George Boole

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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George Boole

Erstveröffentlichung Mi 21. April 2010

George Boole (1815–1864) war ein englischer Mathematiker und Begründer der algebraischen Tradition in der Logik. Er arbeitete als Schulmeister in England und von 1849 bis zu seinem Tod als Professor für Mathematik an der Queen's University in Cork, Irland. Er revolutionierte die Logik, indem er Methoden aus dem damals aufkommenden Feld der symbolischen Algebra auf die Logik anwendete. Während sich die traditionelle (aristotelische) Logik auf die Katalogisierung der gültigen Syllogismen verschiedener einfacher Formen stützte, lieferte Booles Methode allgemeine Algorithmen in einer algebraischen Sprache, die auf eine unendliche Vielfalt von Argumenten beliebiger Komplexität anwendbar waren. Diese Methoden wurden in zwei Hauptwerken beschrieben, The Mathematical Analysis of Logic (1847) und The Laws of Thought (1854).

• 1. Leben und Werk
• 2. Der Kontext und Hintergrund von Booles Arbeit in der Logik
• 3. Die mathematische Analyse der Logik (1847)
• 4. Die Gesetze des Denkens (1854)

• 5. Spätere Entwicklungen

  • 5.1 Einwände gegen Booles Algebra der Logik
  • 5.2. Moderne Rekonstruktion von Booles System

• 6. Booles Methoden

  • 6.1 Die drei von Boole in LT verwendeten Methoden der Argumentanalyse
  • 6.2. Booles allgemeine Methode für Primärsätze
  • 6.3. Booles allgemeine Methode für Sekundärsätze
• Literaturverzeichnis
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Leben und Werk

George Boole wurde am 2. November 1815 in Lincoln, Lincolnshire, England, in eine Familie mit bescheidenen Mitteln geboren. Sein Vater war offensichtlich eher ein guter Begleiter als ein guter Ernährer. Sein Vater war ein Schuhmacher, dessen wahre Leidenschaft darin bestand, ein engagierter Dilettant im Bereich Wissenschaft und Technologie zu sein, der gerne an der Lincoln Mechanics 'Institution teilnahm. Dies war im Wesentlichen ein Community Social Club, der Lesen, Diskussionen und Vorträge in Bezug auf Wissenschaft förderte. Es wurde 1833 gegründet und 1834 wurde Booles Vater Kurator seiner Bibliothek. Diese Liebe zum Lernen wurde eindeutig von Boole geerbt. Ohne den Vorteil einer Elite-Schule, aber mit einer unterstützenden Familie und Zugang zu hervorragenden Büchern, insbesondere von Sir Edward Bromhead, FRS, der nur wenige Kilometer von Lincoln entfernt lebte,Boole konnte sich im Wesentlichen Fremdsprachen und fortgeschrittene Mathematik beibringen.

Ab dem 16. Lebensjahr musste Boole eine Erwerbstätigkeit finden, da sein Vater nicht mehr in der Lage war, für die Familie zu sorgen. Nach dreijähriger Tätigkeit als Lehrer an Privatschulen beschloss Boole im Alter von 19 Jahren, eine eigene kleine Schule in Lincoln zu eröffnen. Er würde für die nächsten 15 Jahre Schulmeister sein, bis er 1849 Professor an der neu eröffneten Queen's University in Cork, Irland, wurde. Es ist bemerkenswert, dass er im Laufe der Jahre als Schulmeister trotz seiner großen Verantwortung für seine Eltern und Geschwister Zeit fand, seine eigene Ausbildung fortzusetzen und ein Forschungsprogramm zu starten, das sich hauptsächlich mit Differentialgleichungen und der mit den Werken von verbundenen Variationsrechnung befasst Laplace und Lagrange (die er im französischen Original studierte).

Es ist weit verbreitet, dass Boole in erster Linie ein Logiker war - in Wirklichkeit wurde er ein anerkannter Mathematiker, lange bevor er ein einziges Wort über Logik geschrieben hatte, während er seine Privatschule leitete, um sich um seine Eltern und Geschwister zu kümmern. Booles Fähigkeit, Französisch, Deutsch und Italienisch zu lesen, brachte ihn in eine gute Position, um ernsthafte mathematische Studien zu beginnen, als er im Alter von 16 Jahren Lacroix 'Calcul Différentiel las, ein Geschenk seines Freundes Reverend GS Dickson aus Lincoln. Sieben Jahre später, 1838, schrieb er seine erste mathematische Arbeit (obwohl nicht die erste, die veröffentlicht wurde): „Über bestimmte Theoreme in der Variationsrechnung“, wobei er sich auf die Verbesserung der Ergebnisse konzentrierte, die er in Lagranges Méchanique Analytique gelesen hatte.

Anfang 1839 reiste Boole nach Cambridge, um sich mit dem jungen Mathematiker Duncan F. Gregory (1813–1844) zu treffen, der Herausgeber des Cambridge Mathematical Journal (CMJ) war. Gregory hatte dieses Journal 1837 gegründet und herausgegeben, bis sein Gesundheitszustand versagte 1843 (er starb Anfang 1844 im Alter von 30 Jahren). Obwohl Gregory 1839 nur zwei Jahre nach seinem Abschluss war, wurde er ein wichtiger Mentor für Boole. Mit Gregorys Unterstützung, zu der auch das Coaching von Boole beim Schreiben einer mathematischen Arbeit gehörte, trat Boole 1841 in die öffentliche Arena der mathematischen Veröffentlichung ein.

Booles mathematische Veröffentlichungen erstrecken sich über die 24 Jahre von 1841 bis 1864, dem Jahr, in dem er an einer Lungenentzündung starb. Wenn wir diese 24 Jahre in drei Segmente unterteilen, die ersten 6 Jahre (1841–1846), die zweiten 8 Jahre (1847–1854) und die letzten 10 Jahre (1855–1864), stellen wir fest, dass seine Arbeit an der Logik vollständig war in der Mitte 8 Jahre.

In seinen ersten 6 Karrierejahren veröffentlichte Boole 15 mathematische Arbeiten, alle bis auf zwei im CMJ und seinem Nachfolger von 1846, The Cambridge and Dublin Mathematical Journal. Er schrieb über mathematische Standardthemen, hauptsächlich Differentialgleichungen, Integration und Variationsrechnung. Boole hatte früh Erfolg mit der Verwendung der neuen symbolischen Methode in der Analyse, einer Methode, die eine Differentialgleichung verwendete, sagen wir:

d ² y / dx ² - dy / dx - 2 y = cos (x),

und schrieb es in der Form Operator (y) = cos (x). Dies wurde (formal) erreicht, indem man:

D = d / dx, D ² = d ² / dx ² usw.

was zu einem Ausdruck der Differentialgleichung führt als:

(D ² - D - 2) y = cos (x).

Nun kam die symbolische Algebra ins Spiel, indem der Operator D ² - D - 2 einfach so behandelt wurde, als wäre es ein gewöhnliches Polynom in der Algebra. Booles 1841 erschienene Arbeit „Über die Integration linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten“gab Gregorys Methode zur Lösung solcher Differentialgleichungen eine schöne Verbesserung, eine Verbesserung, die auf einem Standardwerkzeug in der Algebra, der Verwendung von Teilbrüchen, basiert.

1841 veröffentlichte Boole auch sein erstes Papier über Invarianten, ein Papier, das Eisenstein, Cayley und Sylvester stark beeinflussen würde, um das Thema zu entwickeln. Arthur Cayley (1821–1895), der zukünftige Sadler-Professor in Cambridge und einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte, schrieb 1844 seinen ersten Brief an Boole und lobte ihn für seine hervorragende Arbeit an Invarianten. Er wurde ein enger persönlicher Freund, der in den Jahren vor Booles Umzug nach Cork, Irland, nach Lincoln ging, um Boole zu besuchen und bei ihm zu bleiben. 1842 begann Boole einen Briefwechsel mit Augustus De Morgan (1806–1871), der eine weitere lebenslange Freundschaft initiierte.

1843 beendete der Schulmeister Boole eine lange Arbeit über Differentialgleichungen, in der eine exponentielle Substitution und Variation von Parametern mit der Methode der Trennung von Symbolen kombiniert wurden. Das Papier war zu lang für das CMJ-Register, und später ermutigte ihn De Morgan, es der Royal Society vorzulegen. Der erste Schiedsrichter lehnte Booles Papier ab, der zweite empfahl es für die Goldmedaille für das beste mathematische Papier, das in den Jahren 1841–1844 geschrieben wurde, und diese Empfehlung wurde angenommen. 1844 veröffentlichte die Royal Society Booles Artikel und verlieh ihm die Goldmedaille - die erste Goldmedaille, die die Society einem Mathematiker verlieh. Im nächsten Jahr las Boole auf der Jahrestagung der British Association for the Advancement of Science im Juni 1845 in Cambridge einen Artikel. Dies führte zu neuen Kontakten und Freunden.insbesondere William Thomson (1824–1907), der zukünftige Lord Kelvin.

Kurz nachdem Boole mit der Veröffentlichung von Artikeln begonnen hatte, wollte er unbedingt einen Weg finden, sich einer Hochschule anzuschließen. Er erwog, die Universität von Cambridge zu besuchen, um einen Abschluss zu erhalten, wurde jedoch darauf hingewiesen, dass die Erfüllung der verschiedenen Anforderungen sein Forschungsprogramm wahrscheinlich ernsthaft beeinträchtigen würde, ganz zu schweigen von den Problemen bei der Finanzierung. Schließlich erhielt er 1849 eine Professur an einer neuen Universität in Cork, Irland. In den Jahren, in denen er Professor in Cork war (1849–1864), erkundigte er sich gelegentlich nach der Möglichkeit einer Stelle in England.

Die 8-jährige Strecke von 1847 bis 1854 beginnt und endet mit Booles zwei Büchern über mathematische Logik. Darüber hinaus veröffentlichte Boole in dieser Zeit 24 weitere Artikel über traditionelle Mathematik, während nur ein Artikel über Logik verfasst wurde, nämlich 1848. Er erhielt einen Ehren-LL. D. Abschluss an der Universität von Dublin im Jahr 1851, und dies war der Titel, den er neben seinem Namen in seinem Buch über Logik von 1854 verwendete. Booles 1847 erschienenes Buch Mathematical Analysis of Logic wird als MAL bezeichnet. das 1854 erschienene Buch Laws of Thought als LT.

In den letzten 10 Jahren seiner Karriere, von 1855 bis 1864, veröffentlichte Boole 17 Artikel über Mathematik und zwei Mathematikbücher, einen über Differentialgleichungen und einen über Differenzgleichungen. Beide Bücher galten als Stand der Technik und wurden in Cambridge für den Unterricht verwendet. Auch in dieser Zeit kamen bedeutende Ehrungen herein:

1857	Stipendium der Royal Society
1858	Ehrenmitglied der Cambridge Philosophical Society
1859	Abschluss als DCL, honoris causa aus Oxford

Leider führte sein ausgeprägtes Pflichtbewusstsein dazu, dass er Ende 1864 durch einen Regensturm ging und dann in nasser Kleidung unterrichtete. Nicht lange danach, am 8. Dezember 1864 in Ballintemple, County Cork, Irland, starb er im Alter von 49 Jahren an einer Lungenentzündung mortem.

Der Leser, der an einer ausgezeichneten und gründlichen Darstellung von Booles persönlichem Leben interessiert ist, wird auf Desmond MacHales George Boole, His Life and Work, 1985, verwiesen, einer Quelle, der dieser Artikel verpflichtet ist.

• 1815 - Geburt in Lincoln, England
• 1830 - Seine Übersetzung eines griechischen Gedichts in einer Lokalzeitung
• 1831 - Liest Lacroix 'Calcul Différentiel
• Schulmeister
• 1834 - Eröffnung seiner eigenen Schule
• 1835 - Gibt eine öffentliche Ansprache über Newtons Errungenschaften
• 1838 - Schreibt die erste mathematische Arbeit
• 1839 - Besuch in Cambridge, um Duncan Gregory, Herausgeber des Cambridge Mathematical Journal (CMJ), zu treffen
• 1841 - Erste vier mathematische Veröffentlichungen (alle im CMJ)
• 1842 - Initiiert Korrespondenz mit Augustus De Morgan - sie werden lebenslange Freunde
• 1844 - Der Briefwechsel mit Cayley beginnt (initiiert von Cayley) - sie werden lebenslange Freunde
• 1844 - Goldmedaille der Royal Society für eine Arbeit über Differentialgleichungen
• 1845 - Vortrag auf der Jahrestagung der British Association for the Advancement of Science und Treffen mit William Thompson (später Lord Kelvin) - sie werden lebenslange Freunde
• 1847 - Veröffentlichung der mathematischen Analyse der Logik
• 1848 - Veröffentlichung seiner einzigen Arbeit über die Algebra der Logik
• Professor für Mathematik
• 1849 - Übernahme der Position als Professor für Mathematik an der neuen Queen's University in Cork, Irland
• 1851 - Ehrentitel, LL. D., vom Trinity College, Dublin
• 1854 - Veröffentlichung von Denkgesetzen
• 1855 - Heirat mit Mary Everest, Nichte von George Everest, Generalvermesser von Indien, nach dem Mt. Everest heißt
• 1856 - Geburt von Mary Ellen Boole
• 1857 - Wahl in die Royal Society
• 1858 - Geburt von Margaret Boole
• 1859 - Veröffentlichung von Differentialgleichungen; als Lehrbuch in Cambridge verwendet
• 1860 - Geburt von Alicia Boole, die das Wort "Polytop" prägen wird
• 1860 - Veröffentlichung von Differenzgleichungen; als Lehrbuch in Cambridge verwendet
• 1862 - Geburt von Lucy Everest Boole
• 1864 - Geburt von Tochter Ethel Lilian Boole, die The Gadfly schreiben sollte, ein außerordentlich beliebtes Buch in Russland nach der Revolution von 1917
• 1864 - Tod durch Lungenentzündung, Cork, Irland

2. Der Kontext und Hintergrund von Booles Arbeit in der Logik

Um zu verstehen, wie Boole in so kurzer Zeit seine beeindruckende Algebra der Logik entwickelte, ist es nützlich, die Grundzüge der Arbeit an den Grundlagen der Algebra zu verstehen, die Mathematiker der Universität Cambridge im 19. Jahrhundert vor dem Beginn von Booles Karriere als Mathematiker. Eine ausgezeichnete Referenz für die weitere Lektüre im Zusammenhang mit diesem Abschnitt ist das kommentierte Quellenbuch Von Kant bis Hilbert von Ewald (1996).

Das 19. Jahrhundert wurde in England mit Mathematik in der Flaute eröffnet. Die englischen Mathematiker hatten sich mit den kontinentalen Mathematikern über die vorrangigen Fragen bei der Entwicklung des Kalküls gestritten, was dazu führte, dass die Engländer nach Newtons Notation und die auf dem Kontinent nach denen von Leibniz folgten. Eines der Hindernisse, die bei der Aktualisierung der englischen Mathematik überwunden werden mussten, war die Tatsache, dass die großen Entwicklungen der Algebra und Analyse auf zweifelhaften Grundlagen beruhten, und es gab englische Mathematiker, die diese Mängel recht deutlich äußerten. In der gewöhnlichen Algebra war es die Verwendung von negativen Zahlen und imaginären Zahlen, die Anlass zur Sorge gab. Der erste große Versuch unter den Engländern, die Grundprobleme der Algebra zu klären, war George Peacocks Abhandlung über Algebra, 1830 (eine zweite Ausgabe erschien in zwei Bänden,1842/1845). Er teilte das Thema in zwei Teile, wobei der erste Teil die arithmetische Algebra war, die Algebra der positiven Zahlen (die keine Operationen wie Subtraktion in Fällen erlaubte, in denen die Antwort keine positive Zahl wäre). Der zweite Teil war die symbolische Algebra, die nicht wie bei der arithmetischen Algebra von einer bestimmten Interpretation bestimmt wurde, sondern von Gesetzen. In der symbolischen Algebra gab es keine Einschränkungen bei der Verwendung von Subtraktion usw. In der symbolischen Algebra gab es keine Einschränkungen bei der Verwendung von Subtraktion usw. In der symbolischen Algebra gab es keine Einschränkungen bei der Verwendung von Subtraktion usw.

Die Terminologie der Algebra war im 19. Jahrhundert etwas anders als heute. Insbesondere verwendeten sie nicht das Wort "Variable"; Der Buchstabe x in einem Ausdruck wie 2 x + 5 wurde als Symbol bezeichnet, daher der Name „symbolische Algebra“. In diesem Artikel wird manchmal ein Präfix wie im Zahlensymbol oder im Klassensymbol hinzugefügt, um die beabsichtigte Interpretation eines Symbols hervorzuheben.

Peacock glaubte, dass die Gesetze, damit die symbolische Algebra ein nützliches Thema sein kann, eng mit denen der arithmetischen Algebra verwandt sein müssen. Zu diesem Zweck stellte er sein Prinzip der Beständigkeit äquivalenter Formen vor, ein Prinzip, das die arithmetische Algebra mit denen der symbolischen Algebra verbindet. Dieses Prinzip besteht aus zwei Teilen:

(1) Allgemeine Ergebnisse in der arithmetischen Algebra gehören zu den Gesetzen der symbolischen Algebra.

(2) Wann immer eine Interpretation eines Ergebnisses der symbolischen Algebra in der Einstellung der arithmetischen Algebra sinnvoll war, ergab das Ergebnis ein korrektes Ergebnis in der Arithmetik.

Eine faszinierende Verwendung der Algebra wurde 1814 von François-Joseph Servois (1776–1847) eingeführt, als er Differentialgleichungen in Angriff nahm, indem er den Differentialoperatorteil vom Subjektfunktionsteil trennte, wie in einem oben angegebenen Beispiel beschrieben. Diese Anwendung der Algebra erregte das Interesse von Duncan Gregory, der eine Reihe von Artikeln über die Methode der Trennung von Symbolen, dh die Trennung in Operatoren und Objekte, im CMJ veröffentlichte. Er schrieb auch über die Grundlage der Algebra, und es war Gregors Grundlage, die Boole fast wörtlich umarmte. Gregory hatte Peacocks Prinzip der Beständigkeit gleichwertiger Formen zugunsten zweier einfacher Gesetze aufgegeben. Leider blieben diese Gesetze weit hinter dem zurück, was erforderlich ist, um selbst einige der elementarsten Ergebnisse in der Algebra zu rechtfertigen. In "Auf der Grundlage der Algebra", 1839,Als erstes von vier Artikeln zu diesem Thema von De Morgan, die in den Transaktionen der Cambridge Philosophical Society erschienen sind, findet man eine Hommage an die Trennung von Symbolen in der Algebra und die Behauptung, dass moderne Algebraisten die Symbole normalerweise als Operatoren bezeichnen (z. die Ableitungsoperation) anstelle von Objekten wie Zahlen. Die Fußnote:

Ich glaube, Professor Peacock ist der erste, der den Unterschied zwischen dem, was ich als technischen und logischen Zweig der Algebra bezeichnet habe, deutlich herausgestellt hat.

Peacock ist der erste, der die syntaktischen und semantischen Aspekte der Algebra trennt (was jetzt genannt wird). In der zweiten Gründungsarbeit (1841) schlug De Morgan vor, was er als vollständigen Satz von acht Regeln für die Arbeit mit symbolischer Algebra ansah.

3. Die mathematische Analyse der Logik (1847)

Booles Weg zum logischen Ruhm begann auf merkwürdige Weise. Anfang 1847 wurde er durch einen trivialen, aber sehr öffentlichen Streit zwischen De Morgan und dem schottischen Philosophen Sir William Hamilton (nicht zu verwechseln mit dem irischen Mathematiker Sir William Rowan Hamilton) angeregt, seine Untersuchungen zur Logik einzuleiten. In diesem Streit ging es darum, wer die Idee der Quantifizierung des Prädikats verdient hat (z. B. „Alles A ist alles B“, „Alles A ist etwas B“usw.). Innerhalb weniger Monate hatte Boole seine 82-seitige Monographie Mathematical Analysis of Logic geschrieben, die einen algebraischen Ansatz für die aristotelische Logik darstellte. (Einige sagen, dass diese Monographie und De Morgans Buch Formal Logic am selben Tag im November 1847 erschienen sind.)

Das Kapitel Einführung beginnt damit, dass Boole die symbolische Methode überprüft. Das zweite Kapitel, Erste Prinzipien, lässt das Symbol 1 das Universum darstellen, das „jede denkbare Klasse von Objekten umfasst, ob vorhanden oder nicht“. Großbuchstaben X, Y, Z,… bezeichnen Klassen. Dann führte Boole, zweifellos beeinflusst von seiner sehr erfolgreichen Arbeit mit algebraischen Techniken für Differentialoperatoren, und im Einklang mit De Morgans Behauptung von 1839, dass Algebraisten es vorzogen, Symbole als Operatoren zu interpretieren, das Wahlsymbol x ein, das der Klasse X entspricht, das Wahlsymbol y entsprechend bis Y usw. Die Wahlsymbole bezeichnen Wahloperatoren - zum Beispiel würde der Wahloperator rot, wenn er auf eine Klasse angewendet wird, die roten Elemente in der Klasse wählen (auswählen).(Man kann einfach die Wahlsymbole durch die entsprechenden Klassensymbole ersetzen und die Interpretation in LT von 1854 verwenden lassen.)

Dann führte Boole die erste Operation ein, die Multiplikation xy der Wahlsymbole. Die Standardnotation xy für die Multiplikation hatte auch eine Standardbedeutung für Operatoren (z. B. Differentialoperatoren), nämlich eine, die y auf ein Objekt angewendet hat, und dann wird x auf das Ergebnis angewendet. (In der modernen Terminologie ist dies die Zusammensetzung der beiden Operatoren.) Wie von Hailperin (1986) ausgeführt, scheint es daher wahrscheinlich, dass diese etablierte Notationskonvention Boole seine Definition der Multiplikation von Wahlsymbolen als Zusammensetzung von Operatoren übergab. Wenn man wie in LT zur Verwendung von Klassen anstelle von Wahloperatoren wechselt, führt die entsprechende Multiplikation zweier Klassen zu deren Schnittmenge.

Das erste Gesetz in MAL war das Verteilungsgesetz x (u + v) = xu + xv, wobei Boole sagte, dass u + v der Aufteilung einer Klasse in zwei Teile entsprach. Dies war die erste Erwähnung der Hinzufügung. Auf P. 17 Boole fügte das kommutative Gesetz xy = yx und das idempotente Gesetz x ² = x hinzu (das Boole das Indexgesetz nannte). Sobald diese beiden Gesetze von Gregory gesichert waren, glaubte Boole, er sei berechtigt, die gewöhnliche Algebra seiner Zeit vollständig anzuwenden, und tatsächlich sieht man Taylor-Reihen- und Lagrange-Multiplikatoren in MAL. Das Gesetz der idempotenten Klassensymbole, x ² = x, unterschied sich von den beiden Grundgesetzen der symbolischen Algebra - es galt nur für die einzelnen Wahlsymbole, nicht allgemein für zusammengesetzte Begriffe, die man aus diesen Symbolen aufbauen konnte. Zum Beispiel hat man im Allgemeinen nicht (x + y)² = x + y in Booles System, da dies durch gewöhnliche Algebra mit idempotenten Klassensymbolen 2 xy = 0 und dann xy = 0 implizieren würde, was x und y zwingen würde, disjunkte Klassen darzustellen. Es ist jedoch nicht so, dass jedes Klassenpaar disjunkt ist.

Boole konzentrierte sich auf die aristotelische Logik in MAL mit ihren 4 Arten von kategorialen Sätzen und einer offenen Sammlung hypothetischer Sätze. Im Kapitel Ausdruck und Interpretation sagte Boole, dass die Klasse not-X notwendigerweise durch 1− x ausgedrückt wird. Dies ist das erste Auftreten von Subtraktion. Dann gab er Gleichungen, um die kategorialen Sätze auszudrücken (siehe in Abschnitt 6.2 unten). Das erste, das ausgedrückt wurde, war Alle X ist Y, für das er xy = x verwendete, das er dann in x (1 - y) = 0 umwandelte. Dies war das erste Auftreten von 0 in MAL - es wurde nicht als Symbol eingeführt für die leere Klasse. In der Tat erschien die leere Klasse nicht in MAL. Offensichtlich spielte eine Gleichung E = 0 die Rolle eines Prädikats in MAL und behauptete, dass die mit E bezeichnete Klasse einfach nicht existierte. (In LT würde die leere Klasse mit 0 bezeichnet.) Boole ging über die Grundlagen der symbolischen Algebra hinaus, die Gregory 1844 verwendet hatte - er fügte De Morgans einzige Inferenzregel von 1841 hinzu, wonach äquivalente Operationen an äquivalenten Subjekten äquivalente Ergebnisse liefern.

In dem Kapitel über Konvertierungen, wie z. B. Konvertierung durch Einschränkung - Alle X ist Y, daher ist einige Y X -. Boole fand die aristotelische Klassifikation insofern fehlerhaft, als sie Ergänzungen wie nicht-X nicht auf der gleichen Grundlage wie die genannten behandelte Klassen X, Y, Z usw. Mit Blick auf seine erweiterte Version der aristotelischen Logik (wobei nicht X die gleiche Abrechnung ergab) gab er (S. 30) einen Satz von drei Transformationsregeln, die es einem ermöglichten, alle gültigen zweizeiligen zu konstruieren kategoriale Argumente (vorausgesetzt, Sie haben die ungeschriebene Konvention akzeptiert, dass einfache Namen wie X und nicht-X nicht leere Klassen bezeichnen).

In Bezug auf Syllogismen kümmerte sich Boole nicht um die aristotelische Einteilung in Figuren und Stimmungen, da sie eher willkürlich und für die algebraische Umgebung nicht besonders geeignet schienen. Seine erste Beobachtung war, dass syllogistisches Denken nur eine Übung zur Eliminierung war, nämlich die Mittelfrist wurde eliminiert, um die Schlussfolgerung zu ziehen. Die Eliminierung war in der gewöhnlichen algebraischen Theorie der Gleichungen bekannt, daher lieh sich Boole einfach ein Standardergebnis aus, das er in seiner Algebra der Logik verwenden konnte. Wenn die Prämissen eines Syllogismus die Klassen X, Y und Z umfassten und man y eliminieren wollte, dann stellte Boole die Gleichungen für die beiden Prämissen in die Form:

ay + b = 0

a 'y + b' = 0.

Das Ergebnis der Eliminierung von y in der gewöhnlichen Algebra ergab die Gleichung

ab '- a' b = 0,

und das ist es, was Boole in seiner Algebra der Logik verwendete, um die Schlussgleichung abzuleiten. Obwohl die Schlussfolgerung tatsächlich richtig ist, wäre dieses Eliminierungsergebnis für seine Algebra der Logik leider zu schwach, wenn er nur seine primären Übersetzungen in Gleichungen verwenden würde. In den Fällen, in denen beide Prämissen als Gleichungen der Form ay = 0 übersetzt wurden, stellte sich heraus, dass die Eliminierungsschlussfolgerung 0 = 0 ist, obwohl die aristotelische Logik möglicherweise eine nicht triviale Schlussfolgerung verlangt. Dies war der Grund, warum Boole die alternativen Gleichungsübersetzungen kategorialer Sätze einführte, um alle gültigen aristotelischen Syllogismen ableiten zu können (siehe S. 32). Mit dieser Konvention, bei Bedarf Sekundärübersetzungen zu verwenden, stellte sich heraus, dass die einzigen Fälle, die zu 0 = 0 führten, diejenigen waren, für die die Prämissen nicht zu einem gültigen Syllogismus gehörten.

Boole betonte, dass, wenn eine Prämisse über X und Y in eine Gleichung mit x, y und v übersetzt wird, das Verständnis darin bestand, dass v verwendet werden sollte, um „einige“auszudrücken, jedoch nur in dem Kontext, in dem es in der Prämisse erschien. Zum Beispiel hat "Einige X ist Y" die primäre Übersetzung v = xy, was die sekundäre Übersetzung vx = vy impliziert. Dies könnte auch als "Einige X ist Y" gelesen werden. Eine weitere Folge von v = xy ist v (1 - x) = v (1 - y). Es war jedoch nicht erlaubt, dies als „Einige nicht-X ist nicht-Y“zu lesen, da v nicht mit 1− x in der Prämisse erschien. Booles Verwendung von v bei der Übersetzung von Sätzen in Gleichungen sowie seine Verwendung bei der Lösung von Gleichungen war ein langjähriger Streitpunkt.

Boole analysierte die sieben Formen hypothetischer Syllogismen, die in der aristotelischen Logik vorkamen, vom disjunktiven Syllogismus bis zum komplexen destruktiven Dilemma, und wies darauf hin, dass es einfach sein würde, viele weitere solcher Formen zu schaffen. Im Postscript zu MAL erkannte Boole, dass die Aussagenlogik ein zweiwertiges System verwendete, bot jedoch keine Aussagenlogik an, um damit umzugehen.

Beginnend mit dem Kapitel Eigenschaften von Wahlfunktionen entwickelte Boole allgemeine Theoreme für die Arbeit mit Gleichungen in seiner Algebra der Logik - der Expansionssatz und die Eigenschaften von Bestandteilen werden in diesem Kapitel erörtert. Bis zu diesem Punkt war sein einziger Fokus darauf zu zeigen, dass die aristotelische Logik mit einfachen algebraischen Methoden gehandhabt werden kann, hauptsächlich unter Verwendung eines Eliminationssatzes, der aus der gewöhnlichen Algebra entlehnt ist.

Für Boole war es selbstverständlich, Gleichungen in seiner Algebra der Logik lösen zu wollen, da dies ein Hauptziel der gewöhnlichen Algebra war und zu vielen schwierigen Fragen geführt hatte (z. B. wie man eine Gleichung 5. Grades löst). Zum Glück für Boole war die Situation in seiner Algebra der Logik viel einfacher - er konnte immer eine Gleichung lösen, und es war wichtig, die Lösung für Anwendungen seines Systems zu finden, um Schlussfolgerungen in der Logik abzuleiten. Eine Gleichung wurde teilweise durch Verwendung von Expansion nach Durchführung der Division gelöst. Diese Lösungsmethode war das Ergebnis, auf das er am stolzesten war - sie beschrieb, wie eine Wahlgleichung für eines ihrer Symbole in Bezug auf die anderen gelöst werden kann, und genau dies behauptete Boole (im Einführungskapitel von MAL) bieten "die Mittel für eine perfekte Analyse aller denkbaren Sätze von Aussagen, …". In LT würde Boole dieses Tool weiterhin als Höhepunkt seiner Arbeit betrachten.

Booles letztes Beispiel (S. 78) in MAL verwendete eine bekannte Technik zur Behandlung von Randbedingungen in der Analyse, die Lagrange-Multiplikatoren genannt wurde. Diese Methode wurde, wie seine Verwendung der Taylor-Reihe, offensichtlich als übertrieben, wenn nicht etwas zweifelhaft angesehen und erschien nicht in LT (Taylor-Serie erschien in einer Fußnote in LT-Boole hatte sie nicht vollständig aufgegeben).

4. Die Gesetze des Denkens (1854)

Booles zweites Logikbuch, Eine Untersuchung der Denkgesetze, auf dem die 1854 veröffentlichten mathematischen Theorien der Logik und Wahrscheinlichkeiten beruhen, war ein Versuch, sein Buch über Logik von 1847 zu korrigieren und zu perfektionieren. In der zweiten Hälfte dieses 424-seitigen Buches wurde die Wahrscheinlichkeitstheorie als hervorragendes Thema vorgestellt, um die Kraft seiner Algebra der Logik zu veranschaulichen. Boole diskutierte die theoretische Möglichkeit, mithilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie (erweitert durch seine Algebra der Logik) grundlegende Gesetze für die Gesellschaft aufzudecken, indem er große Mengen sozialer Daten analysiert.

Boole sagte, dass er einfache Buchstaben wie x verwenden würde, um Klassen darzustellen, obwohl er später auch Großbuchstaben wie V verwenden würde. Das Universum war eine Klasse; und es gab eine Klasse, die als „keine Wesen“beschrieben wurde und die wir die leere Klasse nennen. Die Multiplikationsoperation wurde als Schnittmenge definiert, und dies führte zu seinem ersten Gesetz, xy = yx. Als nächstes (einige Seiten später) gab er das idempotente Gesetz x ² = x an. Die Addition wurde als Aggregation eingeführt, wenn die Klassen disjunkt waren. Er gab das kommutative Gesetz für die Addition x + y = y + x und das Verteilungsgesetz z (x + y) = zx + zy an. Dann folgten x - y = - y + x und z (x - y) = zx - zy.

Man könnte erwarten, dass Boole wie in MAL auf eine axiomatische Grundlage für seine Algebra der Logik hinarbeitete, offensichtlich nachdem er erkannt hatte, dass die drei Gesetze in MAL nicht genug waren. In der Tat diskutierte er die Inferenzregeln, dass das Addieren oder Subtrahieren von Gleichheit von Gleichheit Gleichheit ergibt und das Multiplizieren von Gleichheit mit Gleichheit Gleichheit ergibt. Aber dann kam die Entwicklung eines axiomatischen Ansatzes abrupt zum Stillstand. Es gab keine Diskussion darüber, ob diese Axiome und Regeln ausreichten, um seine Algebra der Logik aufzubauen. Stattdessen präsentierte er einfach und kurz mit bemerkenswert wenig Fanfare eine radikal neue Grundlage für seine Algebra der Logik.

Er sagte, da die einzigen idempotenten Zahlen 0 und 1 seien, würde dies darauf hindeuten, dass die korrekte Algebra für die Logik die gemeinsame Algebra der gewöhnlichen Zahlen sei, die durch Beschränkung der Symbole auf die Werte 0 und 1 modifiziert wurde Artikel, heißt die Regel von 0 und 1, dass ein Gesetz oder Argument in der Logik gehalten wird, wenn es nach seiner Übersetzung in eine Gleichungsform in gemeinsamer Algebra mit dieser 0,1-Einschränkung der möglichen Interpretationen (dh Werte) der Symbole gehalten wird. Boole würde diese Regel verwenden, um seine Hauptsätze (Erweiterung, Reduktion, Eliminierung) zu rechtfertigen, und für keinen anderen Zweck. Die Hauptsätze lieferten wiederum Booles allgemeine Methode zur Analyse der Konsequenzen von Satzprämissen.

In Kapitel V erörterte er die Rolle von Uninterpretierbaren in seiner Arbeit; Als (teilweise) Rechtfertigung für die Verwendung nicht interpretierbarer Schritte in der symbolischen Algebra wies er auf die bekannte Verwendung von √ - 1 hin. In den folgenden Kapiteln gab er den Expansionssatz, den neuen Eliminationssatz voller Stärke, einen Reduktionssatz und die Verwendung der Division zur Lösung einer Gleichung an.

Nach vielen Beispielen und Ergebnissen für spezielle Fälle der Lösung von Gleichungen wandte sich Boole dem Thema der Interpretierbarkeit einer logischen Funktion zu. Boole hatte bereits festgestellt, dass jede Gleichung interpretierbar ist (indem sie in eine Sammlung von Gleichungen umgewandelt wird). Begriffe müssen jedoch nicht interpretierbar sein, z. B. ist 1 + 1 nicht interpretierbar.

Booles Kapitel über sekundäre Sätze war im Wesentlichen das gleiche wie in MAL, außer dass er von „den Fällen, in denen X wahr ist“zu „den Zeiten, in denen X wahr ist“wechselte. In Kapitel XIII wählte Boole einige bekannte Argumente von Clarke und Spinoza über die Natur eines ewigen Wesens aus, um sie unter die Lupe seiner Algebra der Logik zu stellen, beginnend mit dem Kommentar:

2. Die hauptsächliche praktische Schwierigkeit dieser Untersuchung besteht nicht in der Anwendung der Methode auf die einmal festgelegten Räumlichkeiten, sondern in der Feststellung der Räumlichkeiten.

Eine Schlussfolgerung war:

19. Ich denke, es ist nicht möglich, sich aus der Durchsicht der Argumente von Clarke und Spinoza zu erheben, ohne die Sinnlosigkeit aller Bemühungen, die Existenz eines unendlichen Wesens, seiner Eigenschaften und Seine Beziehung zum Universum.

Im letzten Kapitel über Logik, Kapitel XV, präsentierte Boole seine Analyse der Umwandlungen und Syllogismen der aristotelischen Logik. Er betrachtete diese alte Logik als einen schwachen, fragmentierten Versuch eines logischen Systems. Dieses viel vernachlässigte Kapitel ist sehr interessant, da es das einzige Kapitel ist, in dem er bestimmte Sätze analysiert und zusätzliche Buchstaben wie „v“verwendet, um „einige“zu codieren. Dies ist auch das Kapitel, in dem er (leider unvollständig) die Regeln für die Arbeit mit „einigen“ausführlich beschrieb.

Kurz gesagt, Boole gab dem Leser eine Zusammenfassung der traditionellen aristotelischen kategorialen Logik und analysierte einige einfache Beispiele unter Verwendung von Ad-hoc-Techniken mit seiner Algebra der Logik. Dann begann er, ein umfassendes Ergebnis zu beweisen, indem er seine allgemeine Methode auf das Gleichungspaar anwendete:

vx = v 'y

w z = w' y,

unter Hinweis darauf, dass die Prämissen vieler kategorialer Syllogismen in diese Form gebracht werden können. Sein Ziel war es, y zu eliminieren und Ausdrücke für x, 1 - x und vx in Form von z, v, v ', w, w' zu finden. Dies führte zu drei Gleichungen mit großen algebraischen Ausdrücken. Boole ließ fast alle Details seiner Herleitung weg, fasste die Ergebnisse jedoch in Bezug auf die etablierten Ergebnisse der aristotelischen Logik zusammen. Dann bemerkte er, dass die verbleibenden kategorialen Syllogismen so sind, dass ihre Prämissen in die folgende Form gebracht werden können:

vx = v 'y

wz = w '(1 - y),

und dies führte zu einem weiteren Dreifach großer Gleichungen.

5. Spätere Entwicklungen

5.1 Einwände gegen Booles Algebra der Logik

Im Laufe der Jahre wurden viele Einwände gegen Booles System veröffentlicht. Drei der wichtigsten Anliegen:

• die Verwendung von nicht interpretierbaren Schritten in Ableitungen,
• die Behandlung bestimmter Sätze durch Gleichungen, und
• die Methode des Umgangs mit Teilung.

Wir betrachten einen anderen Einwand, nämlich den Streit zwischen Boole und Jevons über das Hinzufügen von X + X = X als Gesetz. In Gesetzen des Denkens, p. 66, sagte Boole:

Der Ausdruck x + y scheint tatsächlich nicht interpretierbar zu sein, es sei denn, es wird angenommen, dass die durch x dargestellten Dinge und die durch y dargestellten Dinge völlig getrennt sind; dass sie keine gemeinsamen Individuen umarmen.

[Die folgenden Details stammen aus "Die Entwicklung der Theorien der mathematischen Logik und der Prinzipien der Mathematik, William Stanley Jevons" von Philip Jourdain, 1914.]

In einem Brief an Boole von 1863 über einen Entwurf eines Kommentars zu Booles System, den Jevons für sein bevorstehendes Buch in Betracht zog (Pure Logic, 1864), sagte Jevons:

Es ist jedoch sicher offensichtlich, dass x + x nur x entspricht,…

Die Notation von Professor Boole [Prozess der Subtraktion] widerspricht einem selbstverständlichen Gesetz.

Wenn meine Ansicht richtig ist, wird sein System als eine bemerkenswerte Kombination aus Wahrheit und Irrtum angesehen.

Boole antwortete:

Somit ist die Gleichung x + x = 0 äquivalent zu der Gleichung x = 0; Der Ausdruck x + x entspricht jedoch nicht dem Ausdruck x.

Jevons antwortete mit der Frage, ob Boole die Wahrheit von x + x = x leugnen könne.

Boole, deutlich verärgert, antwortet:

Um explizit zu sein, antworte ich jetzt jedoch, dass es nicht wahr ist, dass in Logik x + x = x, obwohl es wahr ist, dass x + x = 0 gleich x = 0 ist. Wenn ich nicht mehr schreibe, ist es nicht von jeglicher Unwilligkeit, das Thema mit Ihnen zu besprechen, aber einfach, weil es unmöglich ist, dass wir uns in anderen einig sind, wenn wir uns in diesem grundlegenden Punkt unterscheiden.

Jevons letzter Versuch, Boole dazu zu bringen, das Problem zu verstehen, war:

Ich bezweifle nicht, dass es Ihnen offen steht,… [dass x + x = x nicht wahr ist] gemäß den Gesetzen Ihres Systems zu halten, und mit dieser Erklärung stimmt Ihr System wahrscheinlich vollkommen mit sich selbst überein… Aber die Frage wird dann ein breiteres - entspricht Ihr System der Logik des allgemeinen Denkens?

Jevons neues Gesetz, X + X = X, resultierte aus seiner Überzeugung, dass "+" das bezeichnen sollte, was wir jetzt Gewerkschaft nennen, wobei die Mitgliedschaft von X + Y durch ein inklusives "oder" gegeben ist. Boole sah einfach keine Möglichkeit, X + Y als Klasse zu definieren, es sei denn, X und Y waren, wie bereits erwähnt, disjunkt.

Es wurden verschiedene Erklärungen gegeben, warum Boole die Möglichkeit von Jevons Vorschlag nicht nachvollziehen konnte. Boole hatte eindeutig das semantische Konzept der Vereinigung - er drückte die Vereinigung von X und Y als x + (y - x) aus, eine Vereinigung zweier disjunkter Klassen, und wies darauf hin, dass die Elemente dieser Klasse diejenigen sind, die zu beiden X gehören oder Y oder beides. Wie konnte er also die Möglichkeit, eine Gewerkschaft für seine grundlegende Operation + anstelle seiner merkwürdigen partiellen Gewerkschaftsoperation zu übernehmen, so völlig übersehen?

Die Antwort ist einfach: Das Gesetz x + x = x hätte seine Fähigkeit zur Verwendung der gewöhnlichen Algebra zerstört: Von x + x = x hat man nach gewöhnlicher Algebra x = 0. Dies würde jedes Klassensymbol zwingen, die leere Klasse zu bezeichnen. Jevons vorgeschlagenes Gesetz x + x = x war einfach nicht wahr, wenn man sich dazu verpflichten wollte, dass gewöhnliche Algebra als Algebra der Logik fungiert.

5.2. Moderne Rekonstruktion von Booles System

Angesichts des enormen Grads an Raffinesse, der in der modernen Algebra im 20. Jahrhundert erreicht wurde, ist es ziemlich überraschend, dass eine gesetzeserhaltende totale Algebraerweiterung von Booles partieller Klassenalgebra erst in Theodore Hailperins Buch von 1976 erschien - die Verzögerung wurde wahrscheinlich von den Lesern verursacht Ich glaube nicht, dass Boole gewöhnliche Algebra benutzte. Hailperins Erweiterung bestand darin, Beschriftungen des Universums mit ganzen Zahlen zu betrachten, dh jedes Element des Universums ist mit einer ganzen Zahl beschriftet. Jede Beschriftung des Universums erzeugt eine Mehrfachmenge (vielleicht sollte man Mehrfachklasse sagen), die aus den beschrifteten Elementen besteht, bei denen die Beschriftung nicht Null ist. Man kann sich die Beschriftung eines Elements als Beschreibung der Anzahl der Kopien des Elements vorstellen im Multi-Set. Boole 's Klassen entsprechen den Mehrfachmengen, bei denen alle Beschriftungen 1 sind (die Elemente, die nicht in der Klasse enthalten sind, haben die Beschriftung 0). Die nicht interpretierbaren Elemente von Boole werden interpretierbar, wenn sie als Mehrfachsätze betrachtet werden. Sie werden durch Beschriftungen des Universums angegeben, bei denen einige Beschriftungen nicht 0 oder 1 sind.

Um zwei Mehrfachsätze hinzuzufügen, fügt man einfach die Beschriftungen für jedes Element des Universums hinzu. Ebenso zur Subtraktion und Multiplikation. (Für den Leser, der mit der modernen abstrakten Algebra vertraut ist, kann man die Erweiterung von Booles Teilalgebra als Z ^{U betrachten,} wobei Z der Ring von ganzen Zahlen und U das Universum des Diskurses ist.) Die den Klassen entsprechenden Mehrfachmengen sind genau die idempotente Multi-Sets. Es stellt sich heraus, dass die Gesetze und Prinzipien, die Boole in seiner Algebra der Logik verwendete, für dieses System gelten. Auf diese Weise wird bewiesen, dass Booles Methoden für die Algebra der Logik universeller Sätze korrekt sind. Hailperins Analyse galt nicht für bestimmte Aussagen.

Boole konnte keine Übersetzung finden, die für die einzelnen Sätze so sauber funktionierte wie für die universellen Sätze. 1847 verwendete Boole die folgenden zwei Übersetzungen, wobei die zweite eine Folge der ersten war:

Einige X sind Y s …………. v = xy und vx = vy.

Er benutzte zunächst das Symbol v, um die Essenz von „einigen“zu erfassen. Später verwendete er auch andere Symbole und v mit anderen Bedeutungen (z. B. für die Koeffizienten in einer Erweiterung). Eines der Probleme mit seinem Übersetzungsschema mit v war, dass man manchmal „Randnotizen“benötigte, um zu verfolgen, an welche Klasse (n) das v bei seiner Einführung angehängt war. Die Regeln für die Übersetzung von Gleichungen mit v zurück zu bestimmten Aussagen wurden nie klar formuliert. Zum Beispiel sieht man in Kapitel XV eine Ableitung von x = vv 'y, die dann übersetzt wird als Some X is Y. Aber er hatte keine Regeln dafür, wann ein Produkt von v den Import von "einigen" trägt. Solche Probleme beeinträchtigen das System von Boole; Seine Erklärungen lassen Zweifel daran aufkommen, welche Verfahren in seinem System im Umgang mit bestimmten Aussagen legitim sind.

Es gibt einen Punkt, an dem selbst Hailperin Booles Werk nicht treu war, nämlich die moderne Semantik, bei der sich die einfachen Symbole x, y usw. sowohl auf die leere Klasse als auch auf eine nicht leere Klasse beziehen können. Mit der modernen Semantik kann man nicht die Konvertierung durch Begrenzung haben, die in der aristotelischen Logik gilt: von All X ist Y folgt Einige Y ist X. In seiner formalen Logik von 1847 wies De Morgan darauf hin, dass alle Verfasser der Logik angenommen hatten, dass die Klassen, auf die in einem kategorischen Satz Bezug genommen wird, nicht leer seien. Diese Beschränkung der Klassensymbole auf nicht leere Klassen und doppelt auf Nichtuniversumklassen wird als aristotelische Semantik bezeichnet. Boole war offensichtlich dieser aristotelischen Konvention gefolgt, weil er alle aristotelischen Ergebnisse abgeleitet hatte, wie z. B. Conversion by Limitation. Eine richtige Interpretation (Boole treu 's Arbeit) von Booles System erfordert eine aristotelische Semantik für die Klassensymbole x, y, z,…; Leider scheint es, dass die veröffentlichte Literatur über Booles System dies nicht bemerkt hat.

6. Booles Methoden

Beim Lesen dieses Abschnitts über die technischen Details der Boole-Methoden kann es für den Leser hilfreich sein, die

Ergänzung von Beispielen aus Booles zwei Büchern.

Diese Beispiele wurden durch Kommentare ergänzt, die in jedem Schritt einer Ableitung von Boole erläutern, welcher Aspekt seiner Methoden angewendet wird.

6.1 Die drei von Boole in LT verwendeten Methoden der Argumentanalyse

Boole verwendete drei Methoden, um Argumente in LT zu analysieren:

(1) Das erste waren die rein ad-hoc-algebraischen Manipulationen, die (in Verbindung mit einer schwachen Version des Eliminationssatzes) für die aristotelischen Argumente in MAL verwendet wurden.

(2) Zweitens findet man in Kapitel II Abschnitt 15 des LT die Methode, die in diesem Artikel als Regel von 0 und 1 bezeichnet wird.

Die Sätze von LT ergeben zusammen das Master-Ergebnis.

(3) Booles allgemeine Methode (in diesem Artikel wird immer auf großgeschriebene Anfangsbuchstaben Bezug genommen - Boole nannte sie einfach „eine Methode“).

Bei der Anwendung der Ad-hoc-Methode verwendete er Teile der gewöhnlichen Algebra zusammen mit dem idempotenten Gesetz x ² = x, um Gleichungen zu manipulieren. Es gab kein vorab festgelegtes Verfahren, um mit dieser Methode erfolgreich zu sein, was von intuitiven Fähigkeiten abhängt, die durch Erfahrung entwickelt wurden.

Die zweite Methode, die Regel von 0 und 1, ist sehr leistungsfähig, hängt jedoch davon ab, ob eine Sammlung von Prämissengleichungen und eine Abschlussgleichung vorliegen. Es ist eine Methode wie bei einer Wahrheitstabelle (aber Boole hat bei der Anwendung der Methode nie eine Tabelle gezeichnet), um festzustellen, ob das Argument korrekt ist. Boole verwendete diese Methode nur, um die Theoreme zu etablieren, die seine allgemeine Methode rechtfertigten, obwohl sie ein hervorragendes Werkzeug für einfache Argumente wie Syllogismen ist. Die Regel von 0 und 1 ist eine etwas schattige Zahl in LT - sie hat keinen Namen und wird niemals durch Abschnitt oder Seitenzahl bezeichnet.

Die dritte Methode zur Analyse von Argumenten war der Höhepunkt von Booles Arbeit in der Logik, seiner allgemeinen Methode (die unmittelbar danach erörtert wurde). Dies ist die, die er für alle außer den einfachsten Beispielen in LT verwendet hat; Für die einfachsten Beispiele griff er auf die erste Methode der algebraischen Ad-hoc-Techniken zurück, da ihre Verwendung für einen Fachmann für algebraische Manipulationen normalerweise weitaus effizienter ist als die allgemeine Methode.

Die endgültige Version (von LT) seiner Allgemeinen Methode zur Analyse von Argumenten lautet kurz:

(1) die Sätze in Gleichungen umwandeln (oder übersetzen), (2) eine vorgeschriebene Folge von algebraischen Prozessen auf die Gleichungen anwenden, Prozesse, die die gewünschten Abschlussgleichungen ergeben, und dann

(3) Umwandlung der Gleichungsschlussfolgerungen in Aussagenschlussfolgerungen, die die gewünschten Konsequenzen der ursprünglichen Sammlung von Aussagen ergeben.

Mit dieser Methode hatte Boole die Kunst des Denkens von Prämissensätzen zu Schlusssätzen durch ein routinemäßiges mechanisch-algebraisches Verfahren ersetzt.

In LT teilte Boole Sätze in zwei Arten ein, primäre und sekundäre. Diese entsprechen der aristotelischen Unterteilung in kategoriale und hypothetische Sätze, sind aber nicht genau gleich. Zuerst diskutieren wir seine allgemeine Methode, die auf Primärsätze angewendet wird.

6.2. Booles allgemeine Methode für Primärsätze

Boole erkannte drei Formen von Primärsätzen:

• Alles X ist Y.
• Alles X ist alles Y.
• Einige X ist Y.

Dies war seine Version der aristotelischen kategorialen Sätze, wobei X der Subjektbegriff und Y der Prädikatbegriff ist. Die Begriffe X und Y können komplexe Namen sein, beispielsweise könnte X X ₁ oder X _{2 sein}.

SCHRITT 1: Namen werden wie folgt in algebraische Begriffe umgewandelt:

Bedingungen	MAL		LT
Universum	1	p. fünfzehn	1	p. 48
leere Klasse			0	p. 47
nicht X.	1 - x	p. 20	1 - x	p. 48
X und Y.	xy	p. 16	xy	p. 28
X oder Y (einschließlich)			x + y (1 - x) xy + x (1 - y) + y (1 - x)	p. 56
X oder Y (exklusiv)			x (1 - y) + y (1 - x)	p. 56

Wir werden die Buchstaben x, y, … Klassensymbole nennen (wie bereits erwähnt, hat die Algebra des 19. Jahrhunderts die Wortvariablen nicht verwendet).

SCHRITT 2: Nachdem die Namen der Begriffe in algebraische Begriffe umgewandelt wurden, werden die Sätze wie folgt in Gleichungen umgewandelt:

Primärsätze	MAL (1847)		LT (1854)
Alles X ist Y.	x (1 - y) = 0	p. 26	x = vy	p. 64, 152
Kein X ist Y.	xy = 0		(nicht primär)
Alles X ist alles Y.	(nicht primär)		x = y
Einige X ist Y.	v = xy		vx = vy
Einige X ist nicht Y.	v = x (1 - y)		(nicht primär)

Boole verwendete die vier kategorialen Sätze 1847 als seine primären Formen, aber 1854 beseitigte er die negativen Satzformen und stellte fest, dass man „nicht Y“in „nicht Y“ändern konnte. So drückte er 1854 mit der Übersetzung „Kein X ist Y“durch „Alles X ist nicht Y“aus

x (1 - (1 - y)) = 0,

was zu xy = 0 vereinfacht.

SCHRITT 3: Nach der Umwandlung der Prämissen in eine algebraische Form hat man beispielsweise eine Sammlung von Gleichungen

p 1 = q 1,

p 2 = q 2,

…,

p n = q n.

Drücken Sie diese als Gleichungen mit 0 auf der rechten Seite aus, dh als

r 1 = 0,

r 2 = 0,

…,

r n = 0,

mit

r 1: = p 1 - q 1,

r 2: = p 2 - q 2,

…,

r n: = p n - q n.

SCHRITT 4: (REDUZIERUNG) [LT (S. 121)]

Reduzieren Sie das Gleichungssystem

r 1 = 0,

r 2 = 0,

…,

r n = 0,

zu einer einzigen Gleichung r = 0. Boole hatte drei verschiedene Methoden, um dies zu tun - er schien es vorzuziehen, die Quadrate zu summieren:

r: = r ₁ ² + · · · + r _n ² = 0.

Die Schritte 1 bis 4 sind in der allgemeinen Methode von Boole obligatorisch. Nach dem Ausführen dieser Schritte gibt es je nach Ziel verschiedene Optionen zum Fortfahren.

SCHRITT 5: (BESEITIGUNG) [LT (S. 101)]

Angenommen, man möchte die allgemeinste aus r = 0 abgeleitete Gleichungsschlussfolgerung, die einige, aber nicht alle Klassensymbole in r umfasst. Dann möchte man bestimmte Symbole entfernen. Angenommen, r beinhaltet die Klassensymbole

x ₁,…, x _j und y ₁,…, y _k.

Dann kann man r als r schreiben (x ₁,…, x _j, y ₁,…, y _k).

Booles Verfahren zum Entfernen der Symbole x ₁,…, x _j aus

r (x ₁,…, x _j, y ₁,…, y _k) = 0

erhalten

s (y ₁,…, y _k) = 0

war wie folgt:

1. Bilden Sie alle möglichen Ausdrücke r (a ₁,…, a _j, y ₁,…, y _k), wobei a ₁,…, a _j jeweils entweder 0 oder 1 sind

2. Multiplizieren Sie alle diese Ausdrücke, um s (y ₁,…, y _k) zu erhalten.

Zum Beispiel x ₁, x ₂ aus entfernen

r (x ₁, x ₂, y) = 0

gibt

s (y) = 0

wo

s (y): = r (0, 0, y) · r (0, 1, y) · r (1, 0, y) · r (1, 1, y).

SCHRITT 6: (ENTWICKLUNG oder ERWEITERUNG) [MAL (S. 60), LT (S. 72, 73)]

Wenn ein Term gegeben ist, beispielsweise r (x ₁,…, x _j, y ₁,…, y _k), kann man den Term in Bezug auf eine Teilmenge der Klassensymbole erweitern. Um in Bezug auf x ₁,… zu erweitern, gibt x _j

r = Summe der Terme

r (a ₁,…, a _j, y ₁,…, y _k) · C (a ₁, x ₁) · · · C (a _j, x _j),

wobei a ₁,…, a _j über alle Folgen von 0s und 1s der Länge _j reichen und wobei C (a _i, x _i) definiert sind durch:

C (1, x _i): = x _i und C (0, x _i): = 1 - x _i.

Boole sagte die Produkte:

C (a ₁, x ₁) · · · C (a _j, x _j)

waren die Bestandteile von x ₁,…, x _j. Es gibt 2 ^j verschiedene Bestandteile für j Symbole. Die Bereiche eines Venn-Diagramms bieten eine beliebte Möglichkeit, Bestandteile zu visualisieren.

SCHRITT 7: (ABTEILUNG: LÖSUNG FÜR EIN KLASSENSYMBOL) [MAL (S. 73), LT (S. 86, 87)]

Nehmen wir bei einer Gleichung r = 0 an, man möchte diese Gleichung für eines der Klassensymbole lösen, sagen wir x, in Bezug auf die anderen Klassensymbole, sagen wir, sie sind y ₁,…, y _k. Lösen:

r (x, y ₁,…, y _k) = 0

für x zuerst lassen:

N (y ₁,…, y _k) = - r (0, y ₁,…, y _k)

D (y ₁,…, y _k) = r (1, y ₁,…, y _k) - r (0, y ₁,…, y _k).

Dann:

x = s (y ₁,…, y _k)

wo s (y ₁,…, y _k) ist:

(1) die Summe aller Bestandteile

C (a ₁, y ₁) · · · C (a _k, y _k),

wobei a ₁,…, a _k über alle Folgen von 0s und 1s reichen, für die:

N (a ₁,…, a _k) = D (a ₁,…, a _k) ≠ 0,

Plus

(2) die Summe aller Bedingungen des Formulars

V _{a 1 … a k · C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k)}

für welche:

N (a ₁,…, a _k) = D (a ₁,…, a _k) = 0.

Die V _{a 1 … a k sind Parameter, die beliebige Klassen bezeichnen (ähnlich wie bei der Untersuchung linearer Differentialgleichungen, ein Thema, in dem Boole Experte war).}

Zu dieser Gleichung für x schließen sich die Nebenbedingungen an (die wir konstituierende Gleichungen nennen werden)

C (a ₁, y ₁) · · · C (a _k, y _k) = 0

wann immer

D (a ₁,…, a _k) ≠ N (a ₁,…, a _k) ≠ 0.

Beachten Sie, dass man die Begriffe bewerten soll:

D (a ₁,…, a _k) und N (a ₁,…, a _k)

mit gewöhnlicher Arithmetik. Das Lösen einer Gleichung r = 0 für ein Klassensymbol x ergibt somit eine Gleichung

x = s (y ₁,…, y _k),

vielleicht mit Nebenzustandsgleichungen.

SCHRITT 8: (AUSLEGUNG) [MAL S. 64–65, LT (Kap. VI, insbesondere S. 82–83)]

Angenommen, die Gleichung r (y ₁,…, y _k) = 0 wurde nach Booles Methode aus einer gegebenen Sammlung von Prämissengleichungen erhalten. Dann entspricht diese Gleichung der Sammlung von Konstituentengleichungen

C (a ₁, y ₁) · · · C (a _k, y _k) = 0

für die r (a ₁,…, a _k) nicht 0 ist. Eine konstituierende Gleichung besagt lediglich, dass ein bestimmter Schnittpunkt der ursprünglichen Klassen und ihrer Komplemente leer ist. Beispielsweise,

y ₁ (1 - y ₂) (1 - y ₃) = 0

drückt den Satz "Alle Y ₁ ist Y ₂ oder Y ₃ " oder äquivalent "Alle Y ₁ und nicht Y ₂ ist Y ₃ " aus. Es ist Routine, konstituierende Gleichungen in Sätze umzuwandeln.

6.3. Booles allgemeine Methode für Sekundärsätze

Sekundärsätze waren Booles Version der Sätze, denen man bei der Untersuchung hypothetischer Syllogismen in der aristotelischen Logik begegnet, Aussagen wie „Wenn X oder Y, dann Z.“Die Symbole X, Y, Z usw. von Sekundärsätzen bezogen sich nicht auf Klassen, sondern auf (Primär-) Sätze. In Übereinstimmung mit der Unvollständigkeit der aristotelischen Behandlung hypothetischer Sätze gab Boole keine genaue Beschreibung möglicher Formen für seine sekundären Sätze.

Die wichtigste (aber nicht originale) Beobachtung, die Boole verwendete, war einfach, dass man sekundäre Sätze in primäre Sätze umwandeln kann. In MAL übernahm er die in Whately (1826) gefundene Konvention, dass bei einem Satzsymbol X das Symbol x „die Fälle bezeichnet, in denen X wahr ist“, während in LT Boole x „die Zeiten bezeichnet, für die X wahr ist“”. Damit wird der sekundäre Satz "Wenn X oder Y, dann Z" einfach "Alle x oder y ist z". Die Gleichung x = 1 ist die Gleichungsübersetzung von "X ist wahr" (in allen Fällen oder für alle Zeiten), und x = 0 sagt "X ist falsch" (in allen Fällen oder für alle Zeiten).

Mit diesem Übersetzungsschema ist klar, dass Booles Behandlung von Sekundärsätzen mit den Methoden analysiert werden kann, die er für Primärsätze entwickelt hat. Dies war Booles Aussagenlogik.

Boole arbeitete nur mit aristotelischen Aussagen in MAL, wobei er die traditionelle Unterteilung in Kategorien und Hypothesen verwendete. Man betrachtet "X und Y", "X oder Y" usw. nicht in kategorialen Sätzen, sondern nur in hypothetischen Sätzen. In LT wurde diese Unterteilung durch die ähnliche, aber allgemeinere primäre gegenüber der sekundären Klassifikation ersetzt, bei der das Subjekt und das Prädikat zu komplexen Namen werden durften und die Anzahl der Sätze in einem Argument uneingeschränkt wurde. Damit wurden die Parallelen zwischen der Logik der Primärsätze und der der Sekundärsätze deutlich, mit einem bemerkenswerten Unterschied, nämlich dass sich die Sekundärsätze immer in universelle Primärsätze übersetzen lassen.

Sekundärsätze	MAL (1847)		LT (1854)
X ist wahr	x = 1	p. 51	x = 1	p. 172
X ist falsch	x = 0	"	x = 1	"
X und Y.	xy = 1	"	xy = 1	"
X oder Y (einschließlich)	x + y - xy = 1	p. 52
X oder Y (exklusiv)	x - 2 xy + y = 1	p. 53	x (1 - y) + y (1 - x) = 1	p. 173
Wenn X dann Y.	x (1 - y) = 0	p. 54	x = vy	p. 173

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Andere Internetquellen

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• Augustus De Morgan, Duncan Farquharson Gregory, William Jevons, George Peacock, Ernst Schröder, Das MacTutor-Archiv für Geschichte der Mathematik
• Algebraische Logikgruppe, Alfred Reyni Institut für Mathematik, Ungarische Akademie der Wissenschaften