik, Ungarische Akademie der Wissenschaften
• George Boole, William Jevons, Charles Peirce und Augustus De Morgan im MacTutor-Archiv für Geschichte der Mathematik

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