Archytas

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Archytas

Erstveröffentlichung Do 26. Juni 2003; inhaltliche Überarbeitung Mi 25.07.2007

Archytas von Tarentum war ein griechischer Mathematiker, politischer Führer und Philosoph, der in der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts v. Chr. (Dh zu Platons Lebzeiten) tätig war. Er war die letzte prominente Figur in der frühen pythagoreischen Tradition und die dominierende politische Figur in Tarentum, die sieben Mal hintereinander zum General gewählt wurde. Er sandte 361 ein Schiff, um Platon aus den Klauen des Tyrannen von Syrakus, Dionysius II., Zu retten, aber seine persönlichen und philosophischen Verbindungen zu Platon sind komplex und es gibt viele Anzeichen von Meinungsverschiedenheiten zwischen den beiden Philosophen. Eine große Anzahl von Werken wurde im Namen von Archytas ab dem ersten Jahrhundert vor Christus gefälscht, und nur vier Fragmente seines echten Werks sind erhalten, obwohl diese durch eine Reihe wichtiger Zeugnisse ergänzt werden. Archytas war der erste, der eines der berühmtesten mathematischen Probleme der Antike löste, die Vervielfältigung des Würfels. Wir haben auch seinen Beweis, dass Verhältnisse der Form (n + 1): n, die in der Musiktheorie wichtig sind, nicht durch einen mittleren Proportionalwert geteilt werden können. Er war der raffinierteste der pythagoreischen Harmonischen Theoretiker und lieferte mathematische Berichte über musikalische Skalen, die von den praktizierenden Musikern seiner Zeit verwendet wurden. Er war der erste, der die Gruppe der vier kanonischen Wissenschaften (Logistik [Arithmetik], Geometrie, Astronomie und Musik) identifizierte, die im Mittelalter als Quadrivium bekannt wurde. Es gibt auch Hinweise darauf, dass er zur Entwicklung der Wissenschaft der Optik beigetragen und die mathematischen Grundlagen für die Wissenschaft der Mechanik gelegt hat. Er sah das ultimative Ziel der Wissenschaften als die Beschreibung einzelner Dinge in der Welt in Bezug auf Verhältnis und Proportionen und betrachtete dementsprechend die Logistik, die Wissenschaft von Zahl und Proportionen, als die Meisterwissenschaft. Rationale Berechnung und ein Verständnis der Proportionen waren auch die Grundlagen des gerechten Zustands und des guten Lebens eines Individuums. Er gab Definitionen von Dingen, die sowohl ihre Materie als auch ihre Form berücksichtigten. Obwohl wir wenig Informationen über seine Kosmologie haben, entwickelte er das berühmteste Argument für die Unendlichkeit des Universums in der Antike. Rationale Berechnungen und ein Verständnis der Proportionen waren auch die Grundlagen des gerechten Zustands und des guten Lebens eines Individuums. Er gab Definitionen von Dingen, die sowohl ihre Materie als auch ihre Form berücksichtigten. Obwohl wir wenig Informationen über seine Kosmologie haben, entwickelte er das berühmteste Argument für die Unendlichkeit des Universums in der Antike. Rationale Berechnungen und ein Verständnis der Proportionen waren auch die Grundlagen des gerechten Zustands und des guten Lebens eines Individuums. Er gab Definitionen von Dingen, die sowohl ihre Materie als auch ihre Form berücksichtigten. Obwohl wir wenig Informationen über seine Kosmologie haben, entwickelte er das berühmteste Argument für die Unendlichkeit des Universums in der Antike.

• 1. Leben und Werk

  • 1.1 Familie, Lehrer und Schüler; Datum
  • 1.2 Quellen
  • 1.3 Archytas und Tarentum
  • 1.4 Archytas und Platon
  • 1.5 Die Authentizitätsfrage
  • 1.6 Falsche Werke, die Archytas zugeschrieben werden
  • 1.7 Echte Werke und Zeugnisse

• 2. Archytas als Mathematiker und harmonischer Theoretiker

  • 2.1 Den Würfel verdoppeln
  • 2.2 Musik und Mathematik
  • 2.3 Bewertung von Archytas als Mathematiker

• 3. Archytas und die Wissenschaften

  • 3.1 Der Wert der Wissenschaften
  • 3.2 „Logistik“als Master Science
  • 3.3 Optik und Mechanik
• 4. Definitionen
• 5. Kosmologie und Physik
• 6. Ethik und politische Philosophie
• 7. Bedeutung und Einfluss
• Literaturverzeichnis
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Leben und Werk

1.1 Familie, Lehrer und Schüler; Datum

Archytas, Sohn von Hestiaeus (siehe Aristoxenus in Diels-Kranz 1952, Kap. 47, Passage A1; abgekürzt als DK47 A1), lebte in der griechischen Stadt Tarentum auf der Ferse des Stiefels Italiens. Die spätere Tradition identifiziert ihn fast allgemein als Pythagoräer (z. B. A1, A2, A7, A16). Aristoteles und sein Schüler Eudemus nennen Archytas nicht ausdrücklich einen Pythagoräer und scheinen ihn als wichtigen unabhängigen Denker zu behandeln. Platon bezieht sich niemals namentlich auf Archytas, außer im siebten Brief, wenn dieser von Platon stammt, und er wird dort nicht als Pythagoräer bezeichnet. In der Republik jedoch, wenn Platon einen Satz zitiert, der in Pater Dr. 1 von Archytas (DK47 B1) bezeichnet er es ausdrücklich als Teil der pythagoreischen Harmonischen (530d). Cicero (de Orat. III 34. 139) berichtet, dass Archytas der Schüler von Philolaus war, und dies ist nicht unwahrscheinlich. Philolaus war der prominenteste Pythagoräer der vorhergehenden Generation (ca. 470-390) und hat möglicherweise in Tarentum unterrichtet (Huffman 1993, 6). Archytas 'Leistungen in der Mathematik hängen von der Arbeit von Hippokrates von Chios ab, aber wir haben keine Beweise dafür, dass er bei Hippokrates studiert hat. Der einzige Schüler von Archytas, der mehr als ein Name ist, ist Eudoxus (ca. 390-340), der prominente Mathematiker. Vermutlich hat Eudoxus seinen berühmten Hedonismus nicht von Archytas gelernt (siehe DK47 A9), und es ist speziell die Geometrie, die er bei Archytas studiert haben soll (Diogenes Laertius VIII 86). Der einzige Schüler von Archytas, der mehr als ein Name ist, ist Eudoxus (ca. 390-340), der prominente Mathematiker. Vermutlich hat Eudoxus seinen berühmten Hedonismus nicht von Archytas gelernt (siehe DK47 A9), und es ist speziell die Geometrie, die er bei Archytas studiert haben soll (Diogenes Laertius VIII 86). Der einzige Schüler von Archytas, der mehr als ein Name ist, ist Eudoxus (ca. 390-340), der prominente Mathematiker. Vermutlich hat Eudoxus seinen berühmten Hedonismus nicht von Archytas gelernt (siehe DK47 A9), und es ist speziell die Geometrie, die er bei Archytas studiert haben soll (Diogenes Laertius VIII 86).

Archytas war grob gesagt ein Zeitgenosse Platons, aber es ist schwierig, seine Daten genauer zu bestimmen. Aristoteles 'Schüler Eudemus präsentiert ihn als den Zeitgenossen von Platon (geb. 428/7) und Leodamas (geb. ca. 430) einerseits und von Theaetetus (geb. ca. 415) andererseits (A6). Da es schwierig wäre, ihn den Zeitgenossen von Theaetetus zu nennen, wenn er viel früher als 435 geboren wurde, ist dies der früheste Zeitpunkt, an dem er wahrscheinlich geboren wurde. Andererseits könnte er erst 410 geboren worden sein und immer noch als Zeitgenosse Platons gelten. Strabo assoziiert Archytas mit dem Aufblühen von Tarentum vor einer Zeit des Niedergangs, in der Tarentum Söldnergeneräle anstellte (A4). Da die Söldner ca. erscheinen. 340 scheint es wahrscheinlich, dass Archytas spätestens um 350 tot war. Ein solches Datum steht im Einklang mit anderen Beweisen (A5 = [Demosthenes], Erot. Or. 61.46), die Archytas mit Timotheus verbinden, der ca. starb. 355 und mit Platons (?) Siebtem Brief (350a), in dem Archytas 361 als noch in Tarentum aktiv dargestellt wird. So wurde Archytas zwischen 435 und 410 geboren und starb zwischen 360 und 350.

Einige Gelehrte (z. B. Ciaceri 1927-32: III 4) haben angenommen, dass der Sprecher des römischen Dichters Horace, Archytas Ode (I 28 = A3), Archytas selbst ist, und sind daher zu dem Schluss gekommen, dass Archytas bei einem Schiffbruch gestorben ist. Die Standardinterpretation erkennt jedoch zu Recht an, dass der Sprecher nicht Archytas ist, sondern ein Schiffbrüchiger, der Archytas apostrophiert (Nisbet und Hubbard 1970, 317ff.). Die Ode sagt nichts über den Tod von Archytas aus, aber sie ist einer von vielen Beweisen für die Faszination römischer Autoren des ersten Jahrhunderts vor Christus für Archytas (Propertius IV 1b.77; Varro in B8; Cicero, Rep. I 38.59, I 10.16; Fin. V 29.87; Tusc. IV 36.78, V 23.64, de Orat. III 34.139; Amic. XXIII 88; Sen. XII 39-41), vielleicht weil der Pythagoräismus als eine einheimische italienische Philosophie angesehen worden war, und kein griechischer Import (Burkert 1961; Powell 1995, 11 ff.).

1.2 Quellen

Abgesehen von den erhaltenen Fragmenten seiner Schriften hängt unser Wissen über das Leben und Werk von Archytas stark von Autoren ab, die in der zweiten Hälfte des vierten Jahrhunderts, in den fünfzig Jahren nach Archytas 'Tod, geschrieben haben. Die Bedeutung von Archytas sowohl als intellektueller als auch als politischer Führer spiegelt sich in der Anzahl der Schriften über ihn in dieser Zeit wider, obwohl nur Fragmente dieser Werke erhalten geblieben sind. Aristoteles schrieb in drei Bänden ein Werk über die Philosophie von Archytas, mehr als über jedes andere seiner Vorgänger, sowie ein zweites Werk, das aus einer Zusammenfassung von Platons Timaios und den Schriften von Archytas (A13) bestand. Leider ist fast nichts von diesen Werken erhalten. Aristoteles 'Schüler Eudemus diskutierte Archytas prominent in seiner Geschichte der Geometrie (A6 und A14) und in seiner Arbeit über Physik (A23 und A24). Ein anderer Schüler von Aristoteles, Aristoxenus, schrieb ein Leben von Archytas, das die Grundlage für einen Großteil der biografischen Tradition über ihn bildet (A1, A7, A9). Aristoxenus (375 - ca. 300) war in einer guten Position, um genaue Informationen über Archytas zu erhalten. Er wurde in Tarentum geboren und wuchs auf dem Höhepunkt von Archytas 'Bekanntheit in der Stadt auf. Zusätzlich zu seinem persönlichen Wissen über Archytas stützt er sich auf seinen eigenen Vater Spintharus, der ein jüngerer Zeitgenosse von Archytas war, als Quelle (z. B. A7). Aristoxenus begann seine philosophische Karriere als Pythagoräer und studierte bei dem Pythagoräer Xenophilus in Athen, so dass es nicht verwunderlich ist, dass seine Darstellung von Archytas weitgehend positiv ist. Trotzdem erhalten die Gegner von Archytas eine faire Anhörung (z. B. Polyarchus in A9).und Archytas selbst wird als nicht ohne kleine Charakterfehler dargestellt (A7). Andere Quellen aus dem vierten Jahrhundert wie der Siebte Brief im platonischen Korpus und Demosthenes '(?) Erotische Rede konzentrieren sich auf die Verbindung zwischen Archytas und Platon (siehe unten).

1.3 Archytas und Tarentum

Archytas ist unter griechischen Philosophen einzigartig für seine herausragende Rolle in der Politik seiner Heimatstadt. Zu einem Zeitpunkt seiner Karriere (A1) wurde er sieben Jahre hintereinander zum General (stratêgos) gewählt, ein Rekord, der uns an Perikles in Athen erinnert. Seine Wahl war eine Ausnahme von einem Gesetz, das die Wahl in aufeinanderfolgenden Jahren verbot und damit seinen Ruf bei Tarentum bestätigt. Aristoxenus berichtet, dass Archytas im Kampf nie besiegt wurde und dass die Tarentiner sofort eine Niederlage erlitten, als er durch den Neid seiner Feinde gezwungen war, sich von seinem Posten zurückzuziehen (A1). Er diente wahrscheinlich als Teil eines Generalkomitees (in Athen gab es ein Zehnergremium). Die Analogie zu Athen legt nahe, dass er als General möglicherweise auch besondere Privilegien hatte, als er sich an die Versammlung in Tarentum zu Fragen wandte, die für die Stadt von Bedeutung sind.so dass seine Position als General ihm beträchtliche politische sowie militärische Macht gab. Irgendwann in seiner Karriere wurde er möglicherweise zum Generalautokrat („Bevollmächtigter“) ernannt (A2), was ihm besonderen Spielraum bei der Behandlung diplomatischer und militärischer Angelegenheiten gab, ohne die Versammlung zu konsultieren, obwohl dies nicht die diktatorische Macht und alles war Vereinbarungen erforderten wahrscheinlich die eventuelle Genehmigung der Versammlung. Wir wissen nicht, wann Archytas seine sieben aufeinander folgenden Jahre als General gedient hat. Einige haben angenommen, dass sie mit dem Zeitraum von sieben Jahren zusammenfallen müssen, der Platons zweiten und dritten Besuch in Italien und Sizilien (367-361) umfasst (z. B. Wuilleumier 1939, 68-9), aber Archytas müssen keine Stratêgos gewesen sein, um die zugewiesene Rolle zu spielen zu ihm während dieser Jahre im siebten Brief. Die Beweise legen nahe, dass die meisten von ArchytasMilitärkampagnen richteten sich nicht gegen andere Griechen, sondern gegen italienische Ureinwohner wie die Messapier und Lucaner, mit denen Tarentum seit seiner Gründung in ständigem Konflikt stand.

Es ist wichtig zu erkennen, dass das Tarentum, in dem Archytas einen solchen Einfluss ausübte, kein unbedeutender Rückstau war. Spartanische Kolonisten gründeten es 706. Es wurde ursprünglich von anderen griechischen Kolonien in Süditalien wie Croton überschattet, obwohl es den besten Hafen an der Südküste Italiens hatte und der natürliche Haltepunkt für alle Schiffe war, die vom griechischen Festland nach Westen fuhren. Archytas wird in einem Tarentum aufgewachsen sein, das im Einklang mit seiner Gründung durch Sparta im Peloponnesischen Krieg die peloponnesische und syrakusanische Seite gegen Athen einnahm (Thuc. VI 44; VI 104; VII 91). Athen verbündete sich mit den Messapiern (Thuc. VII 33), dem langjährigen Feind der Tarentiner, gegen den Archytas später Expeditionen führen würde (A7). Nach dem Peloponnesischen KriegTarentum scheint eine direkte Beteiligung an dem Konflikt zwischen dem Tyrannen von Syrakus, Dionysius I., und einer von Croton angeführten Liga griechischer Städte in Süditalien vermieden zu haben. Nachdem Dionysius die Liga zerschlagen hatte, entwickelte sich Tarentum zum mächtigsten griechischen Staat in Süditalien und wurde wahrscheinlich der neue Leiter der Liga der italienischen Städte Italiens (A2). In der Zeit von 380 bis 350, als Archytas in seinem besten Alter war, war Tarentum eine der mächtigsten Städte der griechischen Welt (Purcell 1994, 388). Strabos Beschreibung seiner militärischen Macht (VI 3.4) ist im Vergleich zu Thukydides 'Bericht über Athen zu Beginn des Peloponnesischen Krieges (II. 13) günstig. Tarentum entwickelte sich zum mächtigsten griechischen Staat in Süditalien und wurde wahrscheinlich der neue Leiter der Liga der italienischen Städte Italiens (A2). In der Zeit von 380 bis 350, als Archytas in seinem besten Alter war, war Tarentum eine der mächtigsten Städte der griechischen Welt (Purcell 1994, 388). Strabos Beschreibung seiner militärischen Macht (VI 3.4) ist im Vergleich zu Thukydides 'Bericht über Athen zu Beginn des Peloponnesischen Krieges (II. 13) günstig. Tarentum entwickelte sich zum mächtigsten griechischen Staat in Süditalien und wurde wahrscheinlich der neue Leiter der Liga der italienischen Städte Italiens (A2). In der Zeit von 380 bis 350, als Archytas in seinem besten Alter war, war Tarentum eine der mächtigsten Städte der griechischen Welt (Purcell 1994, 388). Strabos Beschreibung seiner militärischen Macht (VI 3.4) ist im Vergleich zu Thukydides 'Bericht über Athen zu Beginn des Peloponnesischen Krieges (II. 13) günstig. Bericht über Athen zu Beginn des Peloponnesischen Krieges (II. 13). Bericht über Athen zu Beginn des Peloponnesischen Krieges (II. 13).

Trotz seiner überlieferten Verbindungen zu Sparta, einer Oligarchie, scheint Tarentum zu Archytas 'Lebzeiten eine Demokratie gewesen zu sein. Nach Aristoteles (Pol. 1303a) wurde die Demokratie gegründet, nachdem ein großer Teil der tarentinischen Aristokratie 473 in einem Kampf mit einem einheimischen Volk, den Iapygianern, getötet worden war. Herodot bestätigt, dass dies das größte Gemetzel der Griechen war, von denen er war sich bewusst (VII 170). Es gibt keine Beweise dafür, dass Tarentum alles andere als eine Demokratie zwischen der Gründung der Demokratie im Jahr 473 und dem Tod von Archytas war. 350. Einige Wissenschaftler haben argumentiert, dass Tarentum's Verbindungen zu Sparta und die angebliche Vorliebe der Pythagoräer für die Aristokratie sichergestellt haben, dass Tarentum nicht lange eine Demokratie blieb und dass es keine Demokratie unter Archytas war (Minar 1942, 88-90; Ciaceri 1927) -32, II 446-7). Strabo,Tarentum wird jedoch ausdrücklich als Demokratie zum Zeitpunkt ihres Aufblühens unter Archytas (A4) beschrieben, und die Beschreibungen der Macht von Archytas in Tarentum unterstreichen seine Popularität bei den Massen und seine allgemeine Wahl durch die Bürger (A1 und A2). Schließlich ist Aristoteles 'Bericht über die Struktur der tarentinischen Regierung im vierten Jahrhundert (Pol. 1291b14), obwohl er möglicherweise mit anderen Regierungsformen übereinstimmt, am sinnvollsten, wenn Tarentum eine Demokratie wäre. Gleiches gilt für fr. B3 von Archytas mit dem Schwerpunkt auf einer gleichmäßigeren Verteilung des Reichtums. Die Darstellung der Struktur der tarentinischen Regierung im vierten Jahrhundert (Pol. 1291b14) ist zwar möglicherweise mit anderen Regierungsformen vereinbar, aber am sinnvollsten, wenn Tarentum eine Demokratie war. Gleiches gilt für fr. B3 von Archytas mit dem Schwerpunkt auf einer gleichmäßigeren Verteilung des Reichtums. Die Darstellung der Struktur der tarentinischen Regierung im vierten Jahrhundert (Pol. 1291b14) ist zwar möglicherweise mit anderen Regierungsformen vereinbar, aber am sinnvollsten, wenn Tarentum eine Demokratie war. Gleiches gilt für fr. B3 von Archytas mit dem Schwerpunkt auf einer gleichmäßigeren Verteilung des Reichtums.

1.4 Archytas und Platon

Archytas war in der Antike am berühmtesten und in der modernen Welt am berühmtesten dafür, dass er 361 ein Schiff zur Rettung Platons vor dem Tyrannen von Syrakus, Dionysius II., Geschickt hat. 83 und im Suda) ist das erste, was nach dem Namen seines Stadtstaates und seines Vaters über ihn erwähnt wird, seine Rettung von Platon (A1 und A2). Diese Geschichte wird im siebten Brief, der Platon zugeschrieben wird, am ausführlichsten erzählt. Es war dementsprechend typisch, Archytas als „Freund Platons“zu identifizieren (Mathieu 1987). Archytas traf Platon zum ersten Mal über zwanzig Jahre zuvor, als Platon 388/7 zum ersten Mal Süditalien und Sizilien auf seinen Reisen nach dem Tod von Sokrates besuchte (Pl. [?], Ep. VII 324a, 326b-d; Cicero) Rep. I 10. 16; Philodemus, Acad. Ind. X 5-11; vgl. DL III 6). Einige Gelehrte haben Archytas als den „neuen Modellphilosophen für Platon“angesehen (Vlastos 1991, 129), und er wurde als Archetyp von Platons Philosophenkönig angesehen (Guthrie 1962, 333). Die tatsächliche Situation scheint erheblich komplizierter zu sein. Die alten Beweise, abgesehen vom siebten Brief, zeigen die Beziehung zwischen Archytas und Platon auf diametral entgegengesetzte Weise. Eine Tradition stellt Archytas als den pythagoreischen Meister dar, zu dessen Füßen Platon saß, nachdem Sokrates gestorben war (z. B. Cicero, Rep. I 10.16), aber eine andere Tradition macht Archytas zum Schüler Platons, dem er seinen Ruhm und Erfolg in Tarentum verdankte (Demosthenes [?], Erotic Oration 44). Die tatsächliche Situation scheint erheblich komplizierter zu sein. Die alten Beweise, abgesehen vom siebten Brief, zeigen die Beziehung zwischen Archytas und Platon auf diametral entgegengesetzte Weise. Eine Tradition stellt Archytas als den pythagoreischen Meister dar, zu dessen Füßen Platon saß, nachdem Sokrates gestorben war (z. B. Cicero, Rep. I 10.16), aber eine andere Tradition macht Archytas zum Schüler Platons, dem er seinen Ruhm und Erfolg in Tarentum verdankte (Demosthenes [?], Erotic Oration 44). Die tatsächliche Situation scheint erheblich komplizierter zu sein. Die alten Beweise, abgesehen vom siebten Brief, zeigen die Beziehung zwischen Archytas und Platon auf diametral entgegengesetzte Weise. Eine Tradition stellt Archytas als den pythagoreischen Meister dar, zu dessen Füßen Platon saß, nachdem Sokrates gestorben war (z. B. Cicero, Rep. I 10.16), aber eine andere Tradition macht Archytas zum Schüler Platons, dem er seinen Ruhm und Erfolg in Tarentum verdankte (Demosthenes [?], Erotic Oration 44).aber eine andere Tradition macht Archytas zum Schüler Platons, dem er seinen Ruhm und Erfolg in Tarentum verdankte (Demosthenes [?], Erotic Oration 44).aber eine andere Tradition macht Archytas zum Schüler Platons, dem er seinen Ruhm und Erfolg in Tarentum verdankte (Demosthenes [?], Erotic Oration 44).

Der Siebte Brief selbst ist von umstrittener Echtheit, obwohl die meisten Gelehrten ihn entweder als das Werk von Platon selbst oder eines Studenten von Platon betrachten, der mit Platons Beteiligung an Ereignissen in Sizilien bestens vertraut war (siehe z. B. Brisson 1987; Lloyd 1990; Schofield 2000)). Der Brief scheint als Entschuldigung für Platons Beteiligung an Ereignissen in Sizilien zu dienen. Lloyd hat jedoch kürzlich argumentiert, dass der Brief auch dazu dient, Platon vom Pythagoräismus und von Archytas (1990) zu distanzieren. Nichts in dem Brief deutet darauf hin, dass Platon jemals der Schüler von Archytas war; Stattdessen ist die Beziehung viel näher an der in der erotischen Rede dargestellten. Platon wird als die dominierende Figur dargestellt, von der Archytas sowohl philosophisch als auch politisch abhängt. Archytas schreibt an Platon und behauptet, Dionysius II. Habe große Fortschritte in der Philosophie gemacht.um Platon zu drängen, ein drittes Mal nach Sizilien zu kommen (339d-e). Diese Behauptungen werden bestritten, sobald Platon eintrifft (340b). Der Brief legt daher nahe, dass Archytas, weit davon entfernt, der pythagoreische Meister zu sein, von dem Platon seine Philosophie gelernt hat, ein sehr unvollkommenes Verständnis dafür hatte, was Platon als Philosophie ansah. Der Brief macht deutlich, dass Platon eine Beziehung von Xenia, „Gastfreundschaft“, zu Archytas und anderen bei Tarentum hat (339e, 350a). Diese Beziehung wurde wahrscheinlich bei Platons erstem Besuch im Jahr 388/7 hergestellt, da Platon sie als Grundlage verwendet, um bei seinem zweiten Besuch im Jahr 367 (338c) eine ähnliche Beziehung zwischen Archytas und Dionysius II. Zu etablieren. Es ist auch die Beziehung, in Bezug auf die Platon Archytas um Hilfe bittet, wenn er nach der dritten Reise nach Sizilien in Gefahr ist (350a). Eine solche Freundschaft muss jedoch keine enge persönliche Intimität implizieren. Aristoteles klassifiziert Xenia als eine Freundschaft für Nützlichkeit und weist darauf hin, dass solche Freunde nicht unbedingt viel Zeit miteinander verbringen oder sogar die Gesellschaft des anderen als angenehm empfinden (EN 1156a26 ff.). Abgesehen von Archytas 'Rettung Platons im Jahr 361 (auch dies wird von Platon [350a] beschrieben) ist Platon eindeutig die dominierende Figur in der Beziehung. Archytas wird in seinem Verständnis der Philosophie als Platons Minderwertiger dargestellt, und Platon wird sogar als verantwortlich für einen Teil des politischen Erfolgs von Archytas dargestellt, sofern er die Beziehung zwischen Archytas und Dionysius II. Herstellt, die als von erheblicher politischer Bedeutung beschrieben wird (339d).. Aristoteles klassifiziert Xenia als eine Freundschaft für Nützlichkeit und weist darauf hin, dass solche Freunde nicht unbedingt viel Zeit miteinander verbringen oder sogar die Gesellschaft des anderen als angenehm empfinden (EN 1156a26 ff.). Abgesehen von Archytas 'Rettung Platons im Jahr 361 (auch dies wird von Platon [350a] beschrieben) ist Platon eindeutig die dominierende Figur in der Beziehung. Archytas wird in seinem Verständnis der Philosophie als Platons Minderwertiger dargestellt, und Platon wird sogar als verantwortlich für einen Teil des politischen Erfolgs von Archytas dargestellt, sofern er die Beziehung zwischen Archytas und Dionysius II. Herstellt, die als von erheblicher politischer Bedeutung beschrieben wird (339d).. Aristoteles klassifiziert Xenia als eine Freundschaft für Nützlichkeit und weist darauf hin, dass solche Freunde nicht unbedingt viel Zeit miteinander verbringen oder sogar die Gesellschaft des anderen als angenehm empfinden (EN 1156a26 ff.). Abgesehen von Archytas 'Rettung Platons im Jahr 361 (auch dies wird von Platon [350a] beschrieben) ist Platon eindeutig die dominierende Figur in der Beziehung. Archytas wird in seinem Verständnis der Philosophie als Platons Minderwertiger dargestellt, und Platon wird sogar als verantwortlich für einen Teil des politischen Erfolgs von Archytas dargestellt, sofern er die Beziehung zwischen Archytas und Dionysius II. Herstellt, die als von erheblicher politischer Bedeutung beschrieben wird (339d).. Bei der Rettung von Platon im Jahr 361 (auch dies wird von Platon [350a] beschrieben) ist Platon eindeutig die dominierende Figur in der Beziehung. Archytas wird in seinem Verständnis der Philosophie als Platons Minderwertiger dargestellt, und Platon wird sogar als verantwortlich für einen Teil des politischen Erfolgs von Archytas dargestellt, sofern er die Beziehung zwischen Archytas und Dionysius II. Herstellt, die als von erheblicher politischer Bedeutung beschrieben wird (339d).. Bei der Rettung von Platon im Jahr 361 (auch dies wird von Platon [350a] beschrieben) ist Platon eindeutig die dominierende Figur in der Beziehung. Archytas wird in seinem Verständnis der Philosophie als Platons Minderwertiger dargestellt, und Platon wird sogar als verantwortlich für einen Teil des politischen Erfolgs von Archytas dargestellt, sofern er die Beziehung zwischen Archytas und Dionysius II. Herstellt, die als von erheblicher politischer Bedeutung beschrieben wird (339d)..

Wie können wir die wahre Natur der Beziehung zwischen Platon und Archytas angesichts dieser widersprüchlichen Beweise enträtseln? Abgesehen vom siebten Brief bezieht sich Platon nie direkt auf Archytas. Er zitiert jedoch virtuell einen Satz aus Archytas 'Buch über Harmonische in Buch VII der Republik (530d), und seine Diskussionen über die Wissenschaft der Stereometrie kurz davor dürften einige Verbindungen zu Archytas' Arbeiten in fester Geometrie haben (528d). Im Kontext der Diskussion der Wissenschaften bezieht sich Platon daher auf Archytas, und die Überreste von Archytas 'Arbeit konzentrieren sich genau auf die Wissenschaften (z. B. Fr. B1). Beide Teile der Tradition können miteinander in Einklang gebracht werden, wenn wir annehmen, dass Platons erster Besuch in Italien und Sizilien zumindest teilweise durch seinen Wunsch motiviert war, Archytas zu treffen.wie die erste Tradition behauptet, aber er suchte Archytas nicht als neuen „Modellphilosophen“, sondern als Experten in den mathematischen Wissenschaften, an denen Platon ein tiefes Interesse entwickelt hatte. In der Republik VII kritisiert Platon pythagoreische Harmonische und aktuelle Arbeiten in fester Geometrie aus philosophischen Gründen, so dass er, obwohl er zweifellos eine beträchtliche Menge Mathematik von Archytas gelernt hat, eindeutig nicht mit Archytas 'Verständnis der philosophischen Verwendung der Wissenschaften übereinstimmte. Im Jahr 388 hatte Tarentum noch nicht den Höhepunkt seiner Macht erreicht, und Archytas dürfte seine politische Dominanz noch nicht erreicht haben, so dass auch die Behauptung der zweiten Tradition, Archytas habe seinen großen praktischen Erfolg nicht erzielt, zutreffend sein könnte bis nach seinem Kontakt mit Platon;Ob dieser Erfolg in direktem Zusammenhang mit seinem Kontakt mit Platon stand oder nicht, ist zweifelhafter. Bei ihrem ersten Treffen im Jahr 388/7 stellten Platon und Archytas eine Beziehung der Gastfreundschaft her, die sie dazu verpflichtete, die Interessen des anderen zu fördern, was sie auch taten, wie die Ereignisse von 367-361 zeigen. Platon und Archytas müssen sich in philosophischen Fragen nicht einig gewesen sein und werden vielleicht besser als wettbewerbsfähige Kollegen gesehen, die sich in einer laufenden Debatte über den Wert der Wissenschaften für die Philosophie befinden. Platon und Archytas müssen sich in philosophischen Fragen nicht einig gewesen sein und werden vielleicht besser als wettbewerbsfähige Kollegen gesehen, die sich in einer laufenden Debatte über den Wert der Wissenschaften für die Philosophie befinden. Platon und Archytas müssen sich in philosophischen Fragen nicht einig gewesen sein und werden vielleicht besser als wettbewerbsfähige Kollegen gesehen, die sich in einer laufenden Debatte über den Wert der Wissenschaften für die Philosophie befinden.

1.5 Die Authentizitätsfrage

Im Namen von Archytas sind mehr Textseiten erhalten geblieben als im Namen eines anderen Pythagoräers. Leider wird die überwiegende Mehrheit dieses Materials zu Recht als falsch angesehen. Gleiches gilt für die pythagoreische Tradition im Allgemeinen; Die überwiegende Mehrheit der Texte, die angeblich von frühen Pythagoräern stammen, sind spätere Fälschungen. Einige dieser Fälschungen wurden aus rein monetären Gründen hergestellt; Ein Text eines „seltenen“Werks eines berühmten Pythagoräers könnte eine beträchtliche Summe von Buchsammlern einbringen. Es gab jedoch Merkmale, die für die pythagoreische Tradition einzigartig waren und zu einer Zunahme von Fälschungen führten. Schon im späten vierten Jahrhundert v. Chr. Wurde Pythagoras in einigen Kreisen als der Philosoph schlechthin angesehen, dem alle Wahrheit offenbart worden war. Alle spätere Philosophie, soweit es wahr war,war eine Wiederholung dieser ursprünglichen Offenbarung (siehe z. B. O'Meara 1989). Um diese Ansicht von Pythagoras zu unterstützen, wurden Texte im Namen von Pythagoras und anderen frühen Pythagoräern gefälscht, um zu zeigen, dass sie tatsächlich die wichtigsten Ideen von Platon und Aristoteles vorweggenommen hatten. Diese pseudo-pythagoreischen Texte zeichnen sich daher durch die Verwendung zentraler platonischer und aristotelischer Ideen aus, die in der von Platon und Aristoteles verwendeten technischen Terminologie zum Ausdruck kommen. Einige der Fälschungen versuchen sogar, Platon und Aristoteles zu verbessern, indem sie ihre Positionen verfeinern, die einige hundert Jahre nach ihrem Tod erstmals weiterentwickelt wurden. Das Datum und der Ort des Ursprungs dieser pseudo-pythagoreischen Abhandlungen sind schwer zu bestimmen, aber die meisten scheinen zwischen 150 v. Chr. Und 100 n. Chr. Verfasst worden zu sein (Burkert 1972b; Centrone 1990; Moraux 1984);Rom (Burkert 1972b) und Alexandria (Centrone 1990) sind die wahrscheinlichsten Herkunftsorte. Archytas ist die dominierende Figur in dieser pseudo-pythagoreischen Tradition. In der Sammlung der pseudo-pythagoreischen Schriften von Thesleff aus dem Jahr 1965 sind fünfundvierzig der zweihundertfünfundvierzig Seiten (2-48), etwa 20%, die etwa 1.200 Zeilen umfassen, Texten gewidmet, die im Namen von Archytas gefälscht wurden. Andererseits füllen die wahrscheinlich echten Fragmente, die in DK gesammelt werden, nur hundert Textzeilen aus. So ist im Namen von Archytas mehr als zehnmal mehr falsches als echtes Material erhalten geblieben. Es kann durchaus sein, dass der Stil und der dorische Dialekt der pseudo-pythagoreischen Schriften auch auf dem Modell der echten Schriften von Archytas beruhten. Archytas ist die dominierende Figur in dieser pseudo-pythagoreischen Tradition. In der Sammlung der pseudo-pythagoreischen Schriften von Thesleff aus dem Jahr 1965 sind fünfundvierzig der zweihundertfünfundvierzig Seiten (2-48), etwa 20%, die etwa 1.200 Zeilen umfassen, Texten gewidmet, die im Namen von Archytas gefälscht wurden. Andererseits füllen die wahrscheinlich echten Fragmente, die in DK gesammelt werden, nur hundert Textzeilen aus. So ist im Namen von Archytas mehr als zehnmal mehr falsches als echtes Material erhalten geblieben. Es kann durchaus sein, dass der Stil und der dorische Dialekt der pseudo-pythagoreischen Schriften auch auf dem Modell der echten Schriften von Archytas beruhten. Archytas ist die dominierende Figur in dieser pseudo-pythagoreischen Tradition. In der Sammlung der pseudo-pythagoreischen Schriften von Thesleff aus dem Jahr 1965 sind fünfundvierzig der zweihundertfünfundvierzig Seiten (2-48), etwa 20%, die etwa 1.200 Zeilen umfassen, Texten gewidmet, die im Namen von Archytas gefälscht wurden. Andererseits füllen die wahrscheinlich echten Fragmente, die in DK gesammelt werden, nur hundert Textzeilen aus. So ist im Namen von Archytas mehr als zehnmal mehr falsches als echtes Material erhalten geblieben. Es kann durchaus sein, dass der Stil und der dorische Dialekt der pseudo-pythagoreischen Schriften auch auf dem Modell der echten Schriften von Archytas beruhten.sind Texten gewidmet, die im Namen von Archytas gefälscht wurden. Andererseits füllen die wahrscheinlich echten Fragmente, die in DK gesammelt werden, nur hundert Textzeilen aus. So ist im Namen von Archytas mehr als zehnmal mehr falsches als echtes Material erhalten geblieben. Es kann durchaus sein, dass der Stil und der dorische Dialekt der pseudo-pythagoreischen Schriften auch auf dem Modell der echten Schriften von Archytas beruhten.sind Texten gewidmet, die im Namen von Archytas gefälscht wurden. Andererseits füllen die wahrscheinlich echten Fragmente, die in DK gesammelt werden, nur hundert Textzeilen aus. So ist im Namen von Archytas mehr als zehnmal mehr falsches als echtes Material erhalten geblieben. Es kann durchaus sein, dass der Stil und der dorische Dialekt der pseudo-pythagoreischen Schriften auch auf dem Modell der echten Schriften von Archytas beruhten.

1.6 Falsche Werke, die Archytas zugeschrieben werden

Alle Abhandlungen unter Archytas 'Namen, die 1965 in Thesleff gesammelt wurden, gelten allgemein als falsch, mit Ausnahme von Über Recht und Gerechtigkeit, wo noch einige Kontroversen bestehen. Die meisten sind nur in Fragmenten erhalten, obwohl es zwei kurze vollständige Werke gibt. Die bekannteste dieser Fälschungen betrifft das gesamte System [sc. of Categories] oder Bezüglich der zehn Kategorien (vollständig erhalten, siehe Szlezak 1972). Diese Arbeit zusammen mit der Abhandlung über Opposites (Thesleff 1965 15,3-19,2) und die viel später Zehn Universal - Assertions (konserviert komplett, zuerst zugeschriebene Archytas in dem 15 ^thJahrhundert n. Chr; siehe Szlezak 1972) stellen den Versuch dar, Aristoteles 'Doktrin der Kategorien für Archytas und die Pythagoräer zu behaupten. Dieser Versuch war bis zu einem gewissen Grad erfolgreich; Sowohl Simplicius als auch Iamblichus betrachteten die archytanischen Arbeiten zu Kategorien als echte Vorwegnahmen von Aristoteles (CAG VIII. 2, 9-25). In Bezug auf die zehn Kategorien und Über Gegensätze wird in den alten Kommentaren zu Aristoteles 'Kategorien sehr häufig zitiert. Pseudo-Archytas identifiziert zehn Kategorien mit Namen, die praktisch mit denen von Aristoteles identisch sind, und seine Sprache folgt Aristoteles an vielen Stellen genau. Die Aufteilung von Archytas 'Werken in zwei Abhandlungen, die die zehn Kategorien und die Gegensätze betreffen, spiegelt die Arbeit von Andronicus von Rhodos wider, der zuerst die letzten sechs Kapitel von Aristoteles' Kategorien von den anderen trennte. So,Die Werke in Archytas 'Namen müssen nach Andronicus' Werk im ersten Jahrhundert vor Christus gefälscht worden sein. Andere falsche Werke in Metaphysik und Erkenntnistheorie sind On Principles (Thesleff 1965, 19.3 - 20.17), On Intelligence and Perception (Thesleff 1965, 36.12-39.25), die eine Paraphrase der geteilten Linie in Platons Republik enthalten; Über das Sein (Thesleff 1965, 40.1-16) und über die Weisheit (Thesleff 1965, 43.24-45.4).

Es gibt auch Fragmente von zwei sicherlich falschen Abhandlungen über Ethik und Politik, die kürzlich mit Kommentaren herausgegeben wurden: Über den guten und glücklichen Mann (Centrone 1990), die Verbindungen zu Arius Didymus, einem Autor des ersten Jahrhunderts vor Christus, und über Moral zeigen Bildung (Centrone 1990), die Verbindungen zu Carneades hat (2. Jh. V. Chr.). Der Status einer letzten Abhandlung ist weniger klar. Die Fragmente von Über Recht und Gerechtigkeit (Thesleff 1965, 33.1-36.11) wurden von Delatte (1922) eingehend untersucht, der zeigte, dass sich die Abhandlung mit den politischen Vorstellungen des vierten Jahrhunderts befasst und zu dem bescheidenen Schluss kam, dass das Werk könnte von Archytas stammen, da es keine positiven Hinweise auf eine späte Zusammensetzung gab. Thesleff kam ebenfalls zu dem Schluss, dass die Abhandlung „authentisch oder zumindest vergleichsweise alt sein kann“(1961, 112).während Minar behauptete, dass "es einen ausgezeichneten Anspruch auf Authentizität hat" (1942, 111). Andererseits hat DK die Fragmente von On Law and Justice nicht zu den echten Fragmenten gezählt, und die jüngsten Wissenschaftler haben argumentiert, dass die Abhandlung falsch ist. Aalders bietet die detaillierteste Behandlung, obwohl einige seiner Argumente nicht schlüssig sind (1968, 13-20). Andere Gegner der Authentizität sind Burkert (1972a), Moraux (1984, 670-677) und Centrone (2000). Die Verbindungen von On Law and Justice zum echten fr. B2 von Archytas sprechen für seine Authentizität, aber seine Verbindungen zu pseudo-pythagoreischen Abhandlungen von „Diotogenes“(Thesleff 76.2-3, 71. 21-2), „Damippos“(Thesleff 68.26) und „Metopos“(Thesleff 119.28) sprechen dafür seine Falschheit. DK hat die Fragmente von On Law and Justice nicht zu den echten Fragmenten gezählt, und die jüngsten Wissenschaftler haben argumentiert, dass die Abhandlung falsch ist. Aalders bietet die detaillierteste Behandlung, obwohl einige seiner Argumente nicht schlüssig sind (1968, 13-20). Andere Gegner der Authentizität sind Burkert (1972a), Moraux (1984, 670-677) und Centrone (2000). Die Verbindungen von On Law and Justice zum echten fr. B2 von Archytas sprechen für seine Authentizität, aber seine Verbindungen zu pseudo-pythagoreischen Abhandlungen von „Diotogenes“(Thesleff 76.2-3, 71. 21-2), „Damippos“(Thesleff 68.26) und „Metopos“(Thesleff 119.28) sprechen dafür seine Falschheit. DK hat die Fragmente von On Law and Justice nicht zu den echten Fragmenten gezählt, und die jüngsten Wissenschaftler haben argumentiert, dass die Abhandlung falsch ist. Aalders bietet die detaillierteste Behandlung, obwohl einige seiner Argumente nicht schlüssig sind (1968, 13-20). Andere Gegner der Authentizität sind Burkert (1972a), Moraux (1984, 670-677) und Centrone (2000). Die Verbindungen von On Law and Justice zum echten fr. B2 von Archytas sprechen für seine Authentizität, aber seine Verbindungen zu pseudo-pythagoreischen Abhandlungen von „Diotogenes“(Thesleff 76.2-3, 71. 21-2), „Damippos“(Thesleff 68.26) und „Metopos“(Thesleff 119.28) sprechen dafür seine Falschheit. Andere Gegner der Authentizität sind Burkert (1972a), Moraux (1984, 670-677) und Centrone (2000). Die Verbindungen von On Law and Justice zum echten fr. B2 von Archytas sprechen für seine Authentizität, aber seine Verbindungen zu pseudo-pythagoreischen Abhandlungen von „Diotogenes“(Thesleff 76.2-3, 71. 21-2), „Damippos“(Thesleff 68.26) und „Metopos“(Thesleff 119.28) sprechen dafür seine Falschheit. Andere Gegner der Authentizität sind Burkert (1972a), Moraux (1984, 670-677) und Centrone (2000). Die Verbindungen von On Law and Justice zum echten fr. B2 von Archytas sprechen für seine Authentizität, aber seine Verbindungen zu pseudo-pythagoreischen Abhandlungen von „Diotogenes“(Thesleff 76.2-3, 71. 21-2), „Damippos“(Thesleff 68.26) und „Metopos“(Thesleff 119.28) sprechen dafür seine Falschheit.

Einige Zeugnisse deuten darauf hin, dass es noch mehr pseudo-archytanische Abhandlungen gab, die selbst in Fragmenten nicht überlebt haben (Thesleff 47.8 ff.). Zwei falsche Briefe von Archytas sind erhalten. Einer ist der Brief, auf den der pseudoplatonische Zwölfte Brief antwortet (DL VIII 79-80), und der andere ist der angebliche Brief von Archytas an Dionysius II., Der zusammen mit dem Schiff geschickt wurde, um Platons Freilassung im Jahr 361 zu sichern (DL III 21-2). Archytas war eine beliebte Figur im Mittelalter und in der frühen Renaissance, als weiterhin Werke in seinem Namen geschmiedet wurden, normalerweise mit der Schreibweise Architas oder Archita. Die Ars geometriae, die Boethius zugeschrieben wird, war aber in Wirklichkeit in der 12 zusammengesetzt ^thJahrhundert (Folkerts 1970, 105) schreibt Architas Entdeckungen in der Mathematik zu, die eindeutig falsch sind (Burkert 1972a, 406). Mehrere alchemistischen Rezepte das Wachs von dem linken Ohr eines Hundes und das Herz eines Wolfes involvieren in Ps.-Albertus Magnus zu Architas zugeschrieben, die Wunder der Welt (De mirabilibus mundi - 13 ^thJahrhundert n. Chr). Zahlreiche Auszüge aus einem Buch mit dem Titel Über Ereignisse in der Natur (de eventibus in natura, auch als de effectibus in natura und als de eventibus futurorum zitiert) von Archita Tharentinus (oder Tharentinus oder nur Tharen) sind in den mittelalterlichen Texten erhalten, die als The Light bekannt sind of the Soul (Lumen Animae), die im 14. Jahrhundert komponiert und im 15. Jahrhundert als Handbuch für Prediger in Europa weit verbreitet wurden (Rouse 1971; Thorndike 1934, III 546-60). Ein apokryphisches Werk, Die Zirkeltheorie der Dinge im Himmel, von Archytas Maximus [!], Das nie vollständig veröffentlicht wurde, ist im Codex Ambrosianus D 27 sup erhalten. (Siehe Catalogus Codicum Astrologorum Graecorum, Hrsg. F. Cumont et al., Bd. III, S. 11).

1.7 Echte Werke und Zeugnisse

Keine Liste von Archytas 'Werken ist uns aus der Antike bekannt geworden, so dass wir nicht wissen, wie viele Bücher er geschrieben hat. Angesichts der großen Masse an falschen Werken ist es enttäuschend, dass nur wenige Fragmente echter Werke erhalten sind. Die meisten Gelehrten akzeptieren die vier von Diels und Kranz (B1-4) gedruckten Fragmente als echt. Burkert (1972a, 220 n.14 und 379 n. 46) äußerte einige Bedenken hinsichtlich der Echtheit einiger dieser Fragmente, siehe jedoch die Antworten von Bowen (1982) und Huffman (1985). Unsere Beweise für die Titel der echten Schriften von Archytas hängen weitgehend von den Zitaten der Autoren ab, die die Fragmente zitieren. Es wird berichtet, dass die Fragmente B1 und B2 aus einer Abhandlung mit dem Titel Harmonics stammen, und die wichtigsten Zeugnisse über die harmonische Theorie von Archytas dürften letztendlich auf diesem Buch basieren (A16-19). Diese Abhandlung begann mit einer Diskussion der Grundprinzipien der Akustik (B1), definierte die drei Arten von Mittelwerten, die in der Musiktheorie von Bedeutung sind (B2), und präsentierte Archytas 'mathematische Beschreibungen des Tetrachords (das vierte) in die drei Hauptgattungen (chromatisch, diatonisch und Enharmonisch - A16-A19). B3 stammt wahrscheinlich aus einer Arbeit über Naturwissenschaften, die möglicherweise eine allgemeinere Diskussion über den Wert der Mathematik für das menschliche Leben im Allgemeinen und für die Schaffung eines gerechten Staates im Besonderen war. B4 stammt aus einer Arbeit mit dem Titel Discourses (Diatribai). Das Fragment selbst behauptet die Priorität der Berechnungswissenschaft (ha logistika, „logistic“) gegenüber den anderen Wissenschaften wie der Geometrie und schlägt somit eine technische Arbeit der Mathematik vor. Der Titel Diatribai würde normalerweise eine Abhandlung über ethischen Inhalt vorschlagen.so dass in dieser Arbeit die Wissenschaften möglicherweise hinsichtlich ihres Beitrags zur Weisheit bewertet wurden, die zu einem guten Leben führt.

Eine relativ reiche Sammlung von Zeugnissen, viele von Autoren des 4. Jahrhunderts v. Chr., Weisen darauf hin, dass Archytas auch andere Bücher geschrieben hat. Archytas 'berühmtes Argument für die unbegrenzte Ausdehnung des Universums (A24), seine Visionstheorie (A25) und sein Bewegungsbericht (A23, A23a) legen nahe, dass er möglicherweise eine Arbeit über Kosmologie geschrieben hat. Aristoteles 'Kommentare in der Metaphysik legen nahe, dass Archytas ein Buch über Definition (A22) geschrieben hat, und A20 und A21 könnten eine Arbeit über Arithmetik vorschlagen. Vielleicht gab es eine Abhandlung über Geometrie oder feste Geometrie, in der Archytas 'Lösung für das Problem der Verdoppelung des Würfels (A14-15) veröffentlicht wurde. Es gibt auch eine Tradition von Anekdoten über Archytas, die wahrscheinlich letztendlich aus Aristoxenus 'Leben der Archytas (A7, A8, A9, A11) stammt. Es ist möglich, dass sogar das Zeugnis für Archytas 'Das Argument für ein unbegrenztes Universum und seine Visionstheorie wurden von Anekdoten abgeleitet, die von Aristoxenus aufbewahrt wurden, und keineswegs von Werken von Archytas.

Es ist ungewiss, ob die Abhandlungen über Flöten (B6), über Maschinen (B1 und B7) und über Landwirtschaft (B1 und B8), die unter dem Namen Archytas im Umlauf waren, tatsächlich von Archytas von Tarentum oder von anderen Männern stammen mit dem gleichen Namen. Diogenes Laertius listet drei weitere Schriftsteller mit dem Namen Archytas (VIII 82) auf. Die von Theon (B5) erwähnte Abhandlung über das Jahrzehnt könnte von Archytas stammen, aber die Abhandlung von Philolaus, mit der sie gepaart ist, ist falsch (Huffman 1993, 347-350), was darauf hindeutet, dass dies auch für die Abhandlung unter Archytas gilt 'Name auch.

2. Archytas als Mathematiker und harmonischer Theoretiker

2.1 Den Würfel verdoppeln

Archytas war der erste, der eine Lösung für eines der berühmtesten mathematischen Rätsel der Antike fand, die Vervielfältigung des Würfels. Die romantischste Version der Geschichte, die in vielen Variationen vorkommt und letztendlich auf Eratosthenes (3. Jh. V. Chr.) Zurückgeht, berichtet, dass die Bewohner der griechischen Insel Delos von einer Pest heimgesucht wurden und, als sie ein Orakel um Rat fragten wurde gesagt, dass die Pest aufhören würde, wenn sie die Größe eines bestimmten Altars verdoppeln würden, der die Form eines Würfels hatte (Eutocius, in Archim. sphaer. et cyl. II [III 88.3-96.27 Heiberg / Stamatis]). Die einfältige Antwort auf das Orakel, das in einigen Versionen tatsächlich den Delianern zugewiesen ist, besteht darin, einen zweiten Altar zu bauen, der mit dem ersten identisch ist, und ihn auf den ersten zu setzen (Philoponus, In Anal. Post., CAG XIII.3, 102.12-22). Der resultierende Altar hat zwar ein doppelt so großes Volumen wie der erste Altar, ist aber kein Würfel mehr. Die nächste einfältige Antwort ist die Annahme, dass wir den neuen Altar mit einer Seite bauen sollten, die doppelt so lang ist wie die Seite des ursprünglichen Altars, da wir einen Altar mit doppeltem Volumen und gleichzeitig einem Würfel wollen. Dieser Ansatz schlägt ebenfalls fehl. Durch Verdoppeln der Seite des Altars entsteht ein neuer Altar, der nicht doppelt so groß ist wie der ursprüngliche Altar, sondern achtmal so groß. Wenn der ursprüngliche Altar eine Seite von zwei hätte, wäre sein Volumen 2Wir sollten den neuen Altar mit einer Seite bauen, die doppelt so lang ist wie die Seite des ursprünglichen Altars. Dieser Ansatz schlägt ebenfalls fehl. Durch Verdoppeln der Seite des Altars entsteht ein neuer Altar, der nicht doppelt so groß ist wie der ursprüngliche Altar, sondern achtmal so groß. Wenn der ursprüngliche Altar eine Seite von zwei hätte, wäre sein Volumen 2Wir sollten den neuen Altar mit einer Seite bauen, die doppelt so lang ist wie die Seite des ursprünglichen Altars. Dieser Ansatz schlägt ebenfalls fehl. Durch Verdoppeln der Seite des Altars entsteht ein neuer Altar, der nicht doppelt so groß ist wie der ursprüngliche Altar, sondern achtmal so groß. Wenn der ursprüngliche Altar eine Seite von zwei hätte, wäre sein Volumen 2³ oder 8, während ein Altar, der auf einer doppelt so langen Seite errichtet wurde, ein Volumen von 4 ³ oder 64 hat. Wie lang ist dann die Seite, die einen Würfel mit dem doppelten Volumen des ursprünglichen Würfels erzeugt? Die Delianer waren ratlos und stellten Plato in der Akademie ihr Problem vor. Platon stellte dann den mit der Akademie verbundenen Mathematikern das so genannte „Delian-Problem“vor, und es wurden nicht weniger als drei Lösungen entwickelt, die von Eudoxus, Menaechmus und Archytas.

Es ist nicht klar, ob die Geschichte über die Delianer tatsächlich eine Grundlage hat oder nicht. Selbst wenn dies der Fall ist, sollte nicht verstanden werden, dass das Problem der Verdoppelung des Würfels erstmals im vierten Jahrhundert bei den Delianern auftrat. Uns wird erzählt, dass der Mathematiker Hippokrates von Chios, der in der zweiten Hälfte des fünften Jahrhunderts tätig war, das Problem bereits konfrontiert und auf ein etwas anderes Problem reduziert hatte (Eutocius, in Archim. Sphaer. Et cyl. II [III 88,3-96,27 Heiberg / Stamatis]). Hippokrates erkannte, dass, wenn wir zwei mittlere Proportionen zwischen der Länge der Seite des ursprünglichen Würfels G und der Länge D finden könnten, wobei D = 2G, so dass G: x:: x: y:: y: D, dann der Würfel auf Länge x wird doppelt so groß sein wie der Würfel auf Länge G. Genau wie Hippokrates zu dieser Erkenntnis kam, ist eine Vermutung und braucht uns hier nicht zu beschäftigen,aber dass er recht hatte, ist relativ leicht zu erkennen. Jeder der Werte im fortgesetzten Verhältnis G: x:: x: y:: y: D ist gleich G: x, also können wir sie alle gleich G: x setzen. Wenn wir dies tun und die drei Verhältnisse miteinander multiplizieren, erhalten wir den Wert G.³: x ³. Wenn wir andererseits das gleiche fortgesetzte Verhältnis nehmen und die Multiplikation in den ursprünglichen Termen durchführen, ergibt G: x mal x: y G: y und G: y mal der verbleibende Term ergibt G: D. Somit ist G.: D = G ³: x ³, aber D ist zweimal G, also ist x ³ zweimal G ³. Denken Sie daran, dass G die Länge der Seite des ursprünglichen Würfels war, sodass der Würfel, der doppelt so groß ist wie der auf G gebaute Würfel, der auf x gebaute Würfel ist. Die Griechen betrachteten das Problem nicht als ein Problem in der Algebra, sondern als ein Problem in der Geometrie. Nach Hippokrates wurde das Problem der Verdoppelung des Würfels immer als das Problem angesehen, zwei Linien so zu finden, dass sie mittlere Proportionen zwischen G, der Länge der Seite des ursprünglichen Würfels, und D, einer Länge, die doppelt G ist, waren Diese Form des Problems lieferte Archytas als erste Lösung.

Die Lösung von Archytas wurde zu Recht als "die bemerkenswerteste von allen [die Lösungen]" und als "kühne Konstruktion in drei Dimensionen" bezeichnet (Heath 1921, 246); Mueller nennt es "Tour de Force der räumlichen Vorstellungskraft" (1997, 312 n. 23). Wir verdanken die Bewahrung der Lösung von Archytas Eutocius, der im sechsten Jahrhundert nach Christus im Rahmen seines Kommentars zum zweiten Buch von Archimedes 'On the Sphere and Cylinder elf Lösungen für das Problem sammelte. Eutocius 'Quelle für Archytas' Lösung war letztendlich Aristoteles 'Schüler Eudemus, der im späten vierten Jahrhundert v. Chr. Eine Geschichte der Geometrie schrieb. Die Lösung ist komplex und kann hier nicht Schritt für Schritt durchgearbeitet werden (siehe Huffman 2005, 342-360 für eine detaillierte Behandlung der Lösung). Archytas konstruiert eine Reihe von vier ähnlichen Dreiecken (siehe Abbildung 1 unten) und zeigt dann, dass die Seiten proportional sind, so dass AM: AI:: AI: AK:: AK: AD, wobei AM gleich der Seite des Originals war Würfel (G) und AD waren zweimal AM. Daher sollte der Würfel, der doppelt so groß ist wie das Volumen des Würfels auf AM, auf AI aufgebaut sein. Die eigentliche Schwierigkeit bestand darin, die vier ähnlichen Dreiecke zu konstruieren, wobei die gegebene Länge der Seite des ursprünglichen Würfels und eine Länge, die doppelt so groß war, zwei der Seiten in den ähnlichen Dreiecken waren. Der Schlüsselpunkt für die Konstruktion dieser Dreiecke, Punkt K, wurde als Schnittpunkt zweier rotierender ebener Figuren bestimmt. Die erste Figur ist ein Halbkreis, der senkrecht zur Ebene des Kreises ABDZ steht und am Durchmesser AED beginnt und sich mit festem Punkt A in Position AKD dreht. Das zweite ist das Dreieck APD, das sich aus der Ebene des Kreises ABDZ heraus dreht, um ALD zu positionieren. Wenn sich jede dieser Figuren dreht, zeichnet sie eine Linie auf der Oberfläche eines Halbzylinders, die senkrecht zur Ebene von ABDZ steht und ABD als Basis hat. Die Kühnheit und Vorstellungskraft der Konstruktion besteht darin, sich den Schnittpunkt am Punkt K der vom rotierenden Halbkreis auf der Oberfläche des Halbzylinders gezeichneten Linie mit der vom rotierenden Dreieck auf derselben Oberfläche gezeichneten Linie vorzustellen. Wir wissen einfach nicht, was Archytas dazu gebracht hat, dieses erstaunliche Kunststück der räumlichen Vorstellungskraft hervorzubringen, um die Dreiecke mit den Seiten in angemessenem Verhältnis zu konstruieren.die senkrecht zur Ebene von ABDZ ist und ABD als Basis hat. Die Kühnheit und Vorstellungskraft der Konstruktion besteht darin, sich den Schnittpunkt am Punkt K der vom rotierenden Halbkreis auf der Oberfläche des Halbzylinders gezeichneten Linie mit der vom rotierenden Dreieck auf derselben Oberfläche gezeichneten Linie vorzustellen. Wir wissen einfach nicht, was Archytas dazu gebracht hat, dieses erstaunliche Kunststück der räumlichen Vorstellungskraft hervorzubringen, um die Dreiecke mit den Seiten in angemessenem Verhältnis zu konstruieren.die senkrecht zur Ebene von ABDZ ist und ABD als Basis hat. Die Kühnheit und Vorstellungskraft der Konstruktion besteht darin, sich den Schnittpunkt am Punkt K der vom rotierenden Halbkreis auf der Oberfläche des Halbzylinders gezeichneten Linie mit der vom rotierenden Dreieck auf derselben Oberfläche gezeichneten Linie vorzustellen. Wir wissen einfach nicht, was Archytas dazu gebracht hat, dieses erstaunliche Kunststück der räumlichen Vorstellungskraft hervorzubringen, um die Dreiecke mit den Seiten in angemessenem Verhältnis zu konstruieren. Ich weiß nicht, was Archytas dazu gebracht hat, dieses erstaunliche Kunststück der räumlichen Vorstellungskraft hervorzubringen, um die Dreiecke mit den Seiten in angemessenem Verhältnis zu konstruieren. Ich weiß nicht, was Archytas dazu gebracht hat, dieses erstaunliche Kunststück der räumlichen Vorstellungskraft hervorzubringen, um die Dreiecke mit den Seiten in angemessenem Verhältnis zu konstruieren.

Abbildung 1

In der späteren Tradition soll Platon die Lösung von Archytas dafür kritisiert haben, „Konstruktionen anzusprechen, die Instrumente verwenden und mechanisch sind“(Plutarch, Table Talk VIII 2.1 [718e]; Marc. XIV 5-6). Platon argumentierte, dass der Wert der Geometrie und des Restes der Mathematik in ihrer Fähigkeit liege, die Seele vom vernünftigen in den verständlichen Bereich zu verwandeln. Der Würfel, mit dem sich die Geometrie befasst, ist kein physischer Würfel oder gar eine Zeichnung eines Würfels, sondern ein verständlicher Würfel, der zur Definition des Würfels passt, aber kein Sinnesobjekt ist. Durch den Einsatz physikalischer Instrumente, die „viel gemeinsames Handwerk erforderten“, und die Konstruktion von Maschinen zur Bestimmung der beiden mittleren Proportionen konzentrierte sich Archytas nicht auf die verständliche Welt, sondern auf die physikalische Welt und zerstörte damit den Wert der Geometrie. Plato'Der Streit mit Archytas ist eine bezaubernde Geschichte, aber es ist schwer, ihn mit der tatsächlichen Lösung von Archytas in Einklang zu bringen, die, wie wir gesehen haben, keine Instrumente oder Maschinen anspricht. Die Geschichte des Streits, über die erstmals im ersten Jahrhundert nach Christus in Plutarch berichtet wurde, ist auch schwer mit unserer frühesten Quelle für die Geschichte des Delian-Problems, Eratosthenes, zu vereinbaren. Eratosthenes hatte selbst ein Instrument zur Bestimmung der mittleren Proportionen erfunden, das Mesolab („Mean-Getter“), und er erzählt die Geschichte des Delian-Problems genau, um zu betonen, dass frühere Lösungen, einschließlich der von Archytas, in Form geometrischer Demonstrationen vorlagen. die nicht für praktische Zwecke eingesetzt werden konnten. Er bezeichnet Archytas 'Lösung ausdrücklich als Dysmêchana, "kaum mechanisch". Einige Gelehrte versuchen, Plutarchs und Eratosthenes 'zu versöhnenVersionen, indem sie sich auf ihre unterschiedlichen literarischen Ziele konzentrieren (Knorr 1986, 22; van der Waerden 1963, 161; Wolfer 1954, 12 ff.; Sachs 1917, 150); Einige schlagen vor, dass die Drehung des Halbkreises und des Dreiecks in Archytas 'Lösung als mechanisch angesehen werden könnte, da Bewegung beteiligt ist (Knorr 1986, 22). Es kann jedoch sein, dass Plutarchs Geschichte eines Streits zwischen Platon und Archytas über die Verwendung mechanischer Geräte in der Geometrie eine Erfindung der späteren Tradition ist (Riginos 1976, 146; Zhmud 1998, 217) und möglicherweise als eine Art Grundlage diente Mythos für die Wissenschaft der Mechanik, ein Mythos, der die Trennung von Mechanik und Philosophie als Ergebnis eines Streits zwischen zwei Philosophen erklärte. In der Republik kritisiert Platon die feste Geometrie seiner Zeit, aber seine Kritik erwähnt nicht den Einsatz von Instrumenten. Seine Kritik konzentriert sich stattdessen auf das Versagen, die feste Geometrie neben Geometrie und Astronomie zu einer kohärenten Disziplin zu entwickeln (528b-d). Diese Vernachlässigung der festen Geometrie wird auf das Versäumnis der griechischen Stadtstaaten zurückgeführt, diese schwierigen Studien zu Ehren durchzuführen, auf das Fehlen eines Direktors für die Organisation der Studien und auf die Arroganz der derzeitigen Experten auf diesem Gebiet, die sich nicht unterwerfen würden so ein Regisseur. Da Archytas 'Vervielfältigung des Würfels zeigt, dass er einer der führenden festen Geometer der Zeit ist, ist es schwer zu vermeiden, dass Platon ihn als einen der arroganten Experten betrachtete, der sich auf die Lösung charmanter Probleme konzentrierte, aber keine produzierte kohärente Disziplin der festen Geometrie. Da Archytas eine führende politische Figur in Tarentum war,Es ist auch möglich, dass Platon ihn dafür kritisierte, dass er Tarentum nicht zu einem Staat gemacht hatte, der eine solide Geometrie schätzte.

2.2 Musik und Mathematik

Eine der verblüffendsten Entdeckungen der frühen griechischen Wissenschaft war, dass die grundlegenden Intervalle der Musik, die Oktave, die vierte und die fünfte, ganzzahligen Verhältnissen der Saitenlänge entsprachen. Wenn wir also eine Saite der Länge x und dann eine Saite der Länge 2x zupfen, hören wir das Intervall einer Oktave zwischen den beiden Klängen. Wenn die beiden Saitenlängen im Verhältnis 4: 3 liegen, hören wir eine vierte und wenn das Verhältnis 3: 2 beträgt, hören wir eine fünfte. Diese Entdeckung, dass die Phänomene des musikalischen Klangs von ganzzahligen Verhältnissen bestimmt werden, muss eine zentrale Rolle in der pythagoreischen Konzeption gespielt haben, die zuerst von Philolaus ausgedrückt wurde, dass alle Dinge durch die Zahl bekannt sind (DK 44 B4). Der nächste Schritt in der harmonischen Theorie bestand darin, eine gesamte Oktavlängenskala in mathematischen Verhältnissen zu beschreiben. Die früheste derartige Beschreibung einer Skala findet sich in Philolaus fr. B6. Philolaus erkennt, dass die letzte Note eine Oktave über der ersten Note liegt, wenn wir das Intervall einer vierten Note von einer bestimmten Note und dann das Intervall einer fünften Note erhöhen. Die Oktave besteht also aus einer vierten und einer fünften. In mathematischen Begriffen werden die Verhältnisse, die das fünfte (3: 2) und vierte (4: 3) bestimmen, durch Multiplikation der Terme addiert und ergeben so eine Oktave (3: 2 x 4: 3 = 12: 6 = 2: 1).. Das Intervall zwischen der Note, die ein Viertel höher als die Startnote ist, und der Note, die ein Fünftel höher ist, wurde als Grundeinheit der Skala angesehen, der gesamte Ton, der dem Verhältnis von 9: 8 entsprach (Subtraktion der Verhältnisse ist durchgeführt durch Teilen der Terme oder Kreuzmultiplikation: 3: 2/4: 3 = 9: 8). Der fünfte wurde somit als vierter plus ganzer Ton angesehen,und die Oktave kann als zwei Viertel plus ein ganzer Ton angesehen werden. Der vierte besteht aus zwei ganzen Tönen mit einem Rest, der das unschöne Verhältnis von 256: 243 hat (4: 3/9: 8 = 32: 27/9: 8 = 256: 243). Philolaus 'Skala bestand also aus folgenden Intervallen: 9: 8, 9: 8, 256: 243 [diese drei Intervalle nehmen uns ein viertes auf], 9: 8, 9: 8, 9: 8, 256: 243 [diese vier Intervalle machen ein Fünftel aus und vervollständigen die Oktave aus unserer starrenden Note. Diese Skala ist als pythagoreische Diatonik bekannt und ist die Skala, die Platon beim Aufbau der Weltseele im Timaios (36a-b) annahm. Der Maßstab bestand also aus den folgenden Intervallen: 9: 8, 9: 8, 256: 243 [diese drei Intervalle nehmen uns ein viertes auf], 9: 8, 9: 8, 9: 8, 256: 243 [diese vier Intervalle ergeben bis ein Fünftel und vervollständige die Oktave von unserer starrenden Note]. Diese Skala ist als pythagoreische Diatonik bekannt und ist die Skala, die Platon beim Aufbau der Weltseele im Timaios (36a-b) annahm. Der Maßstab bestand also aus den folgenden Intervallen: 9: 8, 9: 8, 256: 243 [diese drei Intervalle nehmen uns ein viertes auf], 9: 8, 9: 8, 9: 8, 256: 243 [diese vier Intervalle ergeben bis ein Fünftel und vervollständige die Oktave von unserer starrenden Note]. Diese Skala ist als pythagoreische Diatonik bekannt und ist die Skala, die Platon beim Aufbau der Weltseele im Timaios (36a-b) annahm.

Archytas brachte die harmonische Theorie auf eine völlig neue Ebene der theoretischen und mathematischen Raffinesse. Ptolemaios, der im 2. Jahrhundert n. Chr. Schrieb, bezeichnet Archytas als „am meisten mit dem Studium der Musik beschäftigt, vor allem mit den Pythagoräern“(A16). Zunächst lieferte Archytas eine allgemeine Erklärung der Tonhöhe und argumentierte, dass die Tonhöhe eines Tons von der Geschwindigkeit abhängt, mit der sich der Ton ausbreitet und ausbreitet (B1). Wenn also ein Stock schnell hin und her bewegt wird, erzeugt er ein Geräusch, das sich schnell durch die Luft bewegt, was als eine höhere Tonhöhe wahrgenommen wird als das Geräusch, das von einem langsamer wehenden Stock erzeugt wird. Archytas hat Recht, Tonhöhe mit Geschwindigkeit zu assoziieren, aber er hat die Rolle der Geschwindigkeit falsch verstanden. Die Tonhöhe hängt nicht von der Geschwindigkeit ab, mit der ein Geräusch uns erreicht, sondern von der Häufigkeit der Stöße in einem bestimmten Zeitraum. Eine Saite, die schneller vibriert, erzeugt einen Klang mit einer höheren Tonhöhe, aber alle Klänge, unabhängig von der Tonhöhe, bewegen sich mit der gleichen Geschwindigkeit, wenn das Medium dasselbe ist. Obwohl Archytas 'Darstellung der Tonhöhe letztendlich falsch war, war sie sehr einflussreich. Es wurde sowohl von Platon als auch von Aristoteles übernommen und adaptiert und blieb in der Antike die vorherrschende Theorie (Barker 1989, 41 n. 47). Zweitens führte Archytas neue mathematische Strenge in die pythagoreischen Harmonischen ein. Eines der wichtigen Ergebnisse der Analyse von Musik im Hinblick auf ganzzahlige Verhältnisse ist die Erkenntnis, dass es nicht möglich ist, die grundlegenden musikalischen Intervalle in zwei Hälften zu teilen. Die Oktave ist nicht in zwei gleiche Hälften unterteilt, sondern in eine vierte und eine fünfte, die vierte nicht in zwei gleiche Hälften, sondern in zwei ganze Töne und einen Rest. Der gesamte Ton kann nicht in zwei gleiche Halbtöne unterteilt werden. Andererseits ist es möglich, eine Doppeloktave in zwei Hälften zu teilen. Mathematisch kann dies gesehen werden, indem erkannt wird, dass es möglich ist, einen Mittelwert proportional zwischen den Termen des Verhältnisses einzufügen, das der Doppeloktave (4: 1) entspricht, so dass 4: 2:: 2: 1. Die Doppeloktave kann somit geteilt werden in zwei gleiche Teile mit jeweils einem Verhältnis von 2: 1. Die Verhältnisse, die die musikalischen Grundintervalle bestimmen (2: 1, 4: 3, 3: 2, 9: 8), gehören alle zu einer Art von Verhältnis, das als Superpartikular bekannt ist Verhältnis - grob gesagt, Verhältnisse der Form (n + 1): n. Archytas leistete einen entscheidenden Beitrag, indem er einen strengen Beweis dafür lieferte, dass es keinen Mittelwert gibt, der zwischen den Zahlen im Superpartikularverhältnis (A19) proportional ist, und dass daher die musikalischen Grundintervalle nicht in zwei Hälften geteilt werden können. Archytas 'Der Beweis wurde später übernommen und in der Euklid zugeschriebenen Sectio Canonis leicht modifiziert (Prop. 3; siehe Barker 1989, 195).

Archytas 'letzter Beitrag zur Musiktheorie hat mit der Struktur der Skala zu tun. Die Griechen verwendeten eine Reihe verschiedener Skalen, die sich durch die Art und Weise unterschieden, wie das vierte oder Tetrachord konstruiert wurde. Diese Skalen wurden in drei Haupttypen oder Gattungen eingeteilt. Eine Gattung wurde diatonisch genannt; Ein Beispiel hierfür ist die oben beschriebene pythagoreische Diatonik, die auf dem Tetrachord mit den Intervallen 9: 8, 9: 8 und 256: 243 aufgebaut ist und von Philolaus und Platon verwendet wurde. Es besteht kein Zweifel, dass Archytas von dieser diatonischen Skala wusste, aber sein eigenes diatonisches Tetrachord war etwas anders und bestand aus den Intervallen 9: 8, 8: 7 und 28: 27. Archytas definierte auch Skalen in den beiden anderen Hauptgattungen, der Enharmonic und chromatisch. Archytas 'Enharmonic Tetrachord setzt sich aus den Intervallen 5: 4, 36: 35 und 28: zusammen.27 und sein chromatisches Tetrachord in den Intervallen 32: 27, 243: 224 und 28: 27. Es gibt mehrere Rätsel um die Tetrachords, die Archytas in jeder der Gattungen übernimmt. Erstens, warum lehnt Archytas die von Philolaus und Platon verwendete pythagoreische Diatonik ab? Zweitens argumentiert Ptolemaios, der unsere Hauptquelle für Archytas 'Tetrachorde ist (A16), dass Archytas als Prinzip angenommen hat, dass alle übereinstimmenden Intervalle superpartikulären Verhältnissen entsprechen sollten. Die Verhältnisse in Archytas 'diatonischen und Enharmonischen Tetrachorden sind zwar superpartikulär, aber zwei der Verhältnisse in seinem chromatischen Tetrachord sind nicht superpartikulär (32: 27 und 243: 224). Warum sind diese Verhältnisse nicht auch überpartikulär? Schließlich kritisiert Platon die pythagoreischen Harmonischen in der Republik dafür, dass sie Zahlen in gehörten Harmonien suchen, anstatt zu allgemeinen Problemen aufzusteigen (531c). Kann man diese Kritik angesichts der Tetrachorde von Archytas verstehen? Die Grundlage für eine Antwort auf all diese Fragen ist in den Arbeiten von Winnington-Ingram (1932) und Barker (1989, 46-52) enthalten. Der entscheidende Punkt ist, dass Archytas 'Bericht über die Tetrachorde in jeder der drei Gattungen gezeigt werden kann, dass er der musikalischen Praxis seiner Zeit entspricht; Die Kritik von Ptolemäus verfehlt das Ziel, weil er die musikalische Praxis zu Archytas 'Zeiten, etwa 500 Jahre vor Ptolemaios, nicht kannte (Winnington-Ingram 1932, 207). Archytas gibt mathematische Beschreibungen der tatsächlich verwendeten Skalen; Er kam zu seinen Zahlen teilweise durch Beobachtung der Art und Weise, wie Musiker ihre Instrumente stimmten (Barker 1989, 50-51). Er folgte nicht der pythagoreischen diatonischen Skala, weil sie keiner tatsächlich verwendeten Skala entsprach.obwohl es einer Abstimmungsmethode entspricht. Die ungewöhnlichen Zahlen in Archytas 'chromatischem Tetrachord entsprechen einer chromatischen Skala, die zu Archytas' Zeiten verwendet wurde. Barker versucht, Archytas 'Einhaltung des Prinzips zu retten, dass alle übereinstimmenden Intervalle superpartikuläre Verhältnisse haben sollten, aber es gibt keinen direkten Beweis dafür, dass er ein solches Prinzip verwendet hat, und Ptolemaios könnte sich irren, es auf ihn anzuwenden. Archytas liefert somit eine brillante Analyse der Musik seiner Zeit, aber genau sein Fokus auf die tatsächliche Musikpraxis zieht Platons Zorn auf sich. Platon möchte nicht, dass er sich auf die Musik konzentriert, die er über ihn hört („gehörte Harmonien“), sondern aufsteigt, um ganz abstrakte Fragen zu prüfen, welche Zahlen mit welchen harmonieren. Platon hätte durchaus ein Konkordanzprinzip begrüßen können, das ausschließlich auf mathematischen Überlegungen beruht, wie das Prinzip, dass nur superpartikuläre Verhältnisse übereinstimmen, aber Archytas wollte die Anzahl der Musik erklären, die er tatsächlich gespielt hat. Hier geht es um ein wichtiges metaphysisches Thema. Platon fordert das Studium der Zahl an sich, abgesehen von der sinnlichen Welt, während Archytas, wie die Pythagoräer vor ihm, keine Spaltung zwischen einer sinnlichen und einer verständlichen Welt vorsieht und nach den Zahlen sucht, die sinnliche Dinge regieren.abgesehen von der vernünftigen Welt, während Archytas, wie Pythagoräer vor ihm, keine Trennung zwischen einer vernünftigen und einer verständlichen Welt vorsieht und nach den Zahlen sucht, die vernünftige Dinge regieren.abgesehen von der vernünftigen Welt, während Archytas, wie Pythagoräer vor ihm, keine Trennung zwischen einer vernünftigen und einer verständlichen Welt vorsieht und nach den Zahlen sucht, die vernünftige Dinge regieren.

2.3 Bewertung von Archytas als Mathematiker

Es gab Tendenzen, Archytas 'Leistung als Mathematiker sowohl zu über- als auch zu unterbewerten. Van der Waerden ging so weit, Archytas 'Leistungen sowohl das Buch VIII der Euklidischen Elemente als auch die Abhandlung über die Mathematik der Musik, bekannt als Sectio Canonis, hinzuzufügen, die Euklid in der alten Tradition zugeschrieben wird (1962, 152-5). Obwohl spätere Gelehrte (z. B. Knorr 1975: 244) diese Behauptungen wiederholen, basieren sie teilweise auf einer sehr subjektiven Analyse des Stils von Archytas. Archytas beeinflusste die Sectio Canonis, da Satz 3 auf einem Beweis von Archytas (A19) basiert, die Abhandlung jedoch nicht von Archytas, da sich seine Tonhöhenlehre und seine Darstellung der diatonischen und Enharmonischen Tetrachorde von denen von Archytas unterscheiden. Andererseits haben einige Gelehrte Zweifel an Archytas 'Können als Mathematiker und argumentieren, dass einige seiner Arbeiten wie „bloße Arithmologie“und „mathematische Mystifizierung“aussehen (Burkert 1972a, 386; Mueller 1997, 289). Dieses Urteil beruht größtenteils auf einem Text, der fälschlicherweise so interpretiert wurde, dass er die eigenen Ansichten von Archytas darstellt, während er tatsächlich den Bericht von Archytas über seine Vorgänger enthält (A17). Die Verdoppelung des Würfels und die Beiträge von Archytas zur Mathematik der Musik zeigen, dass es keinen Zweifel daran gibt, dass er einer der führenden Mathematiker der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts vor Christus war. Dies war sicherlich das Urteil der Antike. In seiner Geschichte der Geometrie identifizierte Eudemus Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14).argumentieren, dass einige seiner Arbeiten wie "bloße Arithmologie" und "mathematische Mystifizierung" aussehen (Burkert 1972a, 386; Mueller 1997, 289). Dieses Urteil beruht größtenteils auf einem Text, der fälschlicherweise so interpretiert wurde, dass er die eigenen Ansichten von Archytas darstellt, während er tatsächlich den Bericht von Archytas über seine Vorgänger enthält (A17). Die Verdoppelung des Würfels und die Beiträge von Archytas zur Mathematik der Musik zeigen, dass es keinen Zweifel daran gibt, dass er einer der führenden Mathematiker der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts vor Christus war. Dies war sicherlich das Urteil der Antike. In seiner Geschichte der Geometrie identifizierte Eudemus Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14).argumentieren, dass einige seiner Arbeiten wie "bloße Arithmologie" und "mathematische Mystifizierung" aussehen (Burkert 1972a, 386; Mueller 1997, 289). Dieses Urteil beruht größtenteils auf einem Text, der fälschlicherweise so interpretiert wurde, dass er die eigenen Ansichten von Archytas darstellt, während er tatsächlich den Bericht von Archytas über seine Vorgänger enthält (A17). Die Verdoppelung des Würfels und die Beiträge von Archytas zur Mathematik der Musik zeigen, dass es keinen Zweifel daran gibt, dass er einer der führenden Mathematiker der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts vor Christus war. Dies war sicherlich das Urteil der Antike. In seiner Geschichte der Geometrie identifizierte Eudemus Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14). Mueller 1997, 289). Dieses Urteil beruht größtenteils auf einem Text, der fälschlicherweise so interpretiert wurde, dass er die eigenen Ansichten von Archytas darstellt, während er tatsächlich den Bericht von Archytas über seine Vorgänger enthält (A17). Die Verdoppelung des Würfels und die Beiträge von Archytas zur Mathematik der Musik zeigen, dass es keinen Zweifel daran gibt, dass er einer der führenden Mathematiker der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts vor Christus war. Dies war sicherlich das Urteil der Antike. In seiner Geschichte der Geometrie identifizierte Eudemus Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14). Mueller 1997, 289). Dieses Urteil beruht größtenteils auf einem Text, der fälschlicherweise so interpretiert wurde, dass er die eigenen Ansichten von Archytas darstellt, während er tatsächlich den Bericht von Archytas über seine Vorgänger enthält (A17). Die Verdoppelung des Würfels und die Beiträge von Archytas zur Mathematik der Musik zeigen, dass es keinen Zweifel daran gibt, dass er einer der führenden Mathematiker der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts vor Christus war. Dies war sicherlich das Urteil der Antike. In seiner Geschichte der Geometrie identifizierte Eudemus Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14). Bericht seiner Vorgänger (A17). Die Verdoppelung des Würfels und die Beiträge von Archytas zur Mathematik der Musik zeigen, dass es keinen Zweifel daran gibt, dass er einer der führenden Mathematiker der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts vor Christus war. Dies war sicherlich das Urteil der Antike. In seiner Geschichte der Geometrie identifizierte Eudemus Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14). Bericht seiner Vorgänger (A17). Die Verdoppelung des Würfels und die Beiträge von Archytas zur Mathematik der Musik zeigen, dass es keinen Zweifel daran gibt, dass er einer der führenden Mathematiker der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts vor Christus war. Dies war sicherlich das Urteil der Antike. In seiner Geschichte der Geometrie identifizierte Eudemus Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14). Eudemus identifizierte Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14). Eudemus identifizierte Archytas zusammen mit Leodamas und Theaetetus als die drei bekanntesten Mathematiker der Generation Platons (A6 = Proclus, in Eukl., Prol. II 66, 14).

3. Archytas über die Wissenschaften

3.1 Der Wert der Wissenschaften

Archytas B1 ist der Anfang seines Buches über Harmonische, und das meiste davon ist den Grundprinzipien seiner Theorie der Akustik und insbesondere seiner in Abschnitt 2.2 beschriebenen Theorie der Tonhöhe gewidmet. In den ersten fünf Zeilen liefert Archytas jedoch einen Überblick über den Wert der Wissenschaften (mathêmata) im Allgemeinen. Es gibt mehrere wichtige Merkmale dieses Proems. Zunächst identifiziert Archytas eine Reihe von vier Wissenschaften: Astronomie, Geometrie, „Logistik“(Arithmetik) und Musik. B1 ist somit der früheste Text zur Identifizierung der Wissenschaften, die im Mittelalter als Quadrivium bekannt wurden und vier der sieben freien Künste ausmachen. Zweitens präsentiert Archytas diese Klassifizierung der Wissenschaften nicht als seine eigene Entdeckung, sondern beginnt mit dem Lob seiner Vorgänger, die auf diesen Gebieten gearbeitet haben. Einige Gelehrte argumentieren, dassWenn er "diejenigen, die sich mit den Wissenschaften befassen" lobt, denkt er nur an die Pythagoräer (z. B. Zhmud 1997, 198 und Lasserre 1954, 36), aber dies ist fälschlicherweise anzunehmen, dass die gesamte frühe griechische Mathematik Pythagoräer ist. Archytas gibt keinen Hinweis darauf, dass er seine Ausführungen auf Pythagoreer beschränkt, und in Bereichen, in denen wir diejenigen identifizieren können, die ihn am meisten beeinflusst haben, sind diese Zahlen nicht auf Pythagoreer beschränkt (z. B. Hippokrates von Chios in der Geometrie, siehe Abschnitt 2.1). Er lobt seine Vorgänger in den Wissenschaften, weil sie, nachdem sie die Natur der Ganzen gut erkannt hatten, wahrscheinlich auch gut sehen konnten, wie die Dinge in ihren Teilen sind, und „das richtige Verständnis für einzelne Dinge haben, wie sie sind“. Hier bringt Archytas sein eigenes Verständnis der Natur und des Wertes der Wissenschaften zum Ausdruck; wegen der Kürze der Passage,vieles bleibt unklar. Archytas scheint diejenigen zu loben, die sich mit den Wissenschaften befassen, für ihr Urteilsvermögen, ihre Fähigkeit, Unterscheidungen zu treffen (diagignôskein). Er argumentiert, dass sie zunächst die Natur des Ganzen, die universellen Konzepte einer Wissenschaft unterscheiden und, weil sie dies gut tun, bestimmte Objekte (die Teile) verstehen können. Archytas scheint in seinen Harmonischen genau diesem Verfahren zu folgen. Er beginnt mit der Definition des universellsten Konzepts der Wissenschaft, des Klangs, und erklärt es anhand anderer Konzepte wie der Auswirkung, bevor er zwischen hörbaren und unhörbaren Klängen und Klängen mit hoher und niedriger Tonhöhe unterscheidet. Das Ziel der Wissenschaft ist jedoch nicht die Unterscheidung zwischen universellen Konzepten, sondern die Kenntnis der wahren Natur einzelner Dinge. So ist Archytas 'Die Harmonischen enden mit der mathematischen Beschreibung der musikalischen Intervalle, die wir von praktizierenden Musikern hören (siehe Abschnitt 2.2 oben). Die Astronomie endet mit einer mathematischen Beschreibung der Perioden, Aufstiege und Einstellungen der Planeten. Eine Möglichkeit, Archytas 'Projekt zu verstehen, besteht darin, ihn als Ausarbeitung des von seinem Vorgänger in der pythagoreischen Tradition, Philolaus, vorgeschlagenen Programms zu sehen. Eine zentrale These von Philolaus war, dass wir die Dinge nur insoweit kennenlernen, als wir sie zahlenmäßig beschreiben können (DK 44 B4). Während Philolaus in diesem Projekt nur die ersten Schritte unternahm, ist Archytas viel erfolgreicher darin, einzelne Dinge in der phänomenalen Welt in Zahlen darzustellen, wie seine Beschreibung der musikalischen Intervalle zeigt.

Platons Bericht über die Wissenschaften in Buch VII der Republik kann als Antwort auf Archytas 'Sicht der Wissenschaften angesehen werden. First Plato identifiziert eine Gruppe von fünf statt vier Wissenschaften und kritisiert die Vernachlässigung seiner vorgeschlagenen fünften Wissenschaft, der Stereometrie (feste Geometrie), mit einer wahrscheinlichen Anspielung auf Archytas (siehe Abschnitt 2.1). Platon zitiert mit Zustimmung Archytas 'Behauptung, dass „diese Wissenschaften verwandt zu sein scheinen“(B1), obwohl er sie nur auf Harmonische und Astronomie anwendet und nicht auf Archytas' Quadrivium und ihn nicht namentlich erwähnt. In derselben Passage lehnt Platon jedoch den pythagoreischen Versuch, in „gehörten Harmonien“nach Zahlen zu suchen, ausdrücklich ab. Dabei widerspricht Platon dem Versuch von Archytas, die Zahlen zu bestimmen, die die Dinge in der vernünftigen Welt regieren. Für PlatonDer Wert der Wissenschaften ist ihre Fähigkeit, das Auge der Seele vom vernünftigen zum verständlichen Bereich zu lenken. Das Buch VII der Republik mit seinem ausführlichen Argument für die Unterscheidung zwischen dem verständlichen und dem vernünftigen Bereich, zwischen der Höhle und der verständlichen Welt außerhalb der Höhle könnte zum großen Teil auf Archytas 'Versuch gerichtet sein, die sinnliche Welt mithilfe der Mathematik zu erklären. Wie Aristoteles wiederholt betont, unterschieden sich die Pythagoräer von Platon genau darin, dass sie sich weigerten, Zahlen von Dingen zu trennen (z. B. Metaph. 987b27). Versuch, mit Mathematik die sinnliche Welt zu erklären. Wie Aristoteles wiederholt betont, unterschieden sich die Pythagoräer von Platon genau darin, dass sie sich weigerten, Zahlen von Dingen zu trennen (z. B. Metaph. 987b27). Versuch, mit Mathematik die sinnliche Welt zu erklären. Wie Aristoteles wiederholt betont, unterschieden sich die Pythagoräer von Platon genau darin, dass sie sich weigerten, Zahlen von Dingen zu trennen (z. B. Metaph. 987b27).

3.2 Logistik als Master Science

In B4 behauptet Archytas, dass "die Logistik den anderen Künsten in Bezug auf Weisheit weit überlegen zu sein scheint". Was bedeutet Archytas unter "logistisch"? Es scheint Archytas 'Begriff für die Wissenschaft der Zahl zu sein, der als eine der vier Schwesterwissenschaften in B1 erwähnt wurde. In B4 oder anderen Texten von Archytas gibt es einfach nicht genug Kontext, um die Bedeutung der Logistik allein aus der Verwendung von Archytas zu bestimmen. Es ist notwendig, sich in gewissem Maße auf Platon zu verlassen, der die einzige andere frühe Figur ist, die den Begriff ausgiebig verwendet. Eine spätere Auffassung von Logistik als etwas, das sich eher mit nummerierten Dingen als mit Zahlen selbst befasst und beispielsweise in Geminus zu finden ist, sollte nicht Platon oder Archytas zugeschrieben werden (Klein 1968; Burkert 1972a, 447 n. 119). In Platon kann sich „Logistik“auf die tägliche Berechnung beziehen, die wir als Arithmetik bezeichnen würden (z. B. 3 x 700 = 2,100; siehe, Hp. Mi. Nr. 366c). In anderen Passagen definiert Platon jedoch die Logistik parallel zur Arithmêtikê und behandelt die beiden als zusammen die Wissenschaft der Zahl bildend, auf der die praktische Manipulation der Zahl beruht (Klein 1968, 23-24). Sowohl Arithmêtikê als auch Logistik beschäftigen sich mit dem Geraden und dem Ungeraden. Arithmêtikê konzentriert sich nicht auf Mengen, sondern auf Arten von Zahlen (Grg. 451b), beginnend mit dem Geraden und dem Ungeraden und vermutlich weiter mit den Typen, die wir später in Nicomachus finden (Ar. 1.8 - 1.13), wie Primzahl, Komposit und Gerade. mal sogar. Die Logistik hingegen konzentriert sich auf die Quantität, die „Menge, die ungerade und gerade sowohl an sich als auch in Bezug aufeinander haben“(Grg. 451c). Ein Beispiel für einen Teil der Logistik könnte das Studium verschiedener Arten von Mitteln und Proportionen sein.die sich auf die quantitativen Beziehungen von Zahlen zueinander konzentrieren (z. B. Nicomachus, Ar. II. 21 ff.). In B2 würde Archytas sich wahrscheinlich als logistisch betrachten, wenn er die drei Arten von Mitteln definiert, die für die Musik relevant sind (geometrisch, arithmetisch und harmonisch). Das geometrische Mittel entsteht immer dann, wenn drei Terme so verwandt sind, dass, wie der erste auf den zweiten, der zweite auf den dritten (z. B. 8: 4:: 4: 2) und die Arithmetik, wenn drei Terme so verwandt sind, dass die Das erste überschreitet das zweite um den gleichen Betrag wie das zweite den dritten (z. B. 6: 4:: 4: 2). Archytas verwendet wie Platon (R. 525c) die Logistik nicht nur in diesem engen Sinne der Untersuchung der relativen Quantität, sondern auch, um die gesamte Wissenschaft der Zahlen einschließlich der Arithmêtikê zu bezeichnen. Archytas würde sich wahrscheinlich als logistisch betrachten, wenn er die drei Arten von Mitteln definiert, die für die Musik relevant sind (geometrisch, arithmetisch und harmonisch). Das geometrische Mittel entsteht immer dann, wenn drei Terme so verwandt sind, dass, wie der erste auf den zweiten, der zweite auf den dritten (z. B. 8: 4:: 4: 2) und die Arithmetik, wenn drei Terme so verwandt sind, dass die Das erste überschreitet das zweite um den gleichen Betrag wie das zweite den dritten (z. B. 6: 4:: 4: 2). Archytas verwendet wie Platon (R. 525c) die Logistik nicht nur in diesem engen Sinne der Untersuchung der relativen Quantität, sondern auch, um die gesamte Wissenschaft der Zahlen einschließlich der Arithmêtikê zu bezeichnen. Archytas würde sich wahrscheinlich als logistisch betrachten, wenn er die drei Arten von Mitteln definiert, die für die Musik relevant sind (geometrisch, arithmetisch und harmonisch). Das geometrische Mittel entsteht immer dann, wenn drei Terme so verwandt sind, dass, wie der erste auf den zweiten, der zweite auf den dritten (z. B. 8: 4:: 4: 2) und die Arithmetik, wenn drei Terme so verwandt sind, dass die Das erste überschreitet das zweite um den gleichen Betrag wie das zweite den dritten (z. B. 6: 4:: 4: 2). Archytas verwendet wie Platon (R. 525c) die Logistik nicht nur in diesem engen Sinne der Untersuchung der relativen Quantität, sondern auch, um die gesamte Wissenschaft der Zahlen einschließlich der Arithmêtikê zu bezeichnen. Das geometrische Mittel entsteht immer dann, wenn drei Terme so verwandt sind, dass, wie der erste auf den zweiten, der zweite auf den dritten (z. B. 8: 4:: 4: 2) und die Arithmetik, wenn drei Terme so verwandt sind, dass die Das erste überschreitet das zweite um den gleichen Betrag wie das zweite den dritten (z. B. 6: 4:: 4: 2). Archytas verwendet wie Platon (R. 525c) die Logistik nicht nur in diesem engen Sinne der Untersuchung der relativen Quantität, sondern auch, um die gesamte Wissenschaft der Zahlen einschließlich der Arithmêtikê zu bezeichnen. Das geometrische Mittel entsteht immer dann, wenn drei Terme so verwandt sind, dass, wie der erste auf den zweiten, der zweite auf den dritten (z. B. 8: 4:: 4: 2) und die Arithmetik, wenn drei Terme so verwandt sind, dass die Das erste überschreitet das zweite um den gleichen Betrag wie das zweite den dritten (z. B. 6: 4:: 4: 2). Archytas verwendet wie Platon (R. 525c) die Logistik nicht nur in diesem engen Sinne der Untersuchung der relativen Quantität, sondern auch, um die gesamte Wissenschaft der Zahlen einschließlich der Arithmêtikê zu bezeichnen.verwendet Logistik nicht nur in diesem engen Sinne der Untersuchung der relativen Quantität, sondern auch, um die gesamte Wissenschaft der Zahlen einschließlich der Arithmêtikê zu bezeichnen.verwendet Logistik nicht nur in diesem engen Sinne der Untersuchung der relativen Quantität, sondern auch, um die gesamte Wissenschaft der Zahlen einschließlich der Arithmêtikê zu bezeichnen.

Warum glaubt Archytas, dass die Logistik den anderen Wissenschaften überlegen ist? In B4 vergleicht er es insbesondere mit der Geometrie und argumentiert, dass die Logistik 1) „lebhafter mit dem umgeht, was sie wünscht als die Geometrie“und 2) „Demonstrationen abschließt“, bei denen die Geometrie dies nicht kann, selbst „wenn es Untersuchungen zu Formen gibt“. Diese letzte Bemerkung ist überraschend, da das Studium von Formen die richtige Domäne der Geometrie zu sein scheint. Die gebräuchlichste Art, Archytas 'Bemerkung zu erklären, ist die Annahme, dass er argumentiert, dass die Logistik der Geometrie mathematisch überlegen ist, da bestimmte Beweise nur durch einen Aufruf an die Logistik vervollständigt werden können. Burkert sieht darin einen Grund, die Echtheit des Fragments anzuzweifeln, da das genaue Gegenteil der Fall zu sein scheint. Archytas konnte die Kubikwurzel von zwei geometrisch bestimmen,durch seine Lösung zur Vervielfältigung des Würfels, konnte dies aber nicht arithmetisch tun, da die Kubikwurzel von zwei eine irrationale Zahl ist (1972a, 220 n. 14). Andere Wissenschaftler haben jedoch darauf hingewiesen, dass bestimmte Beweise in der Geometrie einen Appell an die Logistik erfordern (Knorr 1975, 311; Mueller 1992b, 90 n. 12), z. B. ist die Logistik erforderlich, um die Inkomensurierbarkeit der Diagonale mit der Seite von zu erkennen das Quadrat, da Inkommensurabilität entsteht, wenn zwei Größen „nicht das Verhältnis haben, das Zahl zu Zahl hat“(Euklid X 7). Diese Vorschläge zeigen, dass die Logistik in bestimmten Fällen der Geometrie überlegen sein kann, erklären jedoch nicht die allgemeinere Behauptung von Archytas, dass die Logistik die gewünschten Probleme klarer als die Geometrie behandelt.da die Kubikwurzel von zwei eine irrationale Zahl ist (1972a, 220 n. 14). Andere Wissenschaftler haben jedoch darauf hingewiesen, dass bestimmte Beweise in der Geometrie einen Appell an die Logistik erfordern (Knorr 1975, 311; Mueller 1992b, 90 n. 12), z. B. ist die Logistik erforderlich, um die Inkomensurierbarkeit der Diagonale mit der Seite von zu erkennen das Quadrat, da Inkommensurabilität entsteht, wenn zwei Größen „nicht das Verhältnis haben, das Zahl zu Zahl hat“(Euklid X 7). Diese Vorschläge zeigen, dass die Logistik in bestimmten Fällen der Geometrie überlegen sein kann, erklären jedoch nicht die allgemeinere Behauptung von Archytas, dass die Logistik die gewünschten Probleme klarer als die Geometrie behandelt.da die Kubikwurzel von zwei eine irrationale Zahl ist (1972a, 220 n. 14). Andere Wissenschaftler haben jedoch darauf hingewiesen, dass bestimmte Beweise in der Geometrie einen Appell an die Logistik erfordern (Knorr 1975, 311; Mueller 1992b, 90 n. 12), z. B. ist die Logistik erforderlich, um die Inkomensurierbarkeit der Diagonale mit der Seite von zu erkennen das Quadrat, da Inkommensurabilität entsteht, wenn zwei Größen „nicht das Verhältnis haben, das Zahl zu Zahl hat“(Euklid X 7). Diese Vorschläge zeigen, dass die Logistik in bestimmten Fällen der Geometrie überlegen sein kann, erklären jedoch nicht die allgemeinere Behauptung von Archytas, dass die Logistik die gewünschten Probleme klarer als die Geometrie behandelt.zB ist eine Logistik erforderlich, um die Inkomensurierbarkeit der Diagonale mit der Seite des Quadrats zu erkennen, da Inkommensurabilität entsteht, wenn zwei Größen „nicht das Verhältnis haben, das Zahl zu Zahl hat“(Euklid X 7). Diese Vorschläge zeigen, dass die Logistik in bestimmten Fällen der Geometrie überlegen sein kann, erklären jedoch nicht die allgemeinere Behauptung von Archytas, dass die Logistik die gewünschten Probleme klarer als die Geometrie behandelt.zB ist eine Logistik erforderlich, um die Inkomensurierbarkeit der Diagonale mit der Seite des Quadrats zu erkennen, da Inkommensurabilität entsteht, wenn zwei Größen „nicht das Verhältnis haben, das Zahl zu Zahl hat“(Euklid X 7). Diese Vorschläge zeigen, dass die Logistik in bestimmten Fällen der Geometrie überlegen sein kann, erklären jedoch nicht die allgemeinere Behauptung von Archytas, dass die Logistik die gewünschten Probleme klarer als die Geometrie behandelt.allgemeinere Behauptung, dass sich die Logistik klarer mit allen gewünschten Problemen befasst als die Geometrie.allgemeinere Behauptung, dass sich die Logistik klarer mit allen gewünschten Problemen befasst als die Geometrie.

Es kann jedoch sein, dass B4 die Logistik tatsächlich nicht mit den anderen Wissenschaften als Wissenschaften vergleicht - im Hinblick auf ihren relativen Erfolg bei der Bereitstellung von Demonstrationen. Der Titel der Arbeit, aus der B4 stammen soll, Diskurse (Diatribai), wird am häufigsten für ethische Abhandlungen verwendet. Darüber hinaus gilt die Logistik speziell in Bezug auf Weisheit (Sophia) als überlegen, und während Sophia sich auf technisches Fachwissen beziehen kann, bezieht sie sich häufiger auf die höchste Art von intellektueller Exzellenz, oft auf die Exzellenz, die uns das Leben ermöglicht ein gutes Leben (Arist., EN 1141a12; Pl., R. 428d ff.). Gibt es einen Sinn, in dem uns die Logistik klüger macht als die anderen Wissenschaften? Da Archytas offenbar mit Philolaus übereinstimmte, dass wir einzelne Dinge auf der Welt nur insoweit verstehen, als wir die Zahlen erfassen, die sie regieren,Es erscheint durchaus plausibel, dass Archytas die Logistik als die Wissenschaft betrachtet, die uns über die Welt weise macht. In diesem Sinne ist die Logistik der Geometrie immer überlegen, auch wenn es um Formen geht. Die vielleicht berühmteste Statue der klassischen Zeit ist der Doryphoros des argiven Bildhauers Polyclitus, den er auch als Canon (dh Standard) bezeichnete. Obwohl Polyclitus zweifellos die Geometrie bei der Konstruktion dieser großartigen Form verwendet hat, behauptet er in einem berühmten Satz aus seinem Buch mit dem Titel Canon, dass seine Statue nicht durch viele Formen, sondern „durch viele Zahlen“entstanden ist (DK40 B2, siehe Huffman 2002a)). Geometrische Beziehungen allein bestimmen nicht die Form eines bestimmten Objekts, wir müssen bestimmte Proportionen, bestimmte Zahlen zuweisen. Archytas glaubte auch, dass Zahlen und Logistik die Grundlage des gerechten Staates und damit des guten Lebens seien. In B3 argumentiert er, dass es die rationale Berechnung (Logismos) ist, die die Fairness erzeugt, von der der Staat abhängt. Gerechtigkeit ist eine Beziehung, die numerisch angegeben werden muss, und durch eine solche Aussage können Arm und Reich zusammenleben, wobei jeder sieht, dass er das hat, was fair ist. Die Logistik wird den anderen Wissenschaften immer überlegen sein, denn diese Wissenschaften werden sich letztendlich auf Zahlen stützen, um uns Wissen über die Geräusche zu geben, die wir hören, die Formen, die wir sehen und die Bewegungen der Himmelskörper, die wir beobachten. Gerechtigkeit ist eine Beziehung, die numerisch angegeben werden muss, und durch eine solche Aussage können Arm und Reich zusammenleben, wobei jeder sieht, dass er das hat, was fair ist. Die Logistik wird den anderen Wissenschaften immer überlegen sein, denn diese Wissenschaften werden sich letztendlich auf Zahlen stützen, um uns Wissen über die Geräusche zu geben, die wir hören, die Formen, die wir sehen und die Bewegungen der Himmelskörper, die wir beobachten. Gerechtigkeit ist eine Beziehung, die numerisch angegeben werden muss, und durch eine solche Aussage können Arm und Reich zusammenleben, wobei jeder sieht, dass er das hat, was fair ist. Die Logistik wird den anderen Wissenschaften immer überlegen sein, denn diese Wissenschaften werden sich letztendlich auf Zahlen stützen, um uns Wissen über die Geräusche zu geben, die wir hören, die Formen, die wir sehen und die Bewegungen der Himmelskörper, die wir beobachten.

3.3 Optik und Mechanik

Aristoteles ist der erste griechische Autor, der die Wissenschaften der Optik und Mechanik erwähnt und die Optik als eine der Geometrie untergeordnete Wissenschaft und die Mechanik als eine der festen Geometrie untergeordnete Wissenschaft beschreibt (APo. 78b34). Archytas erwähnt weder diese Wissenschaften in B1, wenn er die Arbeit seiner Vorgänger in den Wissenschaften beschreibt, noch Platon erwähnt sie. Dieses Schweigen deutet darauf hin, dass sich die beiden Disziplinen möglicherweise in der ersten Hälfte des vierten Jahrhunderts entwickelt haben, als Archytas am aktivsten war, und dass er möglicherweise eine wichtige Rolle bei der Entwicklung beider Disziplinen gespielt hat. In einem kürzlich identifizierten Fragment aus seinem Buch über die Pythagoräer (Iamblichus, Comm. Math. XXV; siehe Burkert 1972a, 50 n. 112) weist Aristoteles der Optik im Pythagoräismus eine bisher nicht anerkannte Bedeutung zu. So wie die Pythagoräer von der Tatsache beeindruckt waren, dass musikalische Intervalle auf ganzzahligen Verhältnissen basierten, so waren sie beeindruckt, dass die Phänomene der Optik durch geometrische Diagramme erklärt werden konnten. Archytas war nicht nur ein versierter Mathematiker, sondern hatte auch eine Visionstheorie und versuchte offensichtlich, einige der Phänomene zu erklären, die mit Spiegeln verbunden sind. Im Gegensatz zu Platon, der argumentierte, dass der vom Auge ausgehende visuelle Strahl die Unterstützung von externem Licht erfordert und mit diesem verschmilzt, erklärte Archytas das Sehen nur anhand des visuellen Strahls (A25). Es ist daher verlockend anzunehmen, dass Archytas eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der mathematisch basierten pythagoreischen Optik gespielt hat, auf die sich Aristoteles bezieht. Wenn Aristoteles sich andererseits auf Pythagoräer bezieht, meint er im Allgemeinen Pythagoräer des fünften Jahrhunderts. An anderer Stelle behandelt er Archytas unabhängig von der pythagoreischen Tradition und schreibt Werke über Archytas, die sich von seiner Arbeit über die Pythagoreer unterscheiden. Es wäre daher natürlicher, Aristoteles 'Hinweis auf die pythagoreische Optik als Anspielung auf pythagoreische Optiken des 5. Jahrhunderts wie Philolaus zu lesen. Archytas wird dann dafür verantwortlich sein, eine bereits existierende pythagoreische optische Tradition zu einer Wissenschaft zu entwickeln, anstatt eine solche Tradition zu gründen. Archytas wird dann dafür verantwortlich sein, eine bereits existierende pythagoreische optische Tradition zu einer Wissenschaft zu entwickeln, anstatt eine solche Tradition zu gründen. Archytas wird dann dafür verantwortlich sein, eine bereits existierende pythagoreische optische Tradition zu einer Wissenschaft zu entwickeln, anstatt eine solche Tradition zu gründen.

Diogenes Laertius berichtet, dass Archytas „der erste war, der die Mechanik mithilfe mathematischer erster Prinzipien systematisierte“(VIII 83 = A1), und Archytas wird dementsprechend manchmal von modernen Gelehrten als Begründer der Wissenschaft der Mechanik gepriesen. Es gibt jedoch ein Rätsel, da kein antiker griechischer Autor in der späteren mechanischen Tradition (z. B. Heron, Pappus, Archimedes, Philon) Archytas jemals eine Arbeit auf diesem Gebiet zuschreibt. Was meinten die Alten mit Mechanik? Eine grobe Definition wäre "die Beschreibung und Erklärung des Betriebs von Maschinen" (Knorr, Oxford Classical Dictionary, Hrsg. 3, sv). Die früheste Abhandlung in der Mechanik, die Aristoteles zugeschriebenen mechanischen Probleme, beginnt mit Problemen, die mit einer einfachen Maschine, dem Hebel, zu tun haben. Pappus (320 n. Chr.) Bezieht sich auf Maschinen zum Heben großer Gewichte. Kriegsmaschinen wie das Katapult, Wasserhebemaschinen, erstaunliche Geräte (Automaten) und Maschinen, die als Modelle des Himmels dienten (1024.12 - 1025.4, auf Pappus, siehe Cuomo 2000). Pappus betont jedoch, dass es neben diesem praktischen Teil der Mechanik einen theoretischen Teil gibt, der stark mathematisch ist (1022. 13-15). Angesichts seines Interesses an der Beschreibung physikalischer Phänomene in mathematischen Begriffen mag es logisch erscheinen, dass Archytas wichtige Beiträge zur Mechanik leisten würde. Die tatsächlichen Beweise sind weniger schlüssig. Ein großer Teil der Tendenz, Archytas eine Rolle bei der Entwicklung der Mechanik zuzuweisen, lässt sich auf Plutarchs Geschichte über den Streit zwischen Platon und Archytas über Archytas 'angebliche mechanische Lösung des Problems der Verdoppelung des Würfels zurückführen. Diese Geschichte ist wahrscheinlich falsch (siehe 2.1 oben). Einige Gelehrte haben argumentiert, dass Archytas Kriegsmaschinen entwickelt hat (Diels 1965; Cambiano 1998), wie Archimedes später, aber diese Schlussfolgerung basiert auf fragwürdigen Schlussfolgerungen, und keine alte Quelle schreibt Archytas solche Maschinen zu. Das einzige mechanische Gerät, das Archytas mit einiger Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden kann, ist neben dem als „Klöppel“(A10) bekannten Kinderspielzeug ein Automat in Form eines Holzvogels, der mit einer Rolle und einem Gegengewicht verbunden ist und „flog“. von einer niedrigeren zu einer höheren Barsch aufsteigen, wenn sie durch einen Luftstoß (A10a) in Bewegung gesetzt wird. Der komplizierende Faktor hierbei ist, dass Diogenes Laertius (A1) berichtet, dass ein Buch über Mechanik im Umlauf war, von dem einige glaubten, dass es von einem anderen Archytas stammt, so dass es möglich ist, dass die fliegende Taube tatsächlich das Werk von a ist separate Archytas. Archytas 'Die Lösung für die Vervielfältigung des Würfels war für die Mechanik von enormer Bedeutung, obwohl sie selbst nicht mechanisch war, da die Lösung des Problems es ermöglicht, nicht nur einen Würfel zu verdoppeln, sondern auch Körper zu konstruieren, die größer oder kleiner als ein bestimmter Körper sind in einem bestimmten Verhältnis. Die Lösung ermöglicht somit den Bau einer Großmaschine auf Basis eines Arbeitsmodells. Pappus nennt die Lösung für die Vervielfältigung des Würfels als einen der drei wichtigsten geometrischen Sätze für die praktische Mechanik (Math. Coll. 1028. 18-21). Es kann dann sein, dass Archytas 'Hauptbeitrag zur Mechanik genau seine Lösung für die Vervielfältigung des Würfels war und dass diese Lösung die mathematischen ersten Prinzipien darstellte, die Archytas für die Mechanik bereitstellte. Es ist zweifelhafter, dass Archytas eine Abhandlung über Mechanik geschrieben hat.

4. Definitionen

In der Metaphysik lobt Aristoteles Archytas dafür, dass er Definitionen angeboten hat, die sowohl Form als auch Materie berücksichtigen (1043a14-26 = A22). Die angegebenen Beispiele sind „Windlosigkeit“(Nênämie), definiert als „Stille [die Form] in einer Luftmenge [die Materie]“und „Ruhe auf dem Ozean“(Galênê), definiert als "Ebenheit [die Form] des Meeres [die Materie]." Die Begriffe Form und Materie stammen von Aristoteles, und wir können nicht sicher sein, wie Archytas die beiden Teile seiner Definitionen konzipiert hat. Ein plausibler Vorschlag ist, dass er seinem Vorgänger Philolaus folgte, indem er Limiter und Unbegrenzte als seine metaphysischen Grundprinzipien übernahm, und dass er seine Definitionen als Kombinationen von Limitern wie Ebenheit und Stille mit Unbegrenztheiten wie Luft und Meer sah. Die Seltsamkeit von „Windlosigkeit“und „Ruhe auf dem Meer“als Beispiele legt nahe, dass sie nicht die Nebenprodukte einer anderen Art von Untersuchung waren, z. B. der Kosmologie, sondern genau ausgewählt wurden, um Definitionsprinzipien zu veranschaulichen. Archytas hat dem Thema möglicherweise eine Abhandlung gewidmet. Aristoteles kommentiert an anderer Stelle die Verwendung von Proportionen bei der Entwicklung von Definitionen und verwendet dieselben Beispiele (Top. 108a7). Die Fähigkeit, Ähnlichkeiten in Dingen verschiedener Gattungen zu erkennen, soll der Schlüssel sein. "Windlosigkeit" und "Ruhe auf dem Meer" werden als gleich erkannt, und diese Ähnlichkeit kann in folgendem Verhältnis ausgedrückt werden: Wie Nênämie in der Luft ist, so ist Galênê im Meer. Es ist verlockend anzunehmen, dass Archytas, der die Welt in Bezug auf Anzahl und Proportionen als erklärbar ansah, auch die Proportionen als Schlüssel für die Entwicklung von Definitionen ansah. Dies würde einen weiteren Hinweis auf Archytas in Aristoteles erklären. In der Rhetorik 1412a9-17 (= A12) lobt Aristoteles Archytas genau für seine Fähigkeit, Ähnlichkeit auch in sehr unterschiedlichen Dingen zu erkennen, und gibt als Beispiel die Behauptung von Archytas an, dass ein Schiedsrichter und ein Altar gleich sind. DK nimmt diesen Text seltsamerweise in das Zeugnis für das Leben von Archytas auf, aber er ist eindeutig Teil der Definitionsarbeit von Archytas. Die Definitionen sowohl eines Altars als auch eines Schiedsrichters werden ihre gemeinsamen Funktionen als Zuflucht ansprechen und gleichzeitig den unterschiedlichen Kontext und die Art und Weise erkennen, in der diese Funktion ausgeführt wird (für Zweifel an dieser Rekonstruktion der Definitionstheorie von Archytas siehe Barker 2006). 314-318). In der Rhetorik 1412a9-17 (= A12) lobt Aristoteles Archytas genau für seine Fähigkeit, Ähnlichkeit auch in sehr unterschiedlichen Dingen zu erkennen, und gibt als Beispiel die Behauptung von Archytas an, dass ein Schiedsrichter und ein Altar gleich sind. DK nimmt diesen Text seltsamerweise in das Zeugnis für das Leben von Archytas auf, aber er ist eindeutig Teil der Definitionsarbeit von Archytas. Die Definitionen sowohl eines Altars als auch eines Schiedsrichters werden ihre gemeinsamen Funktionen als Zuflucht ansprechen und gleichzeitig den unterschiedlichen Kontext und die Art und Weise erkennen, in der diese Funktion ausgeführt wird (für Zweifel an dieser Rekonstruktion der Definitionstheorie von Archytas siehe Barker 2006). 314-318). In der Rhetorik 1412a9-17 (= A12) lobt Aristoteles Archytas genau für seine Fähigkeit, Ähnlichkeit auch in sehr unterschiedlichen Dingen zu erkennen, und gibt als Beispiel die Behauptung von Archytas an, dass ein Schiedsrichter und ein Altar gleich sind. DK nimmt diesen Text seltsamerweise in das Zeugnis für das Leben von Archytas auf, aber er ist eindeutig Teil der Definitionsarbeit von Archytas. Die Definitionen sowohl eines Altars als auch eines Schiedsrichters werden ihre gemeinsamen Funktionen als Zuflucht ansprechen und gleichzeitig den unterschiedlichen Kontext und die Art und Weise erkennen, in der diese Funktion ausgeführt wird (für Zweifel an dieser Rekonstruktion der Definitionstheorie von Archytas siehe Barker 2006). 314-318). Leben, aber es ist eindeutig Teil von Archytas 'Arbeit an der Definition. Die Definitionen sowohl eines Altars als auch eines Schiedsrichters werden ihre gemeinsamen Funktionen als Zuflucht ansprechen und gleichzeitig den unterschiedlichen Kontext und die Art und Weise erkennen, in der diese Funktion ausgeführt wird (für Zweifel an dieser Rekonstruktion der Definitionstheorie von Archytas siehe Barker 2006). 314-318). Leben, aber es ist eindeutig Teil von Archytas 'Arbeit an der Definition. Die Definitionen sowohl eines Altars als auch eines Schiedsrichters werden ihre gemeinsamen Funktionen als Zuflucht ansprechen und gleichzeitig den unterschiedlichen Kontext und die Art und Weise erkennen, in der diese Funktion ausgeführt wird (für Zweifel an dieser Rekonstruktion der Definitionstheorie von Archytas siehe Barker 2006). 314-318).

5. Kosmologie und Physik

Wir haben nur sehr wenige Beweise für Archytas 'Kosmologie, aber er war verantwortlich für eines der berühmtesten kosmologischen Argumente in der Antike, ein Argument, das als "das überzeugendste Argument, das jemals für die Unendlichkeit des Weltraums vorgebracht wurde" bezeichnet wurde (Sorabji 1988, 125)). Das Argument wird Archytas in einem von Simplicius erhaltenen Fragment von Eudemus zugeschrieben (= A24), und es ist wahrscheinlich Archytas, auf den sich Aristoteles bezieht, wenn er den fünften und „wichtigsten“Grund beschreibt, warum Menschen an die Existenz des Unbegrenzten glauben (Ph. 203b22 ff.). Archytas fragt jeden, der argumentiert, dass das Universum auf ein Gedankenexperiment beschränkt ist: „Wenn ich am äußersten Rand des Himmels angekommen wäre,Könnte ich meine Hand oder meinen Stab in das hinein strecken, was draußen ist oder nicht? Es wäre paradox [angesichts unserer normalen Annahmen über die Natur des Raums], ihn nicht erweitern zu können. “Das einmal verlängerte Ende des Personals markiert eine neue Grenze. Archytas kann an die neue Grenze vordringen und dieselbe Frage erneut stellen, so dass es immer etwas gibt, in das sein Stab über die vermeintliche Grenze hinaus erweitert werden kann, und daher etwas eindeutig unbegrenzt ist. Weder Platon noch Aristoteles akzeptierten dieses Argument und beide glaubten, dass das Universum begrenzt sei. Dennoch hatte Archytas 'Argumentation großen Einfluss und wurde unter anderem von den Stoikern, Epikureern (Lucretius I 968-983), Locke und Newton übernommen und angepasst, während sie Antworten von Alexander und Simplicius hervorriefen (Sorabji 1988, 125-141). Nicht alle Gelehrten waren von dem Argument beeindruckt (siehe Barnes 1982, 362), und moderne Raumvorstellungen erlauben es, dass es endlich ist, ohne eine Kante zu haben, und ohne eine Kante kann Archytas 'Argument nicht beginnen (siehe aber Sorabji 1988, 160) -163). Über dieses Argument hinaus gibt es nur eindeutige Beweise für Archytas 'System der physischen Welt. Eudemus lobt Archytas dafür, dass er erkannt hat, dass Ungleichheit und Ungleichmäßigkeit nicht mit der von Platon angenommenen Bewegung identisch sind (siehe Ti. 52e und 57e), sondern vielmehr mit den Ursachen der Bewegung (A23). Ein anderes Zeugnis legt nahe, dass Archytas dachte, dass alle Dinge in einem angemessenen Verhältnis bewegt werden (Arist., Prob. 915a25-32 = A23a). Das gleiche Zeugnis zeigt, dass verschiedene Arten von Proportionen unterschiedliche Arten von Bewegungen definiert haben. Archytas behauptete, dass „der Anteil der Gleichheit“(arithmetischer Anteil?) Die natürliche Bewegung definierte, die er als gekrümmte Bewegung betrachtete. Diese Erklärung der natürlichen Bewegung soll erklären, warum bestimmte Teile von Pflanzen und Tieren (z. B. Stiel, Oberschenkel, Arme und Rumpf) eher abgerundet als dreieckig oder polygonal sind. Eine Erklärung der Bewegung in Bezug auf die Proportionen passt gut zu den übrigen Beweisen für Archytas, aber die Details bleiben dunkel.

6. Ethik und politische Philosophie

Archytas 'Suche nach den Zahlen in Dingen war nicht auf die natürliche Welt beschränkt. Politische Beziehungen und das moralische Handeln des Einzelnen wurden auch in Bezug auf Anzahl und Verhältnis erklärt. In B3 wird die rationale Berechnung als Grundlage des stabilen Zustands identifiziert:

Sobald die Berechnung (Logismos) entdeckt wurde, stoppte sie die Zwietracht und erhöhte die Übereinstimmung. Denn die Menschen wollen nicht mehr als ihren Anteil, und Gleichheit besteht, sobald dies zustande gekommen ist. Denn durch Berechnung werden wir uns um Versöhnung im Umgang mit anderen bemühen. Dadurch erhalten die Armen von den Mächtigen und die Reichen geben den Bedürftigen, beide in der Zuversicht, dass sie aufgrund dessen das haben, was gerecht ist.

Die Betonung von Gleichheit (Isotas) und Fairness (gegenüber Ison) legt nahe, dass Archytas die rationale Berechnung (Logismos) als stark mathematisch ansieht. Andererseits ist Logismos nicht identisch mit der technischen Wissenschaft der Zahlen (logistisch - siehe 3.2 oben), sondern eine praktische Fähigkeit, numerische Berechnungen zu verstehen, einschließlich grundlegender Proportionen, eine Fähigkeit, die die meisten Menschen teilen. Es ist die Klarheit der Berechnung und der Proportionen, die das ständige Streben nach mehr (Pleonexie) beseitigt, was zu Zwietracht im Zustand führt. Da der Staat auf einer weit verbreiteten menschlichen Rechenfähigkeit basiert, eine Fähigkeit, die die Reichen und Armen teilen, wurde Archytas dazu gebracht, eine demokratischere Verfassung zu unterstützen (siehe 1.3 oben) als Platon, der das mathematische Expertenwissen einiger weniger betont (R. 546a ff.).

Die meisten unserer Beweise für Archytas 'ethische Ansichten basieren leider nicht auf Fragmenten seiner Schriften, sondern auf Anekdoten, die wahrscheinlich letztendlich aus Aristoxenus' Leben von Archytas stammen. Das gute Leben des Einzelnen, nicht weniger als die Stabilität des Staates, scheint auf rationalen Berechnungen zu beruhen. Aristoxenus präsentierte eine Konfrontation zwischen dem syrakusanischen Hedonisten Polyarchus und Archytas. Die lange Rede von Polyarchus wird durch die Antwort von Athenaeus und Archytas von Cicero bewahrt (A9 = Deip. 545a bzw. Sen. XII 39-41). Polyarchus 'Verteidigung, immer nach mehr zu streben (Pleonexie) und nach Vergnügen zu streben, erinnert an Platons Darstellungen von Callicles und Thrasymachus.wird aber nicht aus diesen Präsentationen abgeleitet und besser als wichtige parallele Entwicklung angesehen (Huffman 2002). Archytas stützt seine Antwort auf die Prämisse, dass die Vernunft (= rationale Berechnung) der beste Teil von uns ist und der Teil, der unser Handeln bestimmen sollte. Polyarchus könnte eine solche Prämisse gewähren, da es sich um einen rationalen Hedonismus handelt. Archytas antwortet erneut mit einem Gedankenexperiment. Wir sollen uns jemanden vorstellen, der das größtmögliche körperliche Vergnügen hat (sexueller Orgasmus?). Sicherlich müssen wir uns einig sein, dass eine Person in einem solchen Zustand nicht in der Lage ist, rationale Berechnungen durchzuführen. Es scheint also, dass körperliches Vergnügen an sich der Vernunft widerspricht und dass wir umso weniger argumentieren können, je mehr es uns gelingt, es zu erlangen. Aristoteles scheint sich in der nicomachischen Ethik (1152b16-18) auf dieses Argument zu beziehen. Archytas 'Das Argument richtet sich speziell gegen das körperliche Vergnügen, und er glaubte nicht, dass alles Vergnügen störend war. Er spielte gern mit Kindern (A8) und erkannte, dass die Freuden der Freundschaft Teil eines guten Lebens waren (Cicero, Amic. XXIII 88). Andere Anekdoten betonen, dass unser Handeln eher von der Vernunft als von den Emotionen bestimmt werden muss: Archytas weigerte sich, die schweren Missetaten seiner Sklaven zu bestrafen, weil er wütend geworden war und nicht aus Wut handeln wollte (A7); er hielt sich davon ab, laut zu fluchen, indem er stattdessen seine Flüche an eine Wand schrieb (A11). Andere Anekdoten betonen, dass unser Handeln eher von der Vernunft als von den Emotionen bestimmt werden muss: Archytas weigerte sich, die schweren Missetaten seiner Sklaven zu bestrafen, weil er wütend geworden war und nicht aus Wut handeln wollte (A7); er hielt sich davon ab, laut zu fluchen, indem er stattdessen seine Flüche an eine Wand schrieb (A11). Andere Anekdoten betonen, dass unser Handeln eher von der Vernunft als von den Emotionen bestimmt werden muss: Archytas weigerte sich, die schweren Missetaten seiner Sklaven zu bestrafen, weil er wütend geworden war und nicht aus Wut handeln wollte (A7); er hielt sich davon ab, laut zu fluchen, indem er stattdessen seine Flüche an eine Wand schrieb (A11).

7. Bedeutung und Einfluss

Archytas passt besser zum allgemeinen Stereotyp eines Pythagoräers als jeder andere. Er ist mit Abstand der versierteste pythagoreische Mathematiker und leistet wichtige Beiträge zu Geometrie, Logistik / Arithmetik und Harmonischen. Er war als politischer Führer erfolgreicher als jeder andere alte Philosoph, und seine persönliche Selbstbeherrschung hat eine reiche anekdotische Tradition. Es fällt jedoch auf, dass es im Wesentlichen keine Zeugnisse gibt, die Archytas mit Metempsychose oder dem religiösen Aspekt des Pythagoräismus verbinden. Archytas ist eine herausragende Figur bei der Wiedergeburt des Interesses am Pythagoräismus im ersten Jahrhundert vor Christus in Rom: Horace, Propertius und Cicero heben ihn hervor. Als letztes prominentes Mitglied der frühen pythagoreischen Tradition wurden in seinem Namen mehr pseudo-pythagoreische Werke gefälscht als in jedem anderen pythagoreischen, einschließlich Pythagoras selbst. Sein Name mit der Schreibweise Architas übte weiterhin Macht in mittelalterlichen und Renaissance-Texten aus, obwohl die ihm in diesen Texten zugewiesenen Leistungen phantasievoll sind.

Wissenschaftler haben typischerweise die Kontinuitäten zwischen Platon und Archytas betont (z. B. Kahn 2001, 56), aber die Beweise legen nahe, dass Archytas und Platon in einer Reihe von Fragen ernsthafte Meinungsverschiedenheiten hatten. Platons einziger sicherer Hinweis auf Archytas ist Teil einer Kritik an seiner Herangehensweise an Harmonische in Buch VII der Republik, wo es wahrscheinlich auch eine Kritik an seiner Arbeit in fester Geometrie gibt. Platons Versuch, in den Büchern VI und VII der Republik für die Spaltung zwischen verständlicher und vernünftiger Welt einzutreten, könnte ein Protreptikum sein, das sich an Archytas richtet, der sich weigerte, Zahlen von Dingen zu trennen. Es wird manchmal angenommen, dass der gleichnamige Hauptredner in Platons Timaios, der als führende politische Figur und Philosoph aus Süditalien (20a) beschrieben wird, ein Stellvertreter für Archytas sein muss. Der Timaios jedochist ein höchst unarchytisches Dokument. Es basiert auf der Spaltung zwischen vernünftiger und verständlicher Welt, die Archytas nicht akzeptiert hat. Platon argumentiert, dass das Universum begrenzt ist, während Archytas für dieses Argument berühmt ist, um zu zeigen, dass es unbegrenzt ist. Platon konstruiert die Weltseele nach Verhältnissen, die in der harmonischen Theorie wichtig sind, aber er verwendet Philolaus 'Verhältnisse anstelle von Archytas'. Platon übernimmt Archytas 'Theorie der Tonhöhe mit einigen Modifikationen, aber Archytas und Platon sind sich nicht einig über die Erklärung des Sehens. Archytas 'Weigerung, das Verständliche vom Sinnlichen zu trennen, mag ihn für Aristoteles attraktiver gemacht haben, der ihm vier Bücher widmete und seine Definitionen für die Behandlung des Verbunds von Materie und Form lobte, nicht der von Materie getrennten Form. Archytas 'Die Vision der Rolle der Mathematik im Staat ist näher an Aristoteles 'mathematischer Darstellung der Verteilungs- und Umverteilungsgerechtigkeit (EN 1130b30 ff.) als an Platons Betonung des mathematischen Expertenwissens der Wächter. Natürlich war Archytas ein wichtiger Einfluss auf Platon und Aristoteles, aber die genaue Natur dieser philosophischen Beziehungen ist komplex.

Literaturverzeichnis

Texte und Kommentare

• Diels, H. und W. Kranz 1952 Die Fragmente der Vorsokratiker (in drei Bänden), 6 ^th Edition, Dublin und Zürich: Weidmann. Das Archytas-Material befindet sich in Band 1, Kapitel 47, S. 421-439 (griechische Texte der Fragmente und Zeugnisse mit Übersetzungen in deutscher Sprache). Wird als DK bezeichnet.
• Huffman, CA, 2005, Archytas of Tarentum: Pythagorean, Philosoph und Mathematiker King, Cambridge: Cambridge University Press (Die vollständigste und aktuellste Sammlung von Fragmenten und Zeugnissen mit Übersetzungen und Kommentaren in englischer Sprache).
• Timpanaro Cardini, M., 1958-64, Pitagorici, Testimonianze e frammenti, 3 Bde., Florenz: La Nuova Italia, Bd. 2, 262-385 (griechische Texte der Fragmente und Zeugnisse mit Übersetzungen und Kommentaren in italienischer Sprache).

Allgemeine Bibliographie

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• Barnes, J., 1982, The Presocratic Philosophers, London: Routledge.
• Blass, F., 1884, "De Archytae Tarentini fragmentis mathematicis", in Mélanges Graux, Paris: Ernest Thorin.
• Bowen, AC, 1982, "Die Grundlagen der frühen pythagoreischen harmonischen Wissenschaft: Archytas, Fragment 1", Ancient Philosophy 2: 79-104.
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Andere Internetquellen