Luitzen Egbertus Jan Brouwer

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

Dies ist eine Datei im Archiv der Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Erstveröffentlichung Mi 26. März 2003; inhaltliche Überarbeitung So 25.09.2005

Niederländischer Mathematiker und Philosoph, der von 1881 bis 1966 lebte. Er wird traditionell als "LEJ Brouwer" mit vollständigen Initialen bezeichnet, wurde aber von seinen Freunden "Bertus" genannt.

In der klassischen Mathematik begründete er die moderne Topologie, indem er beispielsweise die topologische Invarianz der Dimension und den Fixpunktsatz festlegte. Er gab auch die erste richtige Definition der Dimension.

In der Philosophie ist seine Idee der Intuitionismus, eine revisionistische Grundlage der Mathematik. Der Intuitionismus betrachtet Mathematik als eine freie Aktivität des Geistes, unabhängig von einer Sprache oder einem platonischen Bereich von Objekten, und stützt die Mathematik daher auf eine Philosophie des Geistes. Es gibt zwei Implikationen. Erstens führt dies zu einer Form der konstruktiven Mathematik, in der große Teile der klassischen Mathematik abgelehnt werden. Zweitens führt das Vertrauen in eine Philosophie des Geistes Merkmale ein, die sowohl in der klassischen Mathematik als auch in anderen Formen der konstruktiven Mathematik fehlen: Im Gegensatz zu diesen ist die intuitionistische Mathematik kein fester Bestandteil der klassischen Mathematik.

• 1. Die Person
• 2. Chronologie
• 3. Kurze Charakterisierung von Brouwers Intuitionismus
• 4. Brouwers Entwicklung des Intuitionismus
• Literaturverzeichnis
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Die Person

Brouwer studierte an der (städtischen) Universität von Amsterdam, wo seine wichtigsten Lehrer Diederik Korteweg (der Korteweg-de-Vries-Gleichung) und insbesondere philosophisch Gerrit Mannoury waren. Brouwers Hauptschüler waren Maurits Belinfante und Arend Heyting; Letzterer war wiederum der Lehrer von Anne Troelstra und Dirk van Dalen. Brouwers Klassen wurden auch von Max Euwe, dem späteren Schachweltmeister, besucht, der eine spieltheoretische Arbeit über Schach aus intuitionistischer Sicht veröffentlichte (Euwe, 1929) und der viel später Brouwers Begräbnisrede halten würde. Zu Brouwers Assistenten gehörten Heyting, Hans Freudenthal, Karl Menger und Witold Hurewicz, von denen die beiden letzteren nicht intuitiv veranlagt waren. Der einflussreichste Unterstützer von Brouwer 'Der Intuitionismus außerhalb der Niederlande war zu dieser Zeit einige Jahre lang Hermann Weyl.

Brouwer scheint ein unabhängiger und brillanter Mann mit hohen moralischen Standards gewesen zu sein, aber mit einem übertriebenen Sinn für Gerechtigkeit, was ihn manchmal kämpferisch macht. Infolgedessen kämpfte er in seinem Leben energisch viele Schlachten.

Von 1914 bis 1928 war Brouwer Mitglied des Redaktionsausschusses der Mathematischen Annalen und Gründungsredakteur der Compositio Mathematica, die erstmals 1934 erschien.

Er war unter anderem Mitglied der Royal Dutch Academy of Sciences, der Royal Society in London, der Preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin und der Akademie der Wissenschaften in Göttingen.

Brouwer erhielt die Ehrendoktorwürde der Universitäten von Oslo (1929) und Cambridge (1954) und wurde 1932 zum Ritter im Orden des niederländischen Löwen ernannt.

Brouwers Archiv befindet sich am Institut für Philosophie der Universität Utrecht in den Niederlanden. Eine Ausgabe von Korrespondenz und Manuskripten ist in Vorbereitung.

2. Chronologie

1881 27. Februar, geboren in Overschie (seit 1941 Teil von Rotterdam), Niederlande.

1897 Eintritt in die Universität Amsterdam, um Mathematik und Physik zu studieren.

1904 Erlangt den Doktortitel (MA) in Mathematik; erste Veröffentlichung (über Rotationen im vierdimensionalen Raum); heiratet Lize de Holl (geb. 1870). Sie würden keine Kinder haben, aber Lize hatte eine Tochter aus einer früheren Ehe. Sie ziehen nach Blaricum in der Nähe von Amsterdam, wo sie für den Rest ihres Lebens leben würden, obwohl sie auch Häuser an anderen Orten hatten.

1907 Erlangung des Doktortitels mit Dissertation über die Grundlagen der Mathematik unter der Leitung von Korteweg an der Universität Amsterdam. Es markiert den Beginn seiner intuitionistischen Rekonstruktion der Mathematik. Später in diesem Jahr macht Brouwers Frau ihren Abschluss und wird Apothekerin. Sein ganzes Leben lang übernahm Brouwer die Buchhaltung für sie und füllte die Steuerformulare aus. Manchmal half er hinter der Theke.

1908 Erste Teilnahme an einer internationalen Konferenz, der Vierten Internationalen Mathematikerkonferenz in Rom.

1909-1913 In sehr produktiven vier Jahren gründet Brouwer die moderne Topologie als Kapitel der klassischen Mathematik. Highlights: Invarianz der Dimension, Fixpunktsatz, Abbildungsgrad, Definition der Dimension. Eine Pause in seinem intuitionistischen Programm.

1909 wird Privatdozent (unbezahlter Dozent) an der Universität von Amsterdam. Antrittsvorlesung 'Het Wezen der Meetkunde' ('Die Natur der Geometrie').

1909 Treffen mit Hilbert im niederländischen Badeort Scheveningen. Brouwer bewundert Hilbert sehr und beschreibt ihr Treffen in einem Brief an einen Freund als "einen schönen neuen Lichtstrahl durch mein Leben" (Brouwer & Adama van Scheltema, 1984, S.100). Zwanzig Jahre später würde Brouwers Beziehung zu Hilbert sauer werden.

1911 Erstes Auftreten der Namen "Formalismus" und "Intuitionismus" in Brouwers Schriften in einer Rezension von Gerrit Mannourys Buch "Methodologisches und Philosophisches zur Elementarmathematik" von 1909.

1912 Wahl zum Mitglied der Royal Academy of Sciences (während des Zweiten Weltkriegs 'Dutch Academy of Sciences', dann 'Royal Dutch Academy of Sciences').

1912 Ernennung zum außerordentlichen außerordentlichen Professor auf dem Gebiet der Mengenlehre, Funktionstheorie und Axiomatik. Sein philosophischer Antrittsvortrag "Intuitionisme en Formalisme" wird als "Intuitionismus und Formalismus" ins Englische übersetzt und ist damit 1913 die erste Veröffentlichung zum Intuitionismus in dieser Sprache.

1913 Ernennung zum ordentlichen Professor ordinarius als Nachfolger von Korteweg, der großzügig angeboten hatte, seinen Lehrstuhl zu diesem Zweck zu räumen.

1914 Einladung zur Redaktion der Mathematischen Annalen; nimmt die Ehre an.

1918 Brouwer beginnt die systematische intuitionistische Rekonstruktion der Mathematik mit seiner Arbeit Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre. ' ('Gründungssatztheorie unabhängig vom Prinzip der ausgeschlossenen Mitte. Teil 1, Allgemeine Mengenlehre.')

1919 erhält Angebote für Professuren in Göttingen und in Berlin; lehnt beide ab.

1920 Beginn des Grundlagenstreits mit Brouwers Vortrag in der Naturforscherversammlung in Bad Nauheim, veröffentlicht 1921 als "Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruch-Entwickelung?" ('Hat jede reelle Zahl eine Dezimalerweiterung?'); verstärkt durch Weyls Verteidigung des Intuitionismus im Jahr 1921, "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik"; 1922 von Hilbert beantwortet: "Neubegründung der Mathematik".

1920 Die Intuitionistische Mengenlehre ist das erste Stück intuitionistischer Mathematik in einer vielgelesenen internationalen Zeitschrift, dem Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung.

1922 Gründung der Gesellschaft mit Gerrit Mannoury, dem Autor Frederik van Eeden und anderen, dem "Signifischen Kring", einer Gesellschaft, die auf geistigen und politischen Fortschritt durch Sprachreform abzielt, ausgehend von den von Victoria aufgestellten Ideen Lady Welby in ihrer Arbeit 'Sinn, Bedeutung und Interpretation' (Welby, 1896). Der Zirkel beendet seine Versammlungen im Jahr 1926, aber Mannoury setzt seine Arbeit fort.

1926 Vortrag in Göttingen; Nach einem gemeinsamen Abendessen bei Emmy Noether sind Hilbert und Brouwer (für kurze Zeit) wieder in einem guten Zustand.

1927 Vorlesungsreihe in Berlin; sein späterer Assistent Freudenthal ist im Publikum. Die Zeitung Berliner Tageblatt schlägt eine öffentliche Debatte zwischen Brouwer und Hilbert vor, die auf ihren Seiten stattfinden soll, aber aus irgendeinem Grund wird dies nicht realisiert. Brouwer vervollständigt auch nicht das Buch, zu dem er vom deutschen Verleger Walter de Gruyter eingeladen wurde. Die Vorträge und ein unvollständiges Buch werden posthum veröffentlicht (Brouwer, 1992).

1928 10. und 14. März: zwei Vorträge in Wien. Gödel ist im Publikum, ebenso wie Wittgenstein. Der erste Vortrag soll Wittgenstein zur Philosophie zurückkehren lassen. Brouwer verbringt einen Tag mit Wittgenstein.

April 1928: Gespräche mit Husserl, der in Amsterdam ist, um Vorträge zu halten.

1928 Konflikt um die Bologna-Konferenz. Die deutschen Mathematiker werden zum ersten Mal seit dem Ende des Ersten Weltkriegs wieder zu einer internationalen Konferenz zugelassen, aber nicht ganz gleich. Brouwer besteht darauf, dass dies nicht fair ist und dass die Konferenz boykottiert werden sollte, wenn die Deutschen nicht besser behandelt werden sollen. Hilbert, der diese Ansicht nicht teilt, ist sehr verärgert über Brouwers Vorgehen und nimmt als Vorsitzender der deutschen Delegation, der größten Gegenwart, an der Konferenz teil.

1928-1929'Mathematische Annalenstreit', der Konflikt in der Redaktion der Mathematischen Annalen. Hilbert, der glaubt, er würde gleich sterben, muss sicherstellen, dass Brouwer nach seinem Tod nicht zu einflussreich wird, und weist ihn auf rechtswidrige Weise aus dem Vorstand aus. [Hilberts hier beschriebene Motivation ist in Briefen von ihm nahestehenden Personen dokumentiert: Carathéodory to Einstein, 20. Oktober 1928; Blumenthal an den Herausgeber und Herausgeber der Mathematischen Annalen, 16. November 1928; Geboren am 20. November 1928 in Einstein. Kopien dieser Briefe befinden sich im Brouwer-Archiv der Universität Utrecht. Relevante Zitate aus diesen finden sich in van Dalen, 2005, p. 604 und p. 613]. Einstein, ebenfalls Vorstandsmitglied, weigert sich, Hilberts Vorgehen zu unterstützen und will mit der ganzen Angelegenheit nichts zu tun haben;Die meisten anderen Vorstandsmitglieder wollen Hilbert nicht irritieren, indem sie sich ihm widersetzen. Brouwer protestiert vehement. Am Ende wird das gesamte Board aufgelöst und sofort ohne Brouwer in einer stark reduzierten Größe wieder zusammengesetzt (insbesondere Einstein- und Carathéodory-Rückgang). Der Konflikt lässt Brouwer geistig gebrochen und isoliert und beendet ein sehr kreatives Jahrzehnt in seiner Arbeit. Jetzt, da die beiden Hauptkandidaten nicht mehr in der Lage sind, weiterzumachen, ist der Grundlagenstreit vorbei. Jetzt, da die beiden Hauptkandidaten nicht mehr in der Lage sind, weiterzumachen, ist der Grundlagenstreit vorbei. Jetzt, da die beiden Hauptkandidaten nicht mehr in der Lage sind, weiterzumachen, ist der Grundlagenstreit vorbei.

1928-1930 Konflikt mit Karl Menger um die Priorität für die erste korrekte Definition des Dimensionsbegriffs.

August 1929: Diebstahl von Brouwers Aktentasche in der Straßenbahn in Brüssel und damit seines mathematischen Notizbuchs. Wenn weder die Polizei noch ein zu diesem Zweck angeheuerter Privatdetektiv es wiederfinden können, verzweifelt er daran, jemals in der Lage zu sein, seinen Inhalt zu rekonstruieren. Brouwer sagte später, dass dieser Verlust maßgeblich zur Verlagerung seines Hauptinteresses von der Mathematik zur Philosophie beigetragen habe.

1929 Beginn der Vorbereitungen für die Gründung einer neuen mathematischen Zeitschrift.

1934 Erscheinen der ersten Ausgabe von Brouwers eigener internationaler Zeitschrift mit dem Titel Compositio Mathematica.

1934 Vorlesungsreihe in Genf.

1935-1941 Mitglied des Gemeinderats von Blaricum für die lokale Neutrale Partei (1939 gewinnt er die Wahlen mit 310 der 1601 Stimmen).

1940-1945 Während der deutschen Besetzung der Niederlande im Zweiten Weltkrieg unterstützt Brouwer den Widerstand und versucht, seinen jüdischen Freunden und seinen Schülern zu helfen. 1943 rät er den Studenten, die von den Deutschen geforderte Treueerklärung zu unterschreiben. Ein Teil seiner Erklärung nach dem Krieg ist, dass die Unterzeichnung den Studenten den relativen Frieden verschaffen würde, der für den Aufbau und die Durchführung von Widerstandsaktivitäten erforderlich ist. Er stößt auf Skepsis. Aus diesem Grund und einigen ähnlichen, vielleicht unglücklichen Versuchen der Schlauheit während der Besatzung wird er nach der Befreiung für einige Monate suspendiert. Brouwer ist zutiefst beleidigt und erwägt die Auswanderung nach Südafrika oder in die USA.

1942 Veröffentlichung von drei kurzen Anmerkungen zu intuitionistischen Grundlagen, die erste seit 1933.

1945-1950 Konflikt um die Zeitschrift Compositio Mathematica. Das Tagebuch war während des Krieges nicht erschienen, und es wird versucht, es wieder zum Leben zu erwecken. Schwierigkeiten bei der Zusammenstellung eines neuen Redaktionsausschusses ergeben sich aus Brouwers geschädigtem Ruf. Am Ende bleibt Brouwers Name auf der Titelseite, aber tatsächlich wird er aus dem Vorstand der von ihm gegründeten Zeitschrift entfernt.

1947-1951 Jährliche Vorlesungsreihe in Cambridge, England. Brouwer plant, sie in ein Buch umzuwandeln, aber das passiert nicht. Er vervollständigt jedoch fünf der geplanten sechs Kapitel, die poshum veröffentlicht werden (Brouwer, 1981).

1948 Wiederaufnahme seines Grundprogramms mit einem Papier, das den Begriff des Schöpfungsgegenstandes ausnutzt. Beginn einer weiteren Schaffensperiode.

1949 lehnt einen Plan zur Veröffentlichung seiner gesammelten Papiere ab, da er keine Zeit hat, Anmerkungen zu verfassen, die sowohl sein Original als auch seine gegenwärtigen Ansichten dazu widerspiegeln, was er für wissenschaftlich verantwortlich hält.

1951 Ruhestand an der Universität von Amsterdam. Abkühlung seiner Beziehung zu Arend Heyting, seinem Nachfolger auf dem Posten des Direktors des Mathematischen Instituts, aufgrund von Meinungsverschiedenheiten über die genaue Rolle, die der pensionierte Brouwer dort noch spielen könnte.

1952 Vorträge in London und in Kapstadt.

1953 Vorträge in Helsinki, wo er bei Von Wright bleibt. Vortragsreise durch die USA (ua MIT, Princeton, Universität Wisconsin-Madison, Berkeley, Chicago) und Kanada (Kanadischer Mathematikkongress in Kingston, Ontario). In Princeton besucht er Gödel.

1955 Veröffentlichung seiner letzten neuen Arbeit (basierend auf seinem Vortrag auf der Boole-Konferenz in Dublin im Jahr zuvor).

1959 Tod von Frau Brouwer, 89 Jahre alt. Brouwer lehnt ein Angebot für eine einjährige Stelle an der University of British Columbia in Vancouver ab.

1962 wird Brouwer eine Stelle in Montana angeboten.

1966 2. Dezember: stirbt in Blaricum, Niederlande, 85 Jahre alt, als er vor seinem Haus von einem Auto angefahren wird.

3. Kurze Charakterisierung von Brouwers Intuitionismus

Basierend auf seiner Geistesphilosophie, auf die Kant und Schopenhauer die Haupteinflüsse waren, charakterisierte Brouwer die Mathematik in erster Linie als die freie Aktivität des exakten Denkens, eine Aktivität, die auf der reinen Intuition der (inneren) Zeit beruht. Kein unabhängiger Objektbereich und keine Sprache spielen eine grundlegende Rolle. Er bemühte sich daher, die Scylla des Platonismus (mit seinen erkenntnistheoretischen Problemen) und die Charybdis des Formalismus (mit seiner inhaltlichen Armut) zu vermeiden. Da es nach Brouwers Ansicht keine Determinante der mathematischen Wahrheit außerhalb der Aktivität des Denkens gibt, wird ein Satz nur dann wahr, wenn das Subjekt seine Wahrheit erfahren hat (indem es eine angemessene mentale Konstruktion durchgeführt hat); ähnlich,Ein Satz wird nur dann falsch, wenn das Subjekt seine Lüge erfahren hat (indem es erkennt, dass eine angemessene mentale Konstruktion nicht möglich ist). Daher kann Brouwer behaupten, dass es keine nicht erlebten Wahrheiten gibt (Brouwer, 1975, S.488).

Brouwer war bereit, seiner Geistesphilosophie bis zu ihren endgültigen Schlussfolgerungen zu folgen; ob die rekonstruierte Mathematik mit der klassischen Mathematik kompatibel oder nicht kompatibel war, war eine sekundäre Frage und nie entscheidend. Indem er der Philosophie Vorrang vor der traditionellen Mathematik einräumte, zeigte er sich als Revisionist. Während die intuitionistische Arithmetik ein Teilsystem der klassischen Arithmetik ist, ist die Situation in der Analyse anders: Nicht die gesamte klassische Analyse ist intuitionistisch akzeptabel, aber auch nicht die gesamte intuitionistische Analyse ist klassisch akzeptabel. Brouwer akzeptierte diese Konsequenz von ganzem Herzen.

4. Brouwers Entwicklung des Intuitionismus

Brouwers kleines Buch Leben, Kunst und Mystik von 1905, das seine Grundlagen der Mathematik als solche nicht entwickelt, ist ein Schlüssel zu den Grundlagen, die in seiner Dissertation entwickelt wurden, an der er gleichzeitig arbeitete und die zwei Jahre später fertiggestellt wurde. Neben einer Vielzahl anderer Dinge, wie berüchtigten Ansichten über die Gesellschaft und insbesondere über Frauen, enthält das Buch seine Grundideen zu Geist, Sprache, Ontologie und Erkenntnistheorie.

Diese Ideen werden in seiner 1907 verteidigten Dissertation Over de Grondslagen der Wiskunde auf die Mathematik angewendet; Es ist die allgemeine Philosophie und nicht die Paradoxien, die die Entwicklung des Intuitionismus initiieren (nachdem dies begonnen hatte, entstanden Lösungen für die Paradoxien). Wie Kant gründet Brouwer die Mathematik auf einer reinen Intuition der Zeit (während er die reine Intuition des Raumes ablehnt).

Brouwer ist der Ansicht, dass Mathematik eine im Wesentlichen sprachlose Aktivität ist und dass die Sprache die mathematische Aktivität erst nachträglich beschreiben kann. Dies führt ihn dazu, axiomatischen Ansätzen jede grundlegende Rolle in der Mathematik zu verweigern. Außerdem interpretiert er Logik als das Studium von Mustern in sprachlichen Wiedergaben mathematischer Aktivität, und daher ist Logik von Mathematik abhängig (als das Studium von Mustern) und nicht umgekehrt. Es sind diese Überlegungen, die ihn motivieren, die Unterscheidung zwischen Mathematik und Metamathematik (für die er den Begriff "Mathematik zweiter Ordnung" verwendete) einzuführen, die er Hilbert 1909 in Gesprächen erklären würde.

Mit dieser Ansicht macht sich Brouwer daran, die kantorianische Mengenlehre zu rekonstruieren. Wenn ein Versuch (in einem Entwurf der Dissertation), aus Cantors zweiter Zahlenklasse (der Klasse aller unzähligen unendlichen Ordnungszahlen) und höheren Klassen noch größerer Ordnungszahlen einen konstruktiven Sinn zu machen, fehlschlägt, erkennt er, dass dies nicht möglich ist, und lehnt die höhere ab Zahlenklassen, wobei nur alle endlichen Ordnungszahlen und eine unvollendete oder offene Sammlung von unzählig unendlichen Ordnungszahlen übrig bleiben. Als Folge seiner philosophischen Ansichten legt er bewusst einen Teil der allgemein anerkannten Mathematik beiseite. Bald würde er dasselbe mit einem Prinzip der Logik tun, dem Prinzip der ausgeschlossenen Mitte (PEM), aber in der Dissertation hält er es immer noch für in Ordnung, aber nutzlos und interpretiert p ∨ ¬ p als ¬ p → ¬ p.

In 'De Onbetrouwbaarheid der Logische Principes' ('Die Unzuverlässigkeit der logischen Prinzipien') von 1908 formuliert Brouwer allgemein seine Kritik an PEM: Obwohl das Prinzip in der einfachen Form von p ¬ ¬ p niemals dazu führen wird Ein Widerspruch, es gibt Fälle, für die man konstruktiv gesehen keinen positiven Grund hat, sie für wahr zu halten. Brouwer nennt einige. Da sie PEM nicht im engeren Sinne widerlegen, werden sie als "schwache Gegenbeispiele" bezeichnet. Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie im ergänzenden Dokument:

Schwache Gegenbeispiele

Die Innovation, die dem Intuitionismus ein viel breiteres Spektrum verleiht als andere Arten der konstruktiven Mathematik (einschließlich der in Brouwers Dissertation), sind die Auswahlsequenzen. Dies sind möglicherweise unendliche Folgen von Zahlen (oder anderen mathematischen Objekten), die vom einzelnen Mathematiker nacheinander ausgewählt werden. Ausgewählte Sequenzen tauchten erstmals 1914 in einer Buchbesprechung als intuitiv akzeptable Objekte auf; Das Prinzip, das sie mathematisch nachvollziehbar macht, das Kontinuitätsprinzip, wurde in Brouwers Vorlesungsunterlagen von 1916 formuliert. Die Hauptanwendung von Auswahlsequenzen ist die Rekonstruktion der Analyse; Punkte auf dem Kontinuum (reelle Zahlen) werden mit Auswahlsequenzen identifiziert, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Auswahlsequenzen werden zusammen mit einem Gerät gesammelt, das als "Spread" bezeichnet wird. Brouwer verwendet eine ähnliche Funktion wie die Cantorianische Menge in der klassischen Analyse, und anfangs verwendet er sogar das Wort "Menge" für Spreads. Brouwer entwickelt in der zweiteiligen Arbeit von 1918/1919 eine Theorie der Spreads und eine darauf basierende Theorie der Punktmengen. Die Begründungssatztheorie unabhängig vom Prinzip des Ausgeschlossenen Mitte').

Die Antwort auf die Frage im Titel von Brouwers Artikel "Hat jede reelle Zahl eine Dezimalerweiterung?" (1921) stellt sich als nein heraus. Brouwer zeigt, dass man Auswahlsequenzen konstruieren kann, die die Cauchy-Bedingung erfüllen und in ihrer genauen Entwicklung von einem noch offenen Problem abhängen. Es kann keine Dezimalerweiterung konstruiert werden, bis das offene Problem gelöst ist. Nach Brouwers strenger konstruktivistischer Auffassung bedeutet dies, dass keine Dezimalerweiterung existiert, bis das offene Problem gelöst ist. In diesem Sinne kann man reelle Zahlen (dh konvergierende Auswahlsequenzen) konstruieren, die keine Dezimalerweiterung haben.

Im Jahr 1923 entwickelte Brouwer unter Verwendung von Auswahlsequenzen und offenen Problemen eine allgemeine Technik, die heute als "Brouwersche Gegenbeispiele" bekannt ist, um schwache Gegenbeispiele zu klassischen Prinzipien zu erzeugen Bedeutung des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte in der Mathematik ').

Die Grundsätze der intuitionistischen Analyse - der Balkensatz, der Fächersatz und der Kontinuitätssatz - befinden sich in den Überdefinitionsbereichen von Funktionen von 1927. Die ersten beiden sind Struktursätze über Spreads; Die dritte (nicht zu verwechseln mit dem Kontinuitätsprinzip für Auswahlsequenzen) besagt, dass jede Gesamtfunktion [0,1] → ℜ stetig und sogar gleichmäßig stetig ist. Der Fächersatz ist in der Tat eine Folge des Balkensatzes; kombiniert mit dem Kontinuitätsprinzip, das klassisch nicht gültig ist, ergibt es den Kontinuitätssatz. In der klassischen Analyse wären beide Teile dieses Satzes falsch. Die Bar- und Fan-Theoreme hingegen sind klassisch gültig, obwohl die klassischen und intuitionistischen Beweise für sie nicht austauschbar sind. Die klassischen Beweise sind intuitionistisch nicht akzeptabel, da sie von dem Prinzip der ausgeschlossenen Mitte abhängen; Die intuitionistischen Beweise sind klassisch nicht akzeptabel, da sie von der Reflexion über die Struktur der mentalen Beweise abhängen. In dieser Reflexion führte Brouwer den Begriff der "vollständig analysierten" oder "kanonischen" Form eines Beweises ein, der viel später von Martin-Löf und Dummett übernommen werden würde. In einer Fußnote erwähnt Brouwer, dass solche Beweise, die er mit mentalen Objekten im Kopf des Subjekts identifiziert, oft unendlich sind.die viel später von Martin-Löf und von Dummett übernommen werden würde. In einer Fußnote erwähnt Brouwer, dass solche Beweise, die er mit mentalen Objekten im Kopf des Subjekts identifiziert, oft unendlich sind.die viel später von Martin-Löf und von Dummett übernommen werden würde. In einer Fußnote erwähnt Brouwer, dass solche Beweise, die er mit mentalen Objekten im Kopf des Subjekts identifiziert, oft unendlich sind.

"Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus" von 1928 identifiziert und diskutiert vier wesentliche Unterschiede zwischen Formalismus und Intuitionismus, die entweder mit der Rolle der PEM oder mit der Beziehung zwischen Mathematik und Sprache zu tun haben. (Hier bezieht sich Brouwer in einer Fußnote auf die oben erwähnten Gespräche mit Hilbert von 1909.) Brouwer betont, wie er es in seiner Dissertation getan hatte, dass der Formalismus inhaltliche Mathematik auf der Metalebene voraussetzt. Er präsentiert auch hier sein erstes starkes Gegenbeispiel, eine Widerlegung einer Form von PEM, indem er zeigt, dass es falsch ist, dass jede reelle Zahl entweder rational oder irrational ist. Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie im ergänzenden Dokument:

Starke Gegenbeispiele

Von den beiden 1928 in Wien gehaltenen Vorlesungen "Mathematik, Wissenschaft und Sprache" und "Die Struktur des Kontinuums" ist die erste philosophischer Natur während der zweite mathematischer ist. In "Mathematik, Naturwissenschaften und Sprache" gibt Brouwer seine allgemeinen Ansichten zu den Beziehungen zwischen den drei im Titel genannten Fächern nach einem genetischen Ansatz wieder und betont die Rolle des Willens. Eine längere Version dieser Vorlesung wurde 1932 auf Niederländisch als "Willen, Weten, Spreken" ("Volition, Knowledge, Language") vorgestellt. Es enthält die ersten expliziten Bemerkungen zu einem Begriff, der von Anfang an vorhanden war und jetzt als "idealisierter Mathematiker" oder "schaffendes Subjekt" bekannt ist.

Die Vorlesung 'Bewusstsein, Philosophie und Mathematik' von 1948 geht noch einmal auf Brouwers Geistesphilosophie und einige ihrer Konsequenzen für die Mathematik ein. Der Vergleich mit Leben, Kunst und Mystik, der ersten Wiener Vorlesung und 'Willen, Weten, Spreken' zeigt, dass sich Brouwers allgemeine Philosophie im Laufe der Jahre erheblich, aber nur in der Tiefe entwickelt hat.

1949 veröffentlicht Brouwer (1949a) das erste Beispiel einer neuen Klasse starker Gegenbeispiele, eine Klasse, die sich von Brouwers früherem starken Gegenbeispiel (1928, siehe oben) darin unterscheidet, dass die Art des Arguments jetzt den Namen "Schaffen" trägt Subjektargument “beinhaltet einen wesentlichen Verweis auf die zeitliche Struktur der mathematischen Aktivität des schaffenden Subjekts (Heyting, 1956, Kap. III und VIII; van Atten, 2003, Kap. 4 und 5).

Brouwers Beispiel zeigt, dass es einen Fall gibt, in dem das Prinzip der doppelten Negation in Form von ∀ x ∈ℜ (¬¬ P (x) → P (x)) zu einem Widerspruch führt ('De Non-aequivalentie van de Constructieve en de Negatieve Orderelatie in het Continuum ',' Die Nichtäquivalenz der konstruktiven und der negativen Ordnungsbeziehung auf dem Kontinuum '). Die erste Veröffentlichung dieser neuen Klasse starker Gegenbeispiele (und starker Gegenbeispiele im Allgemeinen) in englischer Sprache musste bis 1954 in "Ein Beispiel für Widersprüchlichkeit in der klassischen Funktionstheorie" warten. Dieser polemische Titel sollte wie folgt verstanden werden: Wenn man sich an den Buchstaben der klassischen Theorie hält, aber in ihrer Interpretation ihre klassischen Gegenstücke durch intuitionistische Begriffe ersetzt, gelangt man zu einem Widerspruch. Es ist also kein Gegenbeispiel im engeren Sinne des Wortes,sondern ein Ergebnis der Nichtinterpretierbarkeit. Da intuitionistische Logik formal Teil der klassischen Logik ist und intuitionistische Arithmetik Teil der klassischen Arithmetik ist, muss die Existenz starker Gegenbeispiele von einer im Wesentlichen nicht klassischen Zutat abhängen, und dies sind natürlich die Auswahlsequenzen.

Das schaffende Subjektargument ist nach der früheren Einführung von Auswahlsequenzen und dem Beweis des Balkensatzes ein neuer Schritt in der Ausnutzung der subjektiven Aspekte des Intuitionismus. Es gibt keinen grundsätzlichen Grund, warum es der letzte sein sollte.

Literaturverzeichnis

Texte von Brouwer

Fast alle Papiere von Brouwer sind in zu finden

• Brouwer, LEJ, 1975, Gesammelte Werke 1. Philosophie und Grundlagen der Mathematik, A. Heyting (Hrsg.), Amsterdam: Nordholland.
• Brouwer, LEJ, 1976, Gesammelte Werke 2. Geometrie, Analyse, Topologie und Mechanik, H. Freudenthal (Hrsg.), Amsterdam: Nordholland.

In den gesammelten Werken wurden niederländische Papiere ins Englische übersetzt, französische oder deutsche jedoch nicht. Englische Übersetzungen von mehreren von ihnen finden Sie in

• van Heijenoort, J., Hrsg., 1967, From Frege to Gödel. Ein Sourcebook in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge (MA): Harvard University Press.
• Mancosu, P., Hrsg., 1998, From Hilbert to Brouwer. Die Debatte über die Grundlagen der Mathematik in den 1920er Jahren, Oxford: Oxford University Press.

Eine englische Übersetzung von Brouwers kleinem Buch Leven, Kunst en Mystiek von 1905, von dem die gesammelten Werke nur Auszüge enthalten, ist

Brouwer, LEJ, 1996, "Leben, Kunst und Mystik", Notre Dame Journal of Formal Logic, 37 (3): 389-429. Übersetzt von Walter van Stigt, der eine Einführung auf den Seiten 381-387 bietet

Die Berliner Vorlesungen von 1927 wurden in veröffentlicht

Brouwer, LEJ, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (Hrsg.), Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag

Die Cambridge-Vorlesungen von 1946-1951, die als Brouwers eigene Einführung in den Intuitionismus empfohlen werden, wurden als veröffentlicht

Brouwer, LEJ, 1981, Brouwers Cambridge Lectures on Intuitionism, D. van Dalen (Hrsg.), Cambridge: Cambridge University Press

Von besonderem biografischem Interesse, das jedoch nicht übersetzt wurde, ist die Korrespondenz zwischen Brouwer und seinem Freund, dem sozialistischen Dichter CS Adama van Scheltema, die die Jahre 1898-1924 abdeckt:

Brouwer, LEJ & Adama van Scheltema, CS, 1984, Droeve Snaar, Vriend van Mij. Brieven, D. van Dalen (Hrsg.), Amsterdam: De Arbeiderspers

Zitierte Primärtexte von anderen

• Euwe, M., 1929, 'Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel', Ned. Akad. Wetensch. Proc. 32, 633-644.
• Hilbert, D., 1922, 'Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung ', Hamburger Math. Seminarabhandlungen, 1: 157-177. Englische Übersetzung 'The New Grounding of Mathematics: erster Bericht' in (Mancosu 1998).
• Mannoury, G., 1909, Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik, Haarlem: Visser.
• Welby, V., 1896, "Sinn, Bedeutung und Interpretation", Mind, NS, 5 (17): 24-37; (18): 186 - 202.
• Weyl, H., 1921, "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematische Zeitschrift, 10: 39-79. Englische Übersetzung 'Über die neue Grundkrise der Mathematik' in (Mancosu 1998).

Sekundärliteratur

• van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont (CA): Wadsworth.

  Eine philosophische Einführung in den Intuitionismus, wie er von Brouwer konzipiert wurde, mit ausführlichen Behandlungen des Beweises des Balkensatzes, des schaffenden Subjekts und der Intersubjektivität

• van Dalen, D., 1990, "Der Krieg der Frösche und Mäuse oder die Krise der Mathematischen Annalen", Mathematical Intelligencer, 12 (4): 17-31.

• van Dalen, D., 1999/2005, Mystic, Geometer und Intuitionist, 2 Bände, Oxford: Clarendon Press.

  Die Standardbiographie von Brouwer. Band 1, The Dawning Revolution, umfasst die Jahre 1881-1928, Band 2, Hope and Disillusion, umfasst die Jahre 1929-1966

• van Dalen, D., 2001, LEJ Brouwer 1881-1966. Een Biografie. Het Heldere Licht van de Wiskunde, Amsterdam: Bert Bakker.

  Eine populäre Biographie in 1 Band, auf Niederländisch

• Dummett, M., 1977, Elemente des Intuitionismus, Oxford: Oxford University Press. 2., überarbeitete Ausgabe, 2000, Oxford: Clarendon Press.

  Ein Überblick über den Intuitionismus. Philosophisch scheint es Wittgenstein näher zu sein als Brouwer

• Hesseling, DE, 2003, Gnome im Nebel. Die Rezeption von Brouwers Intuitionismus in den 1920er Jahren, Basel: Birkhauser.

  . Eine detaillierte historische Diskussion der Reaktionen auf Brouwers reifen Intuitionismus während der grundlegenden Debatte

• Heyting, A., 1956, Intuitionismus. Eine Einführung, Amsterdam: Nordholland. 2. überarbeitete Auflage, 1966. 3. überarbeitete Auflage, 1971.

  Wahrscheinlich das einflussreichste Buch zu diesem Thema, das jemals geschrieben wurde. In einem Stil, der bodenständiger und ökumenischer ist als der von Brouwer, präsentiert Heyting die intuitionistischen Versionen verschiedener Grundfächer der Alltagsmathematik. Brouwer und Heyting haben einige philosophische Meinungsverschiedenheiten, die sich auf die Wertschätzung einiger Aspekte der intuitionistischen Mathematik auswirken. Es sind keine Kommentare von Brouwer zu diesem Buch bekannt

• Largeault, J., 1993, Intuition et Intuitionisme, Paris: Vrin.

  Ein Überblick über den Intuitionismus, der Nähe zu Brouwer und ein gutes Gespür für den historischen Hintergrund von Brouwers Begriff der Intuition

• Placek, T., 1999, Mathematischer Intuitionismus und Intersubjektivität, Dordrecht: Kluwer.

  Ein Vergleich der von Brouwer, Heyting und Dummett vorgebrachten Argumente für den Intuitionismus, insbesondere im Hinblick auf die Möglichkeit einer intersubjektiven Gültigkeit der intuitionistischen Mathematik

• van Stigt, W., 1990, Brouwers Intuitionismus, Amsterdam: Nordholland.

  Enthält interessante philosophische Diskussionen und gibt englische Übersetzungen von Material aus dem Brouwer-Archiv. Die biografische Skizze wurde nun von (van Dalen, 1999/2005) und (van Dalen, 2001) abgelöst

Andere Internetquellen

• Rückblick auf Hesselings Gnome im Nebel im Bulletin of Symbolic Logic (Postscript)
• Dirk van Dalens Brouwer-Bibliographie (Postscript)

[Bitte kontaktieren Sie den Autor mit weiteren Vorschlägen.]